1、2013年广东专插本（高等数学）真题试卷及答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.当 0 时，下列无穷小量中，与 不等价的无穷小量是 ( )（分数：2.00）A.1n(+1)B.arcsinC.1-cosD.3.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.只有铅垂渐近线C.既有水平渐近线也有铅垂渐近线D.无渐近线4.下列函数中，在区间-1，1上满足罗尔(Rolle)定理条件的是 ( )（分数：2.00）A.B.y=C.D.5.设函数 f()=sin+cos，则
2、下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.f(0)是 f()的极小值，f(B.f(0)是 f()的极大值，f(C.f(0)和 f(D.f(0)和 f(6.若函数 f()和 F()满足 F ()=f()(R)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B. F(2ln+1)d=C.D. f(2ln+1)d=二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.要使函数 （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_9.函数 （分数：2.00）填空项 1:_10.已知平面图形 G=(，y)1，0y （分数：2.00）填空项 1:_11.设 D为圆环域：1 2 +y 2
3、 4，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_13.计算 （分数：2.00）_14.已知函数 f()具有连续的一阶导数，且 f(0).f (0)0，求常数 a和 b的值，使 （分数：2.00）_15.求由方程 ylny+y=e 2 所确定的隐函数在 =0 处的导数 （分数：2.00）_16.求曲线 （分数：2.00）_17.计算不定积分 （分数：2.00）_18.计算定积分 （分数：2.00）_19.求二元函数 的全微分 dz及二阶偏导数 （分数：2.00）_20.求微分方程 y -2y
4、1-k)y=0(其中常数 k0)的通解。（分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：6.00)21.交换二次积分 （分数：2.00）_已知 f()是定义在区间0，+)上的非负可导函数，且曲线 y=f()与直线 y=0，=0 及 =t(t0)围成的曲边梯形的面积为 f(t)=t 2 。 求（分数：4.00）(1).函数 f()；（分数：2.00）_(2).证明：当 0 时， （分数：2.00）_2013年广东专插本（高等数学）真题试卷答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分
5、数：2.00）_解析：2.当 0 时，下列无穷小量中，与 不等价的无穷小量是 ( )（分数：2.00）A.1n(+1)B.arcsinC.1-cos D.解析：3.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.只有铅垂渐近线 C.既有水平渐近线也有铅垂渐近线D.无渐近线解析：4.下列函数中，在区间-1，1上满足罗尔(Rolle)定理条件的是 ( )（分数：2.00）A.B.y=C. D.解析：5.设函数 f()=sin+cos，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.f(0)是 f()的极小值，f( B.f(0)是 f()的极大值，f(C.f(0)和 f(D.f(0)和 f(解析：6.
6、若函数 f()和 F()满足 F ()=f()(R)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B. F(2ln+1)d=C.D. f(2ln+1)d= 解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.要使函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：9.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1）解析：10.已知平面图形 G=(，y)1，0y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：11.设 D为圆环域：1 2 +y 2 4，则二
7、重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.已知函数 f()具有连续的一阶导数，且 f(0).f (0)0，求常数 a和 b的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知：af(0)+bf(0)-f(0)=0，af (0)+2bf (0)=0， 因为 f(0).f (0)0，即 f(0)0，f (0)0， 所以 a+b-1=0，a+2b=0， 由此解得 a=2，b=-1。)解
8、析：15.求由方程 ylny+y=e 2 所确定的隐函数在 =0 处的导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 等式两边对 求导数得：(y+y )lny+y +y =2e 2 ， 即 y (1+lny)-2e 2 -ylny， 所以 。 又因为 =0 时，y=1，故 。 方法二 设 F()=ylny+y-e 2 ，则 F =ylny-2e 2 ，F y =lny+1， 所以 。 又因为 =0 时，y=1，故 )解析：16.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数的定义域为(-，+)， )解析：17.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：1
9、8.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 =t 2 -1，d=2tdt， )解析：19.求二元函数 的全微分 dz及二阶偏导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求微分方程 y -2y +(1-k)y=0(其中常数 k0)的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分方程的特征方程 r 2 -2r+1-k=0解得 所以当 k0时，方程有两个不相等的实根 ； 当 k=0时，方程有唯一实根 1。 故当 k0 时，通解为 )解析：四、综合题(总题数：2，分数：6.00)21.交换二次积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件
10、知，积分区域 D=(，y) 01，e ye，如图： 交换积分次序得 )解析：已知 f()是定义在区间0，+)上的非负可导函数，且曲线 y=f()与直线 y=0，=0 及 =t(t0)围成的曲边梯形的面积为 f(t)=t 2 。 求（分数：4.00）(1).函数 f()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 ， 两边对 t求导数得：f(t)=f (t)-2t，且 f(0)=0， 由 f ()-f(t)=2t 解得 )解析：(2).证明：当 0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ， 则 F ()=2(e -1)-2- 3 ， F ()=2e -2-2=2(e -1)=f()0，(0)， 所以 F ()在(0，+)内单调递增，因此，当 0 时，有 F ()F (0)=0， 由此可知 F()在(0，+)内单调递增， 故当 0 时，有 F()F(0)=0，即 ， 所以 )解析：
