1、1课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线1过抛物线 y22 x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A， B 两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线( )A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选 B 设该抛物线焦点为 F， A(xA， yA)， B(xB， yB)，则|AB| AF| FB| xA xB xA xB132 p2.所以符合条件的直线有且只有两p2 p2条2(2019张掖高三诊断)过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，若 A， B 两点的横坐标之和为 ，则| AB|( )103A. B.133 143C5 D.163
2、解析：选 D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB| p x1 x2. p2，| AB|2 .103 1633(2018聊城二模)已知直线 l 与抛物线 C： y24 x 相交于 A， B 两点，若线段 AB 的中点为(2,1)，则直线 l 的方程为( )A y x1 B y2 x5C y x3 D y2 x3解析：选 D 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有Error!得 y y 4( x1 x2)，由题21 2可知 x1 x2. 2，即 kAB2，直线 l 的方程为 y12( x2)，即y1 y2x1 x2 4y1 y2 422x y30.故选 D.4(2019厦门模拟)过双曲线
3、 C： 1 的左焦点作倾斜角为 的直线 l，则直x24 y29 6线 l 与双曲线 C 的交点情况是( )A没有交点B只有一个交点C有两个交点且都在左支上D有两个交点分别在左、右两支上2解析：选 D 直线 l 的方程为 y ，代入 C： 1，整理得33(x 13) x24 y2923x28 x1600， (8 )24231600，所以直线 l 与双曲线 C 有两个交13 13点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上5已知抛物线 y x23 上存在关于直线 x y0 对称的相异两点 A， B，则|AB|( )A3 B4C3 D42 2解析：选 C 由
4、题意可设 lAB为 y x b，代入 y x23 得 x2 x b30，设A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x21， x1x2 b3， y1 y2 x1 b x2 b12 b.所以 AB 中点坐标为 ，该点在 x y0 上，即 0，得 b1，所以(12， 12 b) 12 ( 12 b)|AB| 3 .1 12 x1 x2 2 4x1x2 26(2019青岛模拟)已知点 A 是抛物线 C： x22 py(p0)的对称轴与准线的交点，过点 A 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 P，Q，若 APQ 的面积为 4，则 p 的值为( )A. B112C. D232解析：选 D 设
5、过点 A 与抛物线相切的直线方程为 y kx .由Error!得p2x22 pkx p20，由 4 k2p24 p20，可得 k1，则 Q ， P ，(p，p2) ( p， p2) APQ 的面积为 2pp4， p2.故选 D.127已知双曲线 C： 1( a0， b0)，过点 P(3,6)的直线 l 与 C 相交于 A， B 两x2a2 y2b2点，且 AB 的中点为 N(12,15)，则双曲线 C 的离心率为( )A2 B.32C. D. 355 52解析：选 B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 AB 的中点为 N(12，15)，得x1 x224， y1 y230，由Er
6、ror!3两式相减得： ， x1 x2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2b2则 .由直线 AB 的斜率 k 1， 1，则y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 4b25a2 15 612 3 4b25a2 ，双曲线的离心率 e .b2a2 54 ca 1 b2a2 328(2019福州模拟)已知抛物线 E： y22 px(p0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线交 E 于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 C， MN y 轴于点 N，若四边形 CMNF 的面积等于 7，则 E 的方程为( )A y2 x B y22
7、xC y24 x D y28 x解析：选 C F ，直线 AB 的方程为 y x .(p2， 0) p2联立得方程组Error!可得 x23 px 0，p24设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x23 p，则 y1 y2 x1 x2 p2 p， M ， N(0， p)，直线 MC 的方程为 y x .(3p2， p) 5p2 C ，四边形 CMNF 的面积为 S 梯形 OCMN S(5p2， 0)ONF p 7，(3p2 5p2)p2 12 p2 7p24又 p0， p2，即抛物线 E 的方程为 y24 x.故选 C.9(2018湖北十堰二模)如图， F1， F2是双曲线C
8、： 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 C 的两个x2a2 y2b2分支分别交于点 A， B.若 ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A4 B. 7C. D.233 3解析：选 B ABF2为等边三角形，| AB| AF2| BF2|， F1AF260.由双曲线的定义可得| AF1| AF2|2 a，| BF1|2 a.又| BF2| BF1|2 a，| BF2|4 a.4| AF2|4 a，| AF1|6 a.在 AF1F2中，由余弦定理可得| F1F2|2| AF1|2| AF2|22| AF2|AF1|cos 60，(2 c)2(6 a)2(4 a)224
9、 a6a ，即 c27 a2，12 e .故选 B.ca c2a2 710(2019贵阳模拟)已知双曲线 x2 y21 的左、右顶点分别为 A1， A2，动直线l： y kx m 与圆 x2 y21 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 P1(x1， y1)，P2(x2， y2)，则 x2 x1的最小值为( )A2 B22C4 D3 2解析：选 A l 与圆相切，原点到直线的距离 d 1，|m|1 k2 m21 k2，由Error!得(1 k2)x22 mkx( m21)0，Error! k21，1 k1，由于 x1 x2 ，2mk1 k2 x2 x1 ， x1 x2 2 4x1x222|1
10、 k2| 221 k20 k21，当 k20 时， x2 x1取最小值 2 .故选 A.211(2019安庆模拟)设抛物线 x24 y 的焦点为 F，点 A， B 在抛物线上，且满足 ，若| | ，则 的值为_AF FB AF 32解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线 x24 y 得焦点 F 的坐标为(0,1)，准线方程为 y1，| | ， y11 ，解得 y1 ，AF 32 32 12 x1 ，由抛物线的对称性取 x1 ，2 2 A ， 直线 AF 的方程为 y x1，(2，12) 24由Error! 解得Error!或Error! B(2 ，2)，| |213，2
11、FB 5 ，| | | |， 3 ，解得 .AF FB AF FB 32 12答案：1212(2019武汉调研)已知直线 MN 过椭圆 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M， N 两x22点直线 PQ 过原点 O 且与直线 MN 平行，直线 PQ 与椭圆交于 P，Q 两点，则_.|PQ|2|MN|解析：法一：由题意知，直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x my1，则直线 PQ 的方程为 x my.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， P(x3， y3)，Q( x4， y4).Error!(m22)y22 my10 y1 y2 ， y1y2 .2mm2 2 1m2 2
12、| MN| |y1 y2|2 .1 m2 2m2 1m2 2Error!(m22) y220 y3 y40， y3y4 .2m2 2| PQ| |y3 y4|2 .1 m2 2m2 1m2 2故 2 .|PQ|2|MN| 2法二：取特殊位置，当直线 MN 垂直于 x 轴时，易得| MN| ，| PQ|2 b2，则2b2a 22 .|PQ|2|MN| 2答案：2 213(2019石家庄重中高中摸底)已知抛物线 C： y22 px(p0)，直线l： y (x1)， l 与 C 交于 A， B 两点，若| AB| ，则 p_.3163解析：由Error!消去 y，得 3x2(2 p6) x30，设
13、A(x1， y1)， B(x2， y2)，由根与系数的关系，得 x1 x2 ， x1x21，所以| AB|2 2 2p 63 x1 x2 2 4x1x2 ，所以 p2. 2p 6 29 4 163答案：214(2018深圳二模)设过抛物线 y22 px(p0)上任意一点 P(异于原点 O)的直线与6抛物线 y28 px(p0)交于 A， B 两点，直线 OP 与抛物线 y28 px(p0)的另一个交点为Q，则 _.S ABQS ABO解析：设直线 OP 的方程为 y kx(k0)，联立得Error! 解得 P ，(2pk2， 2pk)联立得Error! 解得 Q ，(8pk2， 8pk)| O
14、P| ，4p2k4 4p2k2 2p1 k2k2|PQ| ，36p2k4 36p2k2 6p1 k2k2 3.S ABQS ABO |PQ|OP|答案：315已知抛物线 E： y22 px(p0)的焦点 F， E 上一点(3， m)到焦点的距离为 4.(1)求抛物线 E 的方程；(2)过 F 作直线 l，交抛物线 E 于 A， B 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为1，求直线l 的方程解：(1)抛物线 E： y22 px(p0)的准线方程为 x ，p2由抛物线的定义可知 3 4，(p2)解得 p2，抛物线 E 的方程为 y24 x.(2)法一：由(1)得抛物线 E 的方程为 y24 x，焦点
15、F(1,0)，设 A， B 两点的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!两式相减，整理得 (x1 x2)y2 y1x2 x1 4y2 y1线段 AB 中点的纵坐标为1，直线 l 的斜率 kAB 2，4y2 y1 4 1 2直线 l 的方程为 y02( x1)，即 2x y20.法二：由(1)得抛物线 E 的方程为 y24 x，焦点 F(1,0)，设直线 l 的方程为 x my1，由Error! 消去 x，得 y24 my40.设 A， B 两点的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，7线段 AB 中点的纵坐标为1， 1，解得 m ，y1 y22 4
16、m2 12直线 l 的方程为 x y1，即 2x y20.1216(2019佛山模拟)已知直线 l 过点 P(2,0)且与抛物线 E： y24 x 相交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 在第四象限， O 为坐标原点(1)当 A 是 PC 中点时，求直线 l 的方程；(2)以 AB 为直径的圆交直线 OB 于点 D，求| OB|OD|的值解：(1) A 是 PC 的中点， P(2,0)， C 在 y 轴上， A 点的横坐标为 1，又 A 在第四象限， A(1，2)直线 l 的方程为 y2 x4.(2)显然直线 l 的斜率不为 0，设 l 的方程为 x my2， A(x1， y
17、1)， B(x2， y2)，联立得方程组Error!消去 x 得y24 my80， y1y28，故 x1x2 4，y214 y24 D 在以 AB 为直径的圆上，且在直线 OB 上， ，AD OD 设 ( x 2， y 2)，OD OB 则 ( x 2 x1， y 2 y1)，AD OD OA ( x 2 x1)x 2( y 2 y1)y 20，AD OD 即 2x 4 2y 8 0，易知 0，2 2 (x y )4.2 2| OB|OD| x2 y2 2x2 2y2| |(x y )4.2 217(2019广州调研)如图，在直角坐标系 xOy 中，椭圆C： 1( a b0)的上焦点为 F1，
18、椭圆 C 的离心率为 ，且过y2a2 x2b2 12点 .(1，263)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B(B 不在 y 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 x 轴交于点 H，若 0，且| MO| MA|，求直线 l 的方程F1B F1H 8解：(1)因为椭圆 C 的离心率为 ，12所以 ，即 a2 c.ca 12又 a2 b2 c2，所以 b23 c2，即 b2 a2，34所以椭圆 C 的方程为 1.y2a2 x234a2把点 代入椭圆 C 的方程中，解得 a24.(1，263)所以椭圆 C 的方程为 1.y24 x2
19、3(2)由(1)知， A(0,2)，设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 y kx2，由Error! 得(3 k24) x212 kx0.设 B(xB， yB)，得 xB ， 12k3k2 4所以 yB ， 6k2 83k2 4所以 B .( 12k3k2 4， 6k2 83k2 4)设 M(xM， yM)，因为| MO| MA|，所以点 M 在线段 OA 的垂直平分线上，所以 yM1，因为 yM kxM2，所以 xM ，1k即 M .(1k， 1)设 H(xH,0)，又直线 HM 垂直于直线 l，所以 kMH ，即 .1k 1 1k xH 1k所以 xH k ，即 H .1k (k 1k， 0)又 F1(0,1)，所以 ， .F1B ( 12k3k2 4， 4 9k23k2 4) F1H (k 1k， 1)因为 0，所以 0，F1B F1H 12k3k2 4 (k 1k) 4 9k23k2 4解得 k .263所以直线 l 的方程为 y x2.2639
