1、19.3 正方形,1.正方形的性质 正方形具有平行四边形的所有性质,另外,还具有以下性质: (1)四条边都 .(2)四个角都是 .(3)对角线 . 2.正方形的判定 (1)有一个角是直角的 是正方形.(2)有一组邻边相等的 是正方形.,相等,直角,相等且互相垂直平分,菱形,矩形,探究点一:正方形的性质 【例1】 如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GEDC于点E,GFBC于点F,连结AG.写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由.,【导学探究】 1.连结CG,根据正方形的对称性,得CG= . 2.证明四边形EGFC是 ,根据勾股定理可得到AG,GE,
2、GF的数量关系.,AG,矩形,解:结论:AG2=GE2+GF2. 理由: 如图,连结CG. 因为四边形ABCD是正方形, 所以A,C关于对角线BD对称, 因为点G在BD上,所以AG=CG, 因为GEDC于点E,GFBC于点F, 所以GEC=ECF=CFG=90, 所以四边形EGFC是矩形,所以CF=GE, 在RtGFC中, 由勾股定理,得 CG2=GF2+CF2, 所以AG2=GE2+GF2.,探究点二:正方形的判定 【例2】 如图,ABC中,ACB=90,CD平分ACB,DEBC,DFAC,垂足分别为E,F.求证:四边形CFDE是正方形.,【导学探究】 要证四边形CFDE是正方形,应先证四边
3、形CFDE是 ,然后再证 . 相等.,矩形,证明:因为DEC=ECF=CFD=90, 所以四边形CFDE是矩形. 又因为CD平分ACB,DEBC,DFAC, 所以DE=DF(角平分线性质), 所以四边形CFDE是正方形.,一组邻边,正方形的判定方法 (1)一组邻边相等的矩形是正方形. (2)有一个内角是直角的菱形是正方形. (3)对角线相等的菱形是正方形.,1.对角线互相垂直平分的四边形是( ) (A)平行四边形、菱形 (B)矩形、菱形 (C)矩形、正方形 (D)菱形、正方形 2.(2018重庆A卷)下列命题正确的是( ) (A)平行四边形的对角线互相垂直平分 (B)矩形的对角线互相垂直平分
4、C)菱形的对角线互相平分且相等 (D)正方形的对角线互相垂直平分,D,D,3.如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成( )(A)90 (B)45 (C)30 (D)60 4.(2018新疆生产建设兵团)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( )(A)6 cm (B)4 cm (C)3 cm (D)2 cm,B,D,5.如图,在正方形ABCD中,点F在CD上,点E在BC的延长线上,且CE=CF,BF的延长线交DE于G. (1)求证:BF=DE; (2)求证:BGDE.,证明:(1)因为四边形ABCD是正方形, 所以BC=DC,BCF=DCE=90. 因为CF=CE,所以BCFDCE.所以BF=DE. (2)因为BCFDCE, 所以FBC=EDC. 因为FBC+BFC=90,BFC=DFG,所以EDC+DFG=90. 所以FGD=90.所以BGDE.,
