1、1第六节 三角函数图象与性质的综合问题三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题三角函数图象与性质中的参数范围问题策略一：针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数 y Asin(x )( 0， A0)的图象的单调性、对称性、周期等问题一般来说：(1)若函数 y Asin(x )( 0， A0)有两条对称轴 x a， x b，则有|a b| (kZ)；T2 kT2(2)若函数 y Asin(x
2、)( 0， A0)有两个对称中心 M(a,0)， N(b,0)，则有|a b| (kZ)；T2 kT2(3)若函数 y Asin(x )( 0， A0)有一条对称轴 x a，一个对称中心 M(b,0)，则有| a b| (kZ)T4 kT2策略二：研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数 y Asin(x )( 0， A0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决典例 (2016全国卷)已知函数 f(x)sin( x ) ，( 0， | | 2)x 为 f(x)的零点， x 为 y f(x)图象的对称轴
3、，且 f(x)在 上单调，则 4 4 (18， 536) 的最大值为( )A11 B9C7 D5思路点拨 本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证解题观摩 法一：排除法由 f 0 得， k( kZ)， k .( 4) 4 4当 5 时， k 只能取1， ， f(x)sin ，则 f 1， x 是函 4 (5x 4) ( 4) 42数图象的对称轴，符合题意；当 x 时，5 x ，这个区间不含(18， 536) 4 (1936， 3436)( nZ)中的任何一个，函数 f(x)在 上
4、单调，符合题意2n 12 (18， 536)当 7 时， k 只能取2， ， f(x)sin ，则 f 1， x 是 4 (7x 4) ( 4) 4函数图象的对称轴，符合题意；当 x 时，7 x ，这个区间含有(18， 536) 4 (536， 2636)，则函数 f(x)在 上不可能单调，不符合题意 2 (18， 536)当 9 时， k 只能取2， ， f(x)sin ，则 f 1， x 是函数 4 (9x 4) ( 4) 4图象的对称轴，符合题意；当 x 时，9 x ，这个区间不含(18， 536) 4 (34， 32)( nZ)中的任何一个，函数 f(x)在 上单调，符合题意2n 12
5、 (18， 536)当 11 时， k 只能取3， ， f(x)sin ，则 f 1， x 是 4 (11x 4) ( 4) 4函数图象的对称轴，符合题意；当 x 时，11 x ，这个区间含(18， 536) 4 (1336， 4636)有 ，则函数 f(x)在 上不可能单调，不符合题意 2 (18， 536)综上， 的最大值为 9.故选 B.法二：特殊值法从 T ， 2 k1( kN)来思考， 需要最大值，只有从选项中的最大数开始，22k 1即从前往后一一验证：当 11 时， T ，从单调区间的一个端点 x 往前推算，靠211 4近 的单调区间为 ， ，容易看出 0， A0)的单调区间的特征
6、，每个区间长度为 ，从靠近区间的特殊极值点 开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要T2 4“所求区间包含在单调区间内”即可 针对训练1(2019丹东教学质量监测)若函数 f(x)2sin 在区间 和(2x 6) 0， x03上都是单调递增函数，则实数 x0的取值范围为( )2x0，76A. B. 6， 2 3， 2C. D. 6， 3 4， 38解析：选 B 由 2k 2 x 2 k (kZ)得 k x k (kZ)， 2 6 2 3 6在原点附近的递增区间为Error! ， Error!， ，因此Error!解得 x0 ， 3 6 23， 76 3 2故选 B.2已知函数 f(x) Asi
7、n(2x ) 的图象在 y 轴上的截距为12(A0， 00,00)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为3 (2 x 3). 2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点，求当 m 取得最小值时， g(x)在Error! ， Error!上的单调递增区间( 3， 0) 6 712解 (1)由函数 f(x)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 ，得函数 f(x)的最小正 2周期 T2 ，解得 1，故函数 f(x)的解析式为 f(x) sin . 2 22 3 (2x 3)(2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单
8、位长度得到函数 g(x) sinError!2(x m)3Error! sin 的图象，根据 g(x)的图象恰好经过点 ， 3 3 (2x 2m 3) ( 3， 0)可得 sin 0，即 sin 0，3 (23 2m 3) (2m 3)所以 2m k( kZ)， m (kZ)， 3 k2 6因为 m0，所以当 k0 时， m 取得最小值，且最小值为 . 6此时， g(x) sin .3 (2x23)因为 x ，所以 2x . 6， 712 23 3， 116 5当 2x ，即 x 时， g(x)单调递增，23 3， 2 6， 12当 2x ，即 x 时， g(x)单调递增23 32， 116
9、512， 712综上， g(x)在区间 上的单调递增区间是 和 . 6， 712 6， 12 512， 712方法技巧三角函数图象与性质综合问题的解题策略(1)图象变换问题先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数 y Asin(x ) t或余弦型函数 y Acos(x ) t 的形式，再进行图象变换(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：利用公式 T ( 0)求周期；2根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 y Asin
10、(x ) t 或y Acos(x ) t 的单调区间 针对训练设函数 f(x)sin sin ，其中 0 3，且 f 0.( x 6) ( x 2) ( 6)(1)求 ；(2)将函数 y f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 上的最小值 4 4， 34解：(1)因为 f(x)sin sin ，( x 6) ( x 2)所以 f(x) sin x cos x cos x32 12 sin x cos x32 32 3(12sin x 32cos x) sin .3 ( x 3)因为 f 0，所以 k， kZ.( 6) 6 36故 6 k2， kZ.又 0 3，所以 2.(2)由(1)得 f(x) sin ，3 (2x 3)所以 g(x) sin sin .3 (x 4 3) 3 (x 12)因为 x ，所以 x ， 4， 34 12 3， 23当 x ，即 x 时， g(x)取得最小值 .12 3 4 327
