1、1第三节 三角函数的图象与性质突破点一 三角函数的定义域和值域基 本 知 识 三角函数 正弦函数 ysin x 余弦函数 ycos x 正切函数 ytan x图象定义域 R R Error!xError!xR，且xError!值域 1,1 1,1 R最值当且仅当x 2 k( kZ)时，2取得最大值 1；当且仅当x 2 k( kZ)2时，取得最小值1当且仅当x2 k( kZ)时，取得最大值 1；当且仅当x2 k( kZ)时，取得最小值1基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数 ysin x在 x 内的最大值为 1.( )(0，2)(2)函数 ytan 的定义域为 x .(
2、 )(4 x) 4(3)函数 y 的定义域为 x ， kZ.( )cos x 2 k ， 2 k 答案：(1) (2) (3)二、填空题1 y 的定义域为 _2sin x 2解析：要使函数式有意义，需 2sin x 0，即 sin x ，借助正弦函数的图象222(图略)，可得 2 k x 2 k， kZ，所以该函数的定义域是4 34(kZ)4 2k ， 34 2k 2答案： (kZ)4 2k ， 34 2k 2函数 y2cos ， x 的值域为_(2x3) ( 6， 6)解析： 0，得 x(2 k，2 k)( kZ)答案：(2 k，2 k)( kZ)2. (2017全国卷)函数 f(x)2co
3、s xsin x的最大值为_考 法 二 解析： f(x)2cos xsin x 5(255cos x 55sin x) sin(x )(其中 tan 2)，5故函数 f(x)2cos xsin x的最大值为 .5答案： 53. 求函数 ysin xcos x3cos xsin x的最值考 法 二 解：令 tsin xcos x，则 t ， 2 2(sin xcos x)22sin xcos x1，sin xcos x ，t2 12 y t2 t ， t ， ，32 32 2 2对称轴 t ， ，13 2 2 ymin f ，(13) 32 19 13 32 53ymax f( ) .232 2
4、突破点二 三角函数的性质基 本 知 识 函数 ysin x ycos x ytan x图象最小正周期 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数5单调性Error!2k ，2 k E2 2rror!为增；Error!2k ，2 k2 32Error!为减， kZ2k，2 k为减；2k，2 k为增， kZError!k ， k2 Error!为增，2kZ对称中心 (k，0)， kZ ， k(k 2， 0)Z， kZ(k2， 0)对称轴 x k ， kZ2 x k， kZ基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ，错的打“”)(1)函数 ysin x的图象关于点( k，0)( kZ)中心对称( )(2)
5、正切函数 ytan x在定义域内是增函数( )(3)ysin| x|是偶函数( )答案：(1) (2) (3)二、填空题1已知函数 f(x)cos ( 0)的最小正周期为 ，则 _.( x4)答案：22函数 ycos 的单调递减区间为_(4 2x)解析：由 ycos cos ，(4 2x) (2x 4)得 2k2 x 2 k( kZ)，4解得 k x k (kZ)，8 58所以函数的单调递减区间为 (kZ)k 8， k 58答案： (kZ)k 8， k 583若函数 f(x)sin ( 0,2)是偶函数，则 _.x 3解析：由已知 f(x)sin 是偶函数，可得 k ，即 3 k (kZ)，x
6、 3 3 2 326又 0,2，所以 .32答案：32全 析 考 法 考法一 三角函数的单调性 考向一 求三角函数的单调区间例 1 求下列函数的单调区间：(1)f(x)|tan x|；(2)f(x)cos ， x .(2x6) 2， 2解 (1)观察图象可知， y|tan x|的单调递增区间是， kZ，单调递减区间是k ， k 2)Error!k ， kError! ， kZ.2(2)当 2k2 x 2 k( kZ)，6即 k x k ， kZ 时，函数 f(x)是增函数；512 12当 2k2 x 2 k( kZ)，6即 k x k ， kZ 时，函数 f(x)是减函数12 712因此函数
7、f(x)在 上的单调递增区间是Error! ， Error!，单调递减区间2， 2 51212为 ， .2， 512 12， 2方法技巧 求三角函数单调区间的 2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法 画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间提醒 求解三角函数的单调区间时，若 x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域 考向二 已知单调性求参数值或范围7例 2 (1)若函数 f(x)sin x ( 0)在区间 上单调递增，在区间0，3上单调递减，则 等于( )3， 2A. B.23
8、 32C2 D3(2)(2019绵阳诊断)若 f(x)cos 2x acosError! x Error!在区间 上是增2 (6， 2)函数，则实数 a的取值范围为_解析 (1)因为 f(x)sin x ( 0)过原点，所以当 0 x ，2即 0 x 时， ysin x 是增函数；2当 x ，即 x 时，2 32 2 32ysin x 是减函数由 f(x)sin x ( 0)在 上单调递增，0，3在 上单调递减知， ，所以 .3， 2 2 3 32(2)f(x)12sin 2x asin x，令 sin x t， t ，则 g(t)2 t2 at1， t ，(12， 1) (12， 1)因为
9、f(x)在 上单调递增，所以 1，即 a4.(6， 2) a4答案 (1)B (2)(，4方法技巧已知单调区间求参数范围的 3种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求14解考法二 三角函数的周期性 8例 3 (2018全国卷)函数 f(x) 的最小正周期为( )tan x1 tan2xA. B.4 2C D2解析 由已知得 f(x) sin xcos tan x1 t
10、an2xsin xcos x1 (sin xcos x)2sin xcos xcos2x sin2xcos2xx sin 2x，所以 f(x)的最小正周期为 T .12 22答案 C方法技巧 三角函数周期的求解方法公式法(1)三角函数 ysin x， ycos x， ytan x的最小正周期分别为 2，2，；(2)y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为， ytan( x )的最小正周期为2| | | |图象法利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期考法三 三角函数的奇偶性 例 4 (1)(2018枣庄一模)函数
11、 y12sin 2Error!x Error!是( )34A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数2D最小正周期为 的偶函数2(2)函数 f(x)3sin ， (0，)满足 f(|x|) f(x)，则 的值为( )(2x3 )A. B.6 3C. D.56 23解析 (1) y12sin 2(x34)cos cos(2x32) (32 2x)9sin 2 x，故函数 y是最小正周期为 的奇函数，故选 A.(2)因为 f(|x|) f(x)，所以函数 f(x)3sin 是偶函数，(2x3 )所以 k ， kZ，3 2所以 k ， kZ，56又因为 (0，)，所以
12、.56答案 (1)A (2)C方法技巧与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为 y Asin x 或 y Atan x 的形式，而偶函数一般可化为 y Acos x b的形式常见的结论有：(1)若 y Asin(x )为偶函数，则有 k (kZ)；若为奇函数，则有2 k( kZ)(2)若 y Acos(x )为偶函数，则有 k( kZ)；若为奇函数，则有 k (kZ)2(3)若 y Atan(x )为奇函数，则有 k( kZ) 考法四 三角函数的对称性 (1)求形如 y Asin(x )或 y Acos(x )函数的图象对称轴或对称中心时，都
13、是把“ x ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设 y f(x) Asin(x )，g(x) Acos(x )， x x0是对称轴方程 f(x0) A， g(x0) A；( x0,0)是对称中心f(x0)0， g(x0)0.例 5 (1)(2019南昌十校联考)函数 ysin 的图象的一个对称中心是( )(x4)A(，0) B.(34， 0)C. D.(32， 0) (2， 0)10(2)(2019合肥联考)函数 f(x)sin cos 2x的图象的一条对称轴的方程可(2x6)以是( )A x B x6 11
14、12C x D x23 712解析 (1)令 x k， kZ，得函数图象的对称中心为 ， kZ.4 (4 k ， 0)当 k1 时， ysin 的图象的一个对称中心为 .故选 B.(x4) ( 34， 0)(2)f(x)sin cos 2x sin 2x cos 2x sin .令(2x6) 32 32 3 (2x 3)2x k( kZ)，可得 x ( kZ)令 k1 可得函数图象的一条对称轴3 2 512 k2的方程是 x .1112答案 (1)B (2)B方法技巧 三角函数对称性问题的 2种求解方法定义法正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于 x轴的直线，对称中心是图象与
15、x轴的交点，即函数的零点公式法函数 y Asin(x )的对称轴为 x ，对称中心为k 2；函数 y Acos(x )的对称轴为 x ，对称中心(k ， 0) k 为 ；函数 y Atan(x )的对称中心为 .(k 2 ， 0) (k2 ， 0)上述 kZ集 训 冲 关 1. 已知函数 f(x)2sin ，则函数 f(x)的单调递减区间为( )考 法 一 考 向 一 (4 2x)A. (kZ)38 2k ， 78 2k B. (kZ)8 2k ， 38 2k C. (kZ)38 k ， 78 k D. (kZ)8 k ， 38 k 11解析：选 D 依题意， f(x)2sin 2sinErr
16、or!2 x Error!，令(4 2x) 4 2 k2 x 2 k( kZ)，故 2 k2 x 2 k( kZ)，解得 f(x)的2 4 2 4 34单调递减区间为 (kZ)故选 D.8 k ， 38 k 2. 若函数 f(x)2 asin(2x )(0 )， a是不为零的常数， f(x)在考 法 一 考 向 二 R上的值域为2,2，且在区间 上是单调减函数，则 a和 的值是( )512， 12A a1， B a1， 3 3C a1， D a1， 6 6解析：选 B sin(2 x )1,1，且 f(x)2,2，2| a|2， a1.当 a1 时， f(x)2sin(2 x )，其最小正周期
17、 T ， f(x)在区间22内单调递减，且 ，为半个周期， f(x)max f 2sin512 ， 12 12 ( 512 ) 2 ( 512 )2， 2 k (kZ)， 2 k ( kZ)又( 56 ) 56 2 430 ， a1 不符合题意，舍去当 a1 时， f(x)2sin(2 x )在Error! ， Error!上单调递减， f(x)max f 2sin 2，sin512 12 ( 512 ) ( 56 ) 1， 2 k (kZ)， 2 k (kZ)又0 ，( 56 ) 56 2 3当 k0 时， ， a1， .故选 B.3 33. 下列函数中，周期为 ，且在 上单调递增的奇函数是
18、( )考 法 一 、 二 、 三 4， 2A ysin B ycos(2x32) (2x 2)C ycos D ysin(2x2) (2 x)解析：选 C ysin cos 2x为偶函数，排除 A； ycos sin (2x32) (2x 2)2x在 上为减函数，排除 B； ycos sin 2x为奇函数，在 上单4， 2 (2x 2) 4， 2调递增，且周期为 ，符合题意； ysin cos x为偶函数，排除 D.故选 C.(2 x)124. 已知函数 ysin(2 x )Error! Error!的图象关于直线 x 对考 法 四 2 2 3称，则 的值为( )A. B6 6C. D3 3解析：选 B 由题意得 f sin 1，(3) (23 ) k ， kZ，23 2 k ， kZ.6 ，(2， 2) .613
