1、1课时跟踪检测（三十八） 空间几何体及表面积与体积A 级 保分题准做快做达标1.关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是( )A棱柱的侧棱长都相等B棱锥的侧棱长都相等C三棱台的上、下底面是相似三角形D有的棱台的侧棱长都相等解析：选 B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等2一个球的表面积为 16，那么这个球的体积为( )A. B. 163 323C16 D24解析：选 B 设球的半径为 R，则由 4 R216，解得 R2，所以这个球的体积为 R3 .43 3233如图所示，等腰 A B C是 ABC 的直观图，那么 ABC 是( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D
2、钝角三角形解析：选 B 由题图知 A C y轴， A B x轴，由斜二测画法知，在 ABC中， AC y 轴， AB x 轴， AC AB.又因为 A C A B， AC2 AB AB， ABC 是直角三角形4下列说法中正确的是( )A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选 D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故 A 错误；若三角形不是直角三角形
3、或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故 B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然2要大于底面边长，故 C 错误选 D.5(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC2， AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为( )A8 B6 2C8 D82 3解析：选 C 如图，连接 AC1， BC1， AC. AB平面 BB1C1C， AC1B 为直线 AC1与平面 BB1C1C 所成的角， AC1B30.又 AB BC2，在 Rt ABC1中， AC1 4.2sin
4、30在 Rt ACC1中， CC1 2 ， V 长方体AC21 AC2 42 22 22 2 ABBCCC1222 8 .2 26下列几何体是棱台的是_(填序号)解析：都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故不满足题意中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故不满足题意符合棱台的定义，故填.答案：B 级 难度题适情自主选做1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：选 A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 ，所以原图2形为平行四边形，位于 y 轴上的对角线长为 2 .22平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O
5、到平面 的距离为 ，则此球的2体积为( )3A. B4 6 3C4 D6 6 3解析：选 B 设球的半径为 R，由球的截面性质得 R ，所以球的体 2 2 12 3积 V R34 .43 33若圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，半径为 l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧23面积的比为( )A32 B21C43 D53解析：选 C 底面半径 r l l，故圆锥的 S 侧 l2， S 表232 13 13 l2 2 l2，所以表面积与侧面积的比为 43.13 (13l) 494(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方
6、形，则该圆柱的表面积为( )A12 B122C8 D102解析：选 B 设圆柱的轴截面的边长为 x，则 x28，得 x2 ， S 圆柱表 2 S 底 S 侧22( )22 2 12.故选 B.2 2 25已知正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )A. B16814C9 D.274解析：选 A 如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt AOF 中，(4 r)2( )2 r2，解得 r ，所以该球的表面积为 4 r242942 .(94) 8146(2018全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角
7、形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B183 3C24 D543 34解析：选 B 由等边 ABC 的面积为 9 ，可得 AB29 ，所以334 3AB6，所以等边 ABC 的外接圆的半径为 r AB2 .设球的半径为33 3R，球心到等边 ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d R2 r22.所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 DABC 体积的最大值为16 129 618 .13 3 37(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_解析：由题意知所给的几何体是棱长均为 的八面体，它是由两个有
8、公共底面的正四2棱锥组合而成的，正四棱锥的高为 1，所以这个八面体的体积为 2V 正四棱锥 2 ( )13 221 .43答案：438.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经 90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留 )解析：该球形容器最小时，两个正四棱柱组成的四棱柱与球内接，此时球的直径 2R 等于四棱柱的体对角线，即 2R ，故球形容器的表面积为 4 R230.52
9、22 12 30答案：309(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 所成角的余弦值为 ， SA 与圆78锥底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_15解析：如图， SA 与底面成 45角， SAO 为等腰直角三角形设 OA r，则 SO r， SA SB r.2在 SAB 中，cos ASB ，78sin ASB ，158 S SAB SASBsin ASB ( r)2 5 ，解得 r2 ，12 12 2 158 15 105 SA r4 ，即母线长 l4 ，2 5 5 S 圆锥侧 rl2 4 40 .10 5 2答案：40 2C 级 难度题适情
10、自主选做1.如图，一个圆锥的底面半径为 2，高为 4，在其中有一个高为 x 的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)当 x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)如图，设内接圆柱底面半径为 r.S 圆柱侧 2 rx. ， r (4 x)r2 4 x4 12代入， S 圆柱侧 2 x (4 x)( x24 x)(0x4)12(2)S 圆柱侧 ( x24 x)( x2) 24， x2 时， S 圆柱侧最大 4.2有一矩形 ABCD 硬纸板材料(厚度忽略不计)，边 AB 的长为 6 分米，其邻边足够长现从中截取矩形 EFHG(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一个底面是弓形的柱体包
11、装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中 OEMF 是以 O 为圆心、 EOF120为圆心角的扇形，且弧 ， 分别与边 BC， AD 相切于点 M， N.EF GH(1)当 BE 的长为 1 分米时，求折成的包装盒的容积；(2)当 BE 的长是多少分米时，折成的包装盒的容积最大？解：(1)在题图甲中，连接 MO 交 EF 于点 T.设 OE OF OM R 分米，在 Rt OET 中，因为 EOT EOF60，12所以 OT ，则 MT OM OT .R2 R2从而 BE MT ，即 R2 BE2.R26故所得柱体的底面积 S S 扇形 OEF S OEF R2 R2sin 120 平方分米
12、13 12 (43 3)又柱体的高 EG4 分米，所以 V SEG 立方分米(163 43)故当 BE 长为 1 分米时，折成的包装盒的容积为 立方分米(163 43)(2)设 BE x 分米，则 R2 x 分米，所以所得柱体的底面积S S 扇形 OEF S OEF R2 R2sin 120 x2平方分米13 12 (43 3)又柱体的高 EG(62 x)分米，所以 V SEG ( x33 x2)，其中 0 x3.(83 23)令 f(x) x33 x2， x(0,3)，则由 f( x)3 x26 x3 x(x2)0，解得 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下：x (0,2) 2 (2,3)f( x) 0 f(x) 极大值 所以当 x2 时， f(x)取得极大值，也是最大值故当 BE 的长为 2 分米时，折成的包装盒的容积最大7
