1、12019 年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1抛物线 y2（ x2） 21 的顶点坐标是（ ）A（0，1） B（2，1） C（2，1） D（0，1）2如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2：甲 乙 丙 丁平均数 （ cm） 563 560 563 560方差 S2（ cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁3甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其
2、中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）A B C D4如图， AB 是 O 的弦，半径 OC AB， D 为圆周上一点，若 的度数为 50，则 ADC的度数为（ ）A20 B25 C30 D505若关于 x 的一元二次方程 kx22 x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）A k1 B k1 且 k0 C k1 且 k0 D k1 且 k06如图， ABC 中， AD 是中线， BC8， B DAC，则线段 AC 的长为（ ）A4 B4 C6 D42二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）7已知一组数据：4，2，5，0，3这组数据的
3、中位数是 8已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、 b 的长度分别为 2cm 和 8cm，则 c 的长度为 cm9一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 10已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于 cm211若 m 是方程 2x23 x10 的一个根，则 6m29 m+2016 的值为 12已知二次函数 y ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表：x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 当 x1 时， y 13已知正六边形的边长为 4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长
4、度之和为 cm（结果保留 ）14如图，在 ABC 中， DE BC， ，则 15如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、 B、 C 都在小正方形的顶点上，则 ABC 的正切值为 16如图，Rt ABC 中， ACB90， AC BC4， D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点C 作 CH BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 3三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分）17计算： sin45+2cos30tan6018雾霾天气严重影响市民的生活质量在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民并对调查结果进行了整理
5、绘制了如图不完整的统计图表观察分析并回答下列问题（1）本次被调查的市民共有多少人？（2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度数；（3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、 B 两组主要成因的市民有多少人？组别 雾霾天气的主要成因 百分比A 工业污染 45%B 汽车尾气排放 mC 炉烟气排放 15%D 其他（滥砍滥伐等） n19把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张（1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；（2）若取出的两张卡片数字
6、之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由420周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点C、 A 共线已知： CB AD， ED AD，测得 BC1 m， DE1.5 m， BD8.5 m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB21如图，点 A、 B、 C 在 O 上，用无刻度的直尺画图（1）在图中，画一个与 B 互补
7、的圆周角；（2）在图中，画一个与 B 互余的圆周角22某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶部 C 点（ A、 C、 B 在同一条直线上且与水平线垂直）2 米试求该校地下停车场的高度 AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米， 1.732）23如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位： m）与飞行时间 x（单位： s）之间具有函数关系 y5 x2+
8、20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？5（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？24如图，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D过点 D 作 EF AC，垂足为 E，且交 AB 的延长线于点 F（1）求证： EF 是 O 的切线；（2）已知 AB4， AE3求 BF 的长25如图，四边形 ABCD 中， AC 平分 DAB， ADC ACB90， E 为 AB 的中点，（1）求证： AC2 ABAD；（2）求证： CE AD；（3
9、）若 AD4， AB6，求 的值26（1）问题提出：苏科版数学九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图， BD、 CE 是 ABC 的高， M 是 BC 的中点，点 B、 C、 D、 E 是否在以点 M 为圆心的同一个圆上？为什么？在解决此题时，若想要说明“点 B、 C、 D、 E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”，在连接MD、 ME 的基础上，只需证明 6（2）初步思考：如图， BD、 CE 是锐角 ABC 的高，连接 DE求证： ADE ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明（请你根据小敏的思路完成证明过程）（3）推广运用：如图， BD、 CE、 A
10、F 是锐角 ABC 的高，三条高的交点 G 叫做 ABC 的垂心，连接 DE、 EF、 FD，求证：点 G 是 DEF 的内心27如图 1，已知抛物线 y x2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），点 P 是抛物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接AP（1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标；（2）若 AQP AOC，求点 P 的横坐标；（3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将 APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q，请直接写出当点 Q落在坐标轴上时点 P 的坐标72019 年
11、江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1抛物线 y2（ x2） 21 的顶点坐标是（ ）A（0，1） B（2，1） C（2，1） D（0，1）【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标【解答】解：顶点式 y a（ x h） 2+k，顶点坐标是（ h， k）， y2（ x2） 21 的顶点坐标是（2，1）故选： C【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y a（ x h） 2+k 中，对称轴为 x h，顶点坐标为（ h， k）2如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔
12、赛成绩的平均数 与方差 S2：甲 乙 丙 丁平均数 （ cm） 563 560 563 560方差 S2（ cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案【解答】解： S 甲 26.5， S 乙 26.5， S 丙 217.5， S 丁 214.5， S 甲 2 S 乙 2 S 丁 2 S 丙 2， 563， 560， ，从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；故选： A【点评】此题考查了平均数和方差
13、，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立83甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ）A B C D【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：可能出现的结果甲 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查乙 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生由上表可知，可能的结果共有 4 种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有 1 种，则两人同时选择“参加社会调查”的概率为 ，故
14、选： B【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验4如图， AB 是 O 的弦，半径 OC AB， D 为圆周上一点，若 的度数为 50，则 ADC的度数为（ ）A20 B25 C30 D50【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到 BOC50，利用垂径定理得到 ，然后根据圆周角定理计算 ADC 的度数【解答】解： 的度数为 50， BOC50，半径 OC AB，9 ， ADC BOC25故选： B【点评】本题考查了圆心角、弧
15、、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了垂径定理和圆周角定理5若关于 x 的一元二次方程 kx22 x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）A k1 B k1 且 k0 C k1 且 k0 D k1 且 k0【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出不等式，且二次项系数不为 0，即可求出 k 的范围【解答】解：一元二次方程 kx22 x10 有两个不相等的实数根， b24 ac4+4 k0，且 k0，解得： k1 且 k0故选： D【点评】此题考查了一元二次方程根的判别
16、式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0，方程没有实数根6如图， ABC 中， AD 是中线， BC8， B DAC，则线段 AC 的长为（ ）A4 B4 C6 D4【分析】根据 AD 是中线，得出 CD4，再根据 AA 证出 CBA CAD，得出 ，求出 AC 即可【解答】解： BC8， CD4，在 CBA 和 CAD 中， B DAC， C C，10 CBA CAD， ， AC2 CDBC4832， AC4 ；故选： B【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是根据 AA 证出 CBA CAD，是一道
17、基础题二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）7已知一组数据：4，2，5，0，3这组数据的中位数是 3 【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数）即可【解答】解：从小到大排列此数据为：0，2，3，4，5，第 3 位是 3，则这组数据的中位数是 3故答案为：3【点评】考查了中位数的知识，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数8已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、 b 的长度分别为 2cm 和 8c
18、m，则 c 的长度为 4 cm【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积所以 c228，解得 c4（线段是正数，负值舍去），故答案为：4【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数9一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 【分析】设方程的两根分别为 x1、 x2，根据根与系数的关系可得出 x1+x2 ，此题得解【解答】解：设方程的两根分别为 x1、 x2，11 a2， b3， c1， x1+x2 故答案为：【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根
19、之和等于 、两根之积等于 是解题的关键10已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于 24 cm2【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算【解答】解：圆锥的侧面积 24624，故答案为：24【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积： S 侧 2 rl rl11若 m 是方程 2x23 x10 的一个根，则 6m29 m+2016 的值为 2019 【分析】把 x m 代入方程，求出 2m23 m1，再变形后代入，即可求出答案【解答】解： m 是方程 2x23 x10 的一个根，代入得：2 m23 m10，2 m23 m1，6 m29 m+20163（2 m23
20、m）+201631+20162019，故答案为：2019【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出 2m23 m1 是解此题的关键12已知二次函数 y ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表：x 2 0 2 3 y 8 0 0 3 当 x1 时， y 3 【分析】先确定出抛物线的对称轴，然后利用对称性求解即可【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为 x1，当 x1 时与 x3 时函数值相同，当 x1 时， y3故答案为：312【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的对称性求解是解题的关键13已知正六边形的边长为 4cm，分别以它的三个不相邻
21、的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 8 cm（结果保留 ）【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式【解答】解：方法一：先求出正六边形的每一个内角 120，所得到的三条弧的长度之和3 8（ cm）；方法二：先求出正六边形的每一个外角为 60，得正六边形的每一个内角 120，每条弧的度数为 120，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为 8 cm故答案为：8【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆与圆有关的计算，注意圆与多边形的结合14如图，在 ABC 中， DE BC， ，则 【分析】由 DE BC 可得出 ADE B， AED C，进而可得出
22、ADE ABC，利用相似三角形的性质可得出 ，进而可得出 ，此题得解【解答】解： DE BC， ADE B， AED C，13 ADE ABC， （ ） 2（ ） ， 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键15如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、 B、 C 都在小正方形的顶点上，则 ABC 的正切值为 1 【分析】根据勾股定理求出 ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出 ACB90，再解直角三角形求出即可【解答】解：如图：长方形 AEFM，连接 AC，由勾股定理得： AB23 2+1210， BC22 2+125
23、， AC22 2+125， AC2+BC2 AB2， AC BC，即 ACB90，tan ABC 1，故答案为：1【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出 ACB90是解此题的关键16如图，Rt ABC 中， ACB90， AC BC4， D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点C 作 CH BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 2 2 14【分析】取 BC 中点 G，连接 HG， AG，由直角三角形的性质可得 HG CG BG BC2，由勾股定理可求 AG2 ，由三角形的三边关系可得 AH AG HG，当点 H 在线段 AG 上时，可求 AH 的最小值【
24、解答】解：如图，取 BC 中点 G，连接 HG， AG， CH DB，点 G 是 BC 中点 HG CG BG BC2，在 Rt ACG 中， AG 2在 AHG 中， AH AG HG，即当点 H 在线段 AG 上时， AH 最小值为 2 2，故答案为：2 2【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使 AH 值最小时点 H 的位置是本题的关键三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分）17计算： sin45+2cos30tan60【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式 +2 1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本
25、题的关键18雾霾天气严重影响市民的生活质量在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民并对调查结果进行了整理绘制了如图不完整的统计图表观察分析并回答下列问题15（1）本次被调查的市民共有多少人？（2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度数；（3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、 B 两组主要成因的市民有多少人？组别 雾霾天气的主要成因 百分比A 工业污染 45%B 汽车尾气排放 mC 炉烟气排放 15%D 其他（滥砍滥伐等） n【分析】（1）根据条形图和扇形图信息，得到 A 组人数和所占
26、百分比，求出调查的市民的人数；（2）根据 B 组人数求出 B 组百分比，得到 D 组百分比，根据扇形圆心角的度数百分比360求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图；（3）根据持有 A、 B 两组主要成因的市民百分比之和求出答案【解答】解：（1）从条形图和扇形图可知， A 组人数为 90 人，占 45%，本次被调查的市民共有：9045%200 人；（2）6020030%，30%360108，区域 B 所对应的扇形圆心角的度数为：108，145%30%15%10%，D 组人数为：20010%20 人，（3）100 万（45%+30%）75 万，若该市有 100 万人口，持有
27、A、 B 两组主要成因的市民有 75 万人16【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，正确获取图中信息并准确进行计算是解题的关键19把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张（1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的
28、概率，即可得出答案【解答】解：（1）画树状图得：，由上图可知，所有等可能结果共有 9 种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有 4 种 P（取出的两张卡片数字之和为奇数） （2）不公平，理由如下：由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为： ，17这个游戏不公平【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比20周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，
29、再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点C、 A 共线已知： CB AD， ED AD，测得 BC1 m， DE1.5 m， BD8.5 m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB【分析】由 BC DE，可得 ，构建方程即可解决问题【解答】解： BC DE， ABC ADE， ， ， AB17（ m），经检验： AB17 是分式方程的解，答：河宽 AB 的长为 17 米【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21如图，点 A、 B、 C 在 O 上，用无刻度的直尺画图（1）在图中，画一个与
30、B 互补的圆周角；（2）在图中，画一个与 B 互余的圆周角18【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可；（2）根据 90的圆周角所对的弦是直径进行画图即可【解答】解：（1）如图 1， P 即为所求：（2）如图 2， CBQ 即为所求【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键22某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车
31、场的俯角为 30，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶部 C 点（ A、 C、 B 在同一条直线上且与水平线垂直）2 米试求该校地下停车场的高度 AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米， 1.732）【分析】根据题意和正弦的定义求出 AB 的长，根据余弦的定义求出 CD 的长【解答】解：由题意得， AB EB， CD AE， CDA EBA90， E30，19 AB AE8 米， BC2 米， AC AB BC6 米， DCA90 DAC30， CD ACcos DCA6 6.9 米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念
32、、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键23如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位： m）与飞行时间 x（单位： s）之间具有函数关系 y5 x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令 y15 即可解答本题；（2）令 y0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题【解
33、答】解：（1）当 y15 时，155 x2+20x，解得， x11， x23，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s；（2）当 y0 时，05 x2+20x，解得， x10， x24，404，20在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s；（3） y5 x2+20x5（ x2） 2+20，当 x2 时， y 取得最大值，此时， y20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答24如图，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径作 O 交 BC
34、于点 D过点 D 作 EF AC，垂足为 E，且交 AB 的延长线于点 F（1）求证： EF 是 O 的切线；（2）已知 AB4， AE3求 BF 的长【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得 BD CD，根据三角形的中位线可得OD AC，所以得 OD EF，从而得结论；（2）证明 ODF AEF，列比例式可得结论【解答】（1）证明：连接 OD， AD， AB 是 O 的直径， AD BC， AB AC， BD CD， OA OB， OD AC， EF AC， OD EF， EF 是 O 的切线；（2）解： OD AE，21 ODF AEF， ， AB4， AE3， ， BF2【点评】
35、本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键25如图，四边形 ABCD 中， AC 平分 DAB， ADC ACB90， E 为 AB 的中点，（1）求证： AC2 ABAD；（2）求证： CE AD；（3）若 AD4， AB6，求 的值【分析】（1）由 AC 平分 DAB， ADC ACB90，可证得 ADC ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2 ABAD；（2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE AB AE，继而可证得 DAC ECA
36、，得到 CE AD；（3）易证得 AFD CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值【解答】（1）证明： AC 平分 DAB， DAC CAB，22 ADC ACB90， ADC ACB， AD： AC AC： AB， AC2 ABAD；（2）证明： E 为 AB 的中点， CE AB AE， EAC ECA， DAC CAB， DAC ECA， CE AD；（3）解： CE AD， AFD CFE， AD： CE AF： CF， CE AB， CE 63， AD4， ， 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的
37、应用26（1）问题提出：苏科版数学九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图， BD、 CE 是 ABC 的高， M 是 BC 的中点，点 B、 C、 D、 E 是否在以点 M 为圆心的同一个23圆上？为什么？在解决此题时，若想要说明“点 B、 C、 D、 E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”，在连接MD、 ME 的基础上，只需证明 ME MD MB MC （2）初步思考：如图， BD、 CE 是锐角 ABC 的高，连接 DE求证： ADE ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明（请你根据小敏的思路完成证明过程）（3）推广运用：如图， BD、 CE、 AF
38、 是锐角 ABC 的高，三条高的交点 G 叫做 ABC 的垂心，连接 DE、 EF、 FD，求证：点 G 是 DEF 的内心【分析】（1）要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等（2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证 ME MD MB MC，得到四边形 BCDE 为圆内接四边形，故有对角互补（3）根据内心定义，需证明 DG、 EG、 FG 分别平分 EDF、 DEF、 DFE由点B、 C、 D、 E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角 CBD CED又因为 BEG BFG90，根据（2）易证点 B、 F、 G、 E 也四点共圆，有同弧所对的圆周角 FBG FEG，等量代换
39、有 CED FEG，同理可证其余两个内角的平分线【解答】解：（1）根据圆的定义可知，当点 B、 C、 D、 E 到点 M 距离相等时，即他们在圆M 上故答案为： ME MD MB MC（2）证明：连接 MD、 ME BD、 CE 是 ABC 的高 BD AC， CE AB BDC CEB90 M 为 BC 的中点 ME MD BC MB MC点 B、 C、 D、 E 在以点 M 为圆心的同一个圆上24 ABC CDE180 ADE+ CDE180 ADE ABC（3）证明：取 BG 中点 N，连接 EN、 FN CE、 AF 是 ABC 的高 BEG BFG90 EN FN BG BN NG点
40、 B、 F、 G、 E 在以点 N 为圆心的同一个圆上 FBG FEG由（2）证得点 B、 C、 D、 E 在同一个圆上 FBG CED FEG CED同理可证： EFG AFD， EDG FDG点 G 是 DEF 的内心【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义第（3）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等27如图 1，已知抛物线 y x2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），25点 P 是抛物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂
41、足为 Q，连接AP（1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标；（2）若 AQP AOC，求点 P 的横坐标；（3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将 APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q，请直接写出当点 Q落在坐标轴上时点 P 的坐标【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到 C 点坐标；（2）利用 AQP AOC 得到 AQ4 PQ，设 P（ m， m2+3m+4），所以m4|4（ m2+3m+4|，然后解方程 4（ m23 m） m 和方程 4（ m23 m） m 得 P 点坐标；（3）设 P（ m
42、， m2+3m+4）（ m ），当点 Q落在 x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H，如图2，则 PQ m23 m，证明 Rt AOQRt Q HP，利用相似比得到 Q B4 m12，则OQ123 m，在 Rt AOQ中，利用勾股定理得到方程 42+（123 m） 2 m2，然后解方程求出 m 得到此时 P 点坐标；当点 Q落在 y 轴上，易得点 A、 Q、 P、 Q 所组成的四边形为正方形，利用 PQ PQ得到| m23 m| m，然后解方程 m23 m m 和方程 m23 m m 得此时 P 点坐标【解答】解：（1）把 A（0，4）， B（4，0）分别代入 y x2+bx+c 得 ，解得
43、，抛物线解析式为 y x2+3x+4，当 y0 时， x2+3x+40，解得 x11， x24， C（1，0）；故答案为 y x2+3x+4；（1，0）；26（2） AQP AOC， ， 4，即 AQ4 PQ，设 P（ m， m2+3m+4）， m4|4（ m2+3m+4|，即 4|m23 m| m，解方程 4（ m23 m） m 得 m10（舍去）， m2 ，此时 P 点坐标为（ ， ）；解方程 4（ m23 m） m 得 m10（舍去）， m2 ，此时 P 点坐标为（ ， ）；综上所述，点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）；（3）设 P（ m， m2+3m+4）（ m ），当点 Q落在
44、x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H，如图 2，则 PQ4（ m2+3m+4） m23 m， APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q， AQ P AQP90， AQ AQ m， PQ PQ m23 m， AQ O Q PH，Rt AOQRt Q HP， ，即 ，解得 Q B4 m12， OQ m（4 m12）123 m，在 Rt AOQ中，4 2+（123 m） 2 m2，整理得 m29 m+200，解得 m14， m25，此时 P 点坐标为（4，0）或（5，6）；当点 Q落在 y 轴上，则点 A、 Q、 P、 Q 所组成的四边形为正方形， PQ AQ，即| m23 m| m，解方程 m23 m m 得 m10（舍去）， m24，此时 P 点坐标为（4，0）；解方程 m23 m m 得 m10（舍去）， m22，此时 P 点坐标为（2，6），综上所述，点 P 的坐标为（4，0）或（5，6）或（2，6）27【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质会运用分类讨论的思想解决数学问题
