1、1数学活动学习目标(1)会制作测角仪,应用制作的测角仪测量实物的高度,体会三角函数和解直角三角形在实际生活中的应用价值;(2)在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力 .学习过程一、自主预习问题:1.什么是解直角三角形?答:2.解直角三角形的依据是什么?答:3.应用解直角三角形解决实际问题的的一般步骤是什么?答:二、活动 1 制作测角仪,测量树的高度阅读教科书“活动 1”,思考:1.制作测角仪,测量树的高度的步骤:(1)把一根细线固定在半圆形量角器的 ,细线的另一端系一个小重物,制成一个简单的测角仪,利用它可以测量仰角或俯角; (2)将这个仪器用手托住,拿到眼前,使视线沿着仪器的 刚好到达
2、树的最高点; (3)得出 的度数; (4)测出你到 的距离; (5)计算这棵树的高度 .2.(1)测角仪是由哪几个部分组成的?(1)答:2(2)测角仪上角的读数与仰角有怎样的关系?答:3.树的高度怎样计算?答:三、活动 2 利用测角仪测量塔高阅读教科书“活动 2”,思考:1.利用测角仪测量塔高的一般步骤?(1)在塔前的平地点选择一点 A,用活动 1 中制作的测角仪测出你看 的仰角 ; (2)在 A 点和塔之间选择一点 B,测出你由 B 点看 的仰角 ; (3)量出 ; (4)计算塔的高度 .2.塔的高度怎样计算?答:四、总结反思请同学们回顾本节课的内容,说一说“活动 1”和“活动 2”的测量方
3、法有什么区别?答:评价作业1.(8 分)元旦期间,小明带领小组成员做了测 量电线杆高度的活动,在离电线杆 21 米的D 点,用高 1.2 米的测角仪 CD 测得电线杆顶端 A 的仰角 = 30,则电线杆 AB 的高为( )A.(9 +1.2)米3B.(7 +1.2)米3C.(9 +1.2)米2D.(7 +1.2)米22.(8 分)周末,小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩,看到高雄挺拔的“胜利之塔”,萌发了用所学知识测量塔高的想法,如图,他俩在塔 AB 前的平地上选择一点 C,树立测角仪3CE,测出看塔顶的仰角约为 30,从 C 点向塔底 B 走 70 米到达 D 点,测出看塔顶的仰角约为45,
4、已知测角仪器高为 1 米,则塔 AB 的高大约为( 1 .7)( )3A.141 米B.101 米C.91 米D.96 米3.(8 分)小明和小刚一起去测上海东方明珠塔( BC)的高度,如图所示,他们在离塔 200米的大楼楼顶 A 处用测角仪测得的仰角 BAE=60(AE 与地面 CD 平行),塔底的俯角 CAE=30,则该塔的高为( )米(测角仪的高度不计)A.300 3B.400C.8003 3D.100+200 34.(8 分)如图,为了测量某建筑物 BC 的高度,小明先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 30,然后在水平地面上向建筑物前进了 10 m 到达 D 处,此时遇
5、到一斜坡,坡度 i=1 ,沿着斜坡前进 10 米到达 E 处测得建筑物顶部的仰角是 45,请求出该建筑3物 BC 的高度为( )(结果可带根号)A.5 +53B.5 +52C.5 +102D.5 +1035.(10 分) B 为一建筑物 BC 的最高点, B 在地面上的投影为 E,从地面上的 A 点,用测角仪测得 B 点的仰角为 ,测角仪高 AD=b,若 AC=a,则建筑物 CB 的高可表示为 . 6.(10 分)如图,山脚下有一棵树 AB,小强从点 B 沿山坡向上走 50 m 到达点 D,用高为1.5 m 的测角仪 CD 测得树顶为 10,已知山坡的坡脚为 15,则树 AB 的高 = (精确
6、4到 0.1 m)(已知 sin 100 .17,cos 100 .98,tan 100 .18,sin 150 .26,cos 150 .97,tan 150 .27). 7.(10 分)在湖心有一座塔,小明想知道这座塔的高度,于是他在岸边架起了测角仪 .他测量得数据如下(如图示):测角仪位置( P)距水平面( l)的距离为 1.5 米(即 OP),测得塔顶 A的仰角为 (其中 tan = ),测得塔顶在水中倒影 A1(即 AB=A1B)的俯角为 30.那么这座13塔的高度 AB= .(结果保留根号) 8.(12 分)如图所示,为了知道楼房 CD 外墙上一电子屏的高度 DE 是多少,某数学活
7、动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作;在 A 处测得点 E 的仰 角为 31,在 B 出测得点 D的仰角为 50,A、 B、 H 共线,且 AH CD 于点 H,AB 为 20 米,测角仪的高度( AF、 BG)为 1.6米 .已知楼房 CD 高为 34.6 米,根据测量数据,请求出 DE 的高度 .(参考数据:tan 310 .6,tan 501 .2)59.(12 分)如图,为了测量一棵树被风吹斜了的大树的高度,某人从大树底部 B 处往前走20 米到 C 处,用测角仪测得树顶 A 的仰角为 30,已知测角仪的高 CD 为 1 米,大树与地面成45的夹角(平面 ABCD 垂直于地面),求
8、大树的高(保留根号) .10.(14 分)某校兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度 .如图,大楼前有一段斜坡 BC,已知BC 的长为 12 米,它的坡度 i=1 .在离 C 点 40 米的 D 处,用测角仪测得大楼顶端 A 的仰3角为 37,测角仪 DE 的高为 1.5 米,求大楼 AB 的高度约为多少米?(结果精确到 0.1 米)(参考数据:sin 370 .60,cos 370 .80,tan 370 .75, 1 .73)3参考答案学习过程一、自主预习1.答: 解直角三角形就是由直角三角形中的已知元素(至少有一条边),求出其余未知元素的过程 .2.答:解直角三角形的依据是以下 3 个关系
9、:(1)三边之间关系: a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系: A+ B=90;(3)边角之间关系:sin A= ,cos A= ,tan A= .ac bc ab3.答:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案 .二、活动 1 制作测角仪,测量树的高度1.(1)圆心处 (2)直径 (3)仰角 (4)树根2.(1)答:测角仪由量角器、细线、小重物等组成 .(2)答:测角仪上角的读数与仰角是互余的关系 .3.答:树的高度 =人到树根的距离t
10、an + 测角仪的高度,其中 是所测仰角 .三、活动 2 利用测角仪测量塔高1.(1)塔顶 (2)塔顶 (3)A、 B 两点的距离2.答:根据“ =A、 B 两点的距离”列出方程,解方程求出塔塔高 -测角仪高tan -塔高 -测角仪高tan高 .6四、总结反思答:“活动 1”需要测量一个角度和两个距离,通过计算便可得到树高,适用于测量底部可以到达的物体高度;“活动 2”需要测量两个角度和两个距离,通过解方程方可得到塔高,适合于测量底部不能到达的物体高度 .评价作业1.B2.D 3.C 4.D 解析:过 E 作 EF AB 于 F,EG BC 与 G,CB AB, 四边 形 EFBG 是矩形,E
11、G=FB ,EF=BG,设 CG=x 米, CEG=45,FB=EG=CG=x ,DE 的坡度 i=1 ,3 EDF=30,DE= 10,DF= 10cos 30=5 ,BG=EF=10sin 30=5,3AB= 10+5 +x,BC=x+5,3在 Rt ABC 中, A=30,BC=AB tan A,即 x+5= (10+5 +x),33 3解得: x=5 +5,3BC= 5 +5+5=(5 +10)米 .3 35.CB=b+atan6.23.2 m 7.(3+ ) 解析:作 PH AB 交 AB 于点 H.332由题意可知:四边形 OPBH 为矩形,HB=OP= 1.5.在 Rt APH
12、中,tan = ,137令 AH=k,PH=3k.在 Rt A1PH 中, A1PH=30,A 1H=PHtan 30= ,3又 AB=A1B,得: k+1.5= ,3解得: k= ,3+332AB=AH+HB= 3+ (米) .3328.解:由题意知 EAH=31, DBH=50,CH=AF=1.6,DH=DC-CH= 34.6-1.6=33,在 Rt DBH 中, tan 50= ,DHBH=33BHBH= =27.5,33tan50 331.2AH= 27.5+20=47.5.在 Rt EAH 中, tan 31= ,EHAH= EH47.5EH= 47.5tan 3128 .5,DE=
13、DH-EH 33 -28.5=4.5(米) .答: DE 的高度约为 4.5 米 .9.解:作 AE BC 于点 E,作 DF AE 于点 F,交 AB 于点 G,作 GH CE 于点 H.设 AF=x,在 ADF 中, ADF=30,则 DF= x,3在直角 AGF 中, ADF=45,则 GF=AF=x,在直角 BGH 中, ABE=45,GH=CD=1,则 BH=GH=1,DG=BC+BH= 20+1=21(米),DF-GF=DG , x-x=21,3解得: x= (米),213-1=21(3+1)2则 AE=AF+EF= +1= (米) .21(3+1)2 213+232则树高 AB=
14、 AE= (米) .2216+23228答:大树的高是 米 .216+232210.解:延长 AB 交直线 DC 于点 F,过点 E 作 EH AF,垂足为点 H. 在 Rt BCF 中, =i=1 ,BFCF 3 设 BF=k,则 CF= k,BC=2k.3又 BC= 12,k= 6,BF= 6,CF=6 .3DF=DC+CF ,DF= 40+6 .3 在 Rt AEH 中,tan AEH= ,AHEHAH= tan 37(40+6 )37 .785(米),3BH=BF-FH ,BH= 6-1.5=4.5.AB=AH-HB ,AB= 37.785-4.533 .3.答:大楼 AB 的高度约为 33.3 米 .
