1、1【课时训练】导数的概念与运算一、选择题1(2018 广东江门一模)设 y x2ex，则 y( )A x2ex2 x B2 xexC(2 x x2)ex D( x x2)ex【答案】C【解析】 y2 xex x2ex(2 x x2)ex.2(2018 河南六市联考)已知函数 f(x)的导函数为 f ( x)，且满足 f(x)2 xf (1)ln x，则 f (1)( )Ae B1C1 De【答案】B【解析】由 f(x)2 xf (1)ln x，得 f ( x)2 f (1) ， f (1)2 f 1x(1)1，则 f (1)1.3(2018 山东烟台模拟)曲线 ysin xe x在点(0,1)
2、处的切线方程是( )A x3 y30 B x2 y20C2 x y10 D3 x y10【答案】C【解析】 ycos xe x，故切线斜率为 k2，切线方程为 y2 x1，即2x y10.4(2018 郑州模拟)已知曲线 y 3ln x的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐x24 12标为( )A3 B2C1 D12【答案】B【解析】因为 y 3ln x，所以 y .再由导数的几何意义，有 ，x24 x2 3x x2 3x 12解得 x2 或 x3(舍去)5(2018 成都诊断)已知曲线 yln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )Ae BeC D1e 1e【答案】C【解析】 yln x的定义域
3、为(0，)，且 y ，设切点为( x0，ln x0)，则1xy| x x0 ，切线方程为 yln x0 (x x0)，因为切线过点(0,0)，所以ln 1x0 1x02x01，解得 x0e，故此切线的斜率为 .1e6(2018 昆明诊断)设曲线 y 在点 处的切线与直线 x ay10 平1 cos xsin x (2， 1)行，则实数 a等于( )A1 B. C2 D212【答案】A【解析】 y ， 1.由条件，知 1， a1. 1 cos xsin2x 1a7(2018 西安一模)函数 f(x)ln x x2 bx a(b0， aR)的图象在点( b， f(b)处的切线斜率的最小值是( )A
4、2 B. C1 D22 3【答案】D【解析】因为 f(x)ln x x2 bx a，所以 f( x) 2 x b.所以函数 f(x)ln 1xx x2 bx a(b0， aR)的图象在点( b， f(b)处的切线斜率为 f( b) b2，所以1b函数 f(x)ln x x2 bx a(b0， aR)的图象在点( b， f(b)处的切线斜率的最小值是2.故选 D.8(2018 合肥模拟)已知点 P是曲线 x2 yln x0 上的任意一点，则点 P到直线y x2 的最小距离为( )A1 B. C. D.32 52 2【答案】D【解析】点 P是曲线 y x2ln x上任意一点，当过点 P的切线和直线
5、 y x2 平行时，点 P到直线 y x2 的距离最小，直线 y x2 的斜率为 1，令 y x2ln x，得 y2 x 1，解得 x1 或 x (舍去)，1x 12故曲线 y x2ln x上和直线 y x2 平行的切线经过的切点的坐标为(1,1)，点(1,1)到直线 y x2 的距离等于 ， 点 P到直线 y x2 的最小距离为 .2 2二、填空题9(2018 陕西咸阳一模)若曲线 y ax2ln x在点(1， a)处的切线平行于 x轴，则a_.【答案】12【解析】因为 y2 ax ，所以 y| x1 2 a1.因为曲线在点(1， a)处的切线平行1x于 x轴，故其斜率为 0，故 2a10，
6、解得 a .1210(2018 郑州二次质量预测)曲线 f(x) x3 x3 在点 P(1,3)处的切线方程是3_【答案】2 x y10【解析】由题意，得 f ( x)3 x21，则 f (1)31 212，即函数 f(x)的图象在点 P(1,3)处的切线的斜率为 2，则切线方程为 y32( x1)，即 2x y10.11(2018 豫北名校期末联考)曲线 y5e x3 在点(0，2)处的切线方程为_【答案】5 x y20【解析】 y5e x，所求曲线的切线斜率 k y| x0 5e 05.切线方程为 y(2)5( x0)，即 5x y20.12(2018 长沙一中期末)如图， y f(x)是
7、可导函数，直线 l： y kx2 是曲线y f(x)在 x3 处的切线，令 g(x) xf(x)，其中 g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3)_.【答案】0【解析】由图形可知 f(3)1， f (3) ， g( x) f(x) xf ( x)， g(3)13 f(3)3 f (3)110.13(2018 湖南师大附中月考)若函数 f(x) x2 axln x存在垂直于 y轴的切线，12则实数 a的取值范围是_【答案】2，)【解析】 f(x) x2 axln x， f ( x) x a (x0)12 1x f(x)存在垂直于 y轴的切线， f ( x)存在零点，即 x a0 有解， a x
8、 2(当且仅当 x1 时取等号)1x 1x三、解答题14(2018 湖北孝感高中期中)已知函数 f(x) x3 x.(1)求曲线 y f(x)在点 M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1， b)可作曲线 y f(x)的三条切线，求实数 b的取值范围【解】(1) f( x)3 x21， f(1)2.故切线方程为 y02( x1)，即 2x y20.(2)设切点为( x0， x x0)，则切线方程为30y( x x0) f( x0)(x x0)30又切线过点(1， b)，所以(3 x 1)(1 x0) x x0 b，20 304即 2x 3 x b10.30 20由题意，上述关于 x0的方程有三个不同的实数解记 g(x)2 x33 x2 b1，则 g(x)有三个不同的零点，而 g( x)6 x(x1)，令 g( x)0 得 x0 或 x1，则结合图像可知 g(0)g(1)0即可，可得 b(1,0)
