1、128.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例(第 1 课时)学习目标1.了解仰角、俯角的概念,能根据直角三角形的知识解决实际问题 .2.体会数学来源于实践又反过来作用于实践,逐步培养分析问题、解决问题的能力 .学习过程一、复习与回顾(1)什么是锐角的正弦、余弦和正切?答:(2)30,45,60角的正弦值、余弦值和正切值分别是什么 ?填写下表:锐角A锐角三角函数 304560sin Acos Atan A(3)什么是解直角三角形?答:二、例 3 探究22012 年 6 月 16 日“神舟九号”载人航天飞船发射成功 .当飞船完成变轨后,就在离地球表面 350 km 的圆形轨道上运行 .如
2、图,当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置?这样的最远点与 P 点的距离是多少?(地球半径约为 6 400 km,结果精确到 0.1 km)解:三、例 4 探究热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30,看这栋高楼底部的俯角为 60,热气球与高楼的水平距离为 120 m,这栋高楼有多高?(结果保留一位小数)解:四、尝试应用1.如图,甲楼 AB 的高度为 123 m,自甲楼楼顶 A 处,测得乙楼顶端 C 处的仰角为 45,测得乙楼底部 D 处的俯角为 30,求乙楼 CD 的 高度(结果精确到 0.1 m, 取 1.73).3【思路点拨】
3、首先分析图形,根据题意构造直角三角形 .本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解 .解:2.建筑物 BC 上有一旗杆 AB,由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 60,观察底部 B 的仰角为 45,求旗杆的高度(精确到 0.1 m)3【思路点拨】如图,由 ADC=60可以求出 A=30,就有 AD=2CD=80 m,由勾股定理就可以求出 AC 的值,在 BDC 中由 BDC=45就可以求出 BC 的值,从而求出结论 .解:3.黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中 B= D=90,AB=BC=15 千
4、米, CD=3 千米,请据此解答如下问2题:(1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据 1 .414, 1 .73, 2 .45)2 3 6(2)求 ACD 的余弦值 .【思路点拨】(1)连接 AC,根据 AB=BC=15 千米, B=90得到 BAC= ACB=45,AC=15千米,再根据 D=90利用勾股定理求得 AD 的长后即可求周长和面积;2(2)直接利用余弦的定义求解即可 .解:五、反思总结你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?答:评价作业(满分 100 分)【基础巩固】1.(8 分)课外活动小组测量学校旗杆的高度 .如图所示,当太阳光线与地面成 30角
5、时,测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 24 米,那么旗杆 AB 的高度是( )A.12 米 B.8 米3C.24 米 D.24 米3第 1 题图 第 2 题图2.(8 分)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度,在距离树的底端 30 米的 B处,测得树顶 A 的仰角 ABO 为 ,则树 OA 的高度为( )A. 米 B.30sin 米30tan4C.30tan 米 D.30cos 米3.(8 分)如图所示,小颖利用有一个锐角是 30的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离 BE 为 5 m,AB 为 1.5 m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是( )A.
6、m(533 +32)B. m(5 3+32)C. m533D.4 m4.(8 分)如图所示,小阳发现垂直于地面的电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面BC 上,量得 CD=8 米, BC=20 米, CD 与地面成 30角,且此时测得垂直于地面的 1 米杆的影长为 2 米,则电线杆的高度为( )A.9 米B.28 米C.(7+ )米3D.(14+2 )米35.(8 分)一棵树因雪灾于 A 处折断,如图所示,测得树梢触地点 B 到树根 C 处的距离为4 米, ABC 约 45,树干 AC 垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为 米(答案保留根号) . 6.(8 分)如图所示,两建筑
7、物的水平距离 BC 为 18 m,从 A 点测得 D 点的俯角 为 30,测得 C 点的俯角 为 60,则建筑物 CD 的高度为 m. 第 6 题图 第 7 题图57.(8 分)如图所示,在建筑平台 CD 的顶部 C 处,测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为 45,测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30,已知平台 CD 的高度为 5 m,则大树的高度为 m(结果保留根号) . 8.(8 分)如图所示,为了知道空中一静止的广告气球 A 的高度,小宇在 B 处测得气球 A的仰角为 18,他向前走了 20 m 到达 C 处后,再次测得气球 A 的仰角 为 45,已知小宇的眼睛距地面 1.6 m,
8、则此时气球 A 距地面的高度约为 (结果精确到 1 m). 9.(12 分)如图所示,张华同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆顶部 A 点的仰角为30,旗杆底部 B 点的俯角为 45.若旗杆底部 B 点到建筑物的水平距离 BE=9 米,旗杆台阶高 1 米,求旗杆顶点 A 离地面的高度 .(结果保留根号)10.(12 分)某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高 5 米的小区超市,超市以上是居民住房 .在该楼的前面 15 米处要盖一栋高 20 米的新楼 .当冬季正午 的阳光与水平线的夹角为 32时 .(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么?(2)若要使超市以上的居民住房
9、采光不受影响,两楼至少应相距多少米?(结果保留整数,参考数据:sin 32 ,cos 32 ,tan 32 )53100 106125 5811.(12 分)如图所示,在电线杆上的 C 处引拉线 CE,CF 固定电线杆,拉线 CE 和地面成60角,在离电线杆 6 米的 B 处安置测角仪,在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30,已知测角仪 AB 高为 1.5 米,求拉线 CE 的长(结果保留根号) .6参考答案学习过程一、复习与回顾1.答:在直角三角形中,锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦,即 sin A= ;锐 A的对边斜边角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦,即 cos A
10、= ;锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A的邻边斜边 A 的正切,即 tan A= . A的对边 A的邻边2.锐角A锐角三角函数 304560sin A12 22 32cos A32 22 12tan A33 1 33.答:由直角三角形中的已知元素(至少有一条边),求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形 .二、例 3 探究解:设 POQ= ,在 图中, FQ 是 O 的切线, FOQ 是直角三角形 . cos = 0 .949 1,OQOF= 64006400+343 18 .36. 弧 PQ 的长为 6 400 6 4002 051(km) .18.36180 18.363.1421807由
11、此可知,当组合体在 P 点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2 051 km.三、例 4 探究解:如图所示, = 30,= 60,AD=120. tan = ,tan = ,BDAD CDADBD=AD tan = 120tan 30=120 =40 ,33 3CD=ADtan = 120tan 60=120 =120 .3 3BC=BD+CD= 40 +1203 3=160 277(m) .3因此,这栋楼高约为 277 m.四、尝试应用1.解:如图,过点 A 作 AE CD 于点 E,根据题意, CAE=45, DAE=30.AB BD,CD BD, 四边形 ABDE 为矩
12、形 .DE=AB= 123.在 Rt ADE 中,tan DAE= ,DEAEAE= =123 .DEtan DAE= 123tan30=12333 3在 Rt ACE 中,由 CAE=45,得 CE=AE=123 .3CD=CE+DE= 123( +1)335 .8.3答:乙楼 CD 的高度约为 335.8 m.82.解: ACD=90, ADC=60, A=30,AD= 2CD.CD= 40 m,AD= 80 m,在 Rt ADC 中,由勾股定理,得AC=40 .3 BDC=45, DBC=45, DBC= BDC,BC=CD= 40 m,AB= 40 -4029 .3 m.3 旗杆的高度
13、为 29.3 m.3.解:(1)连接 AC,A B=BC=15 千米, B=90, BAC= ACB=45,AC=15 千米 .2又 D=90,AD= =12 (千米) .AC2-CD2= (152)2-(3 2)2 3 周长 =AB+BC+CD+DA=30+3 +12 =30+4.242+20.78455(千米) .2 3面积 =S ABC+S ADC=112.5+18 157(平方千米) .6(2)cos ACD=CDAC=32152=15五、反思总结答:利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程是:(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);(2)根
14、据问题中的条件,适当选用锐角 三角函 数解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案 .评价作业1.B 2.C 3.A 4.D5.(4+4 ) 6.12 7.(5+5 ) 8.11 m 2 3 399.解:如图所示,作 CH AB 于 H,在 Rt ACH 中, ACH=30,tan 30= ,AH=CH tan 30=9 =3 (米),在 Rt CHB 中, HCB=45,tan 45AHCH 33 3= ,BH=CH tan 45=9 米 ,所以旗杆顶HBCH点 A 离地面的高度为 AH+BH+1=(10+3 )米 .310.解:(1)受影响 .理由如下:如图所示,延长
15、光线交 CD 于 F,作 FE AB 于 E,在 Rt AEF中, tan AFE=tan 32= ,解得 AE =9 ,故可得 FC=EB=20-9 =10 5,即超市以AEEF=AE15 58 758 38 38 58上的居民住房采光要受影响 .(2)要使采光不受影响,则 EB=5 米, AE=15 米,tan 32 = ,解得 EF24 米,即要使15EF 58超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应至少相距 24 米 .11.解:如图所示,过点 A 作 AH CD,垂足为 H,由题意可知四边形 ABDH 为矩形, CAH=30,DH=AB= 1.5,AH=BD=6,在 Rt ACH 中,tan CAH= ,CH=AH tan CAH,CH= 6tan 30=6 =2 ,DH= 1.5,CD= 2 +1.5,CHAH 33 3 3在 Rt CDE 中, CED=60,sin CED= ,CE= =4+ (米) .答:拉线 CECDCE CDsin60=23+1.532 3的长为(4 + )米 .310
