1、专升本（高等数学一）模拟试卷 109 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.若f(x)dx=xln(x+1)+C，则 （分数：2.00）A.2B.2C.lD.12.若 f(x1)=x 2 1，则 f(x)等于 【 】（分数：2.00）A.2x+2B.x(x+1)C.x(x1)D.2x13.设函数 f(x)满足 f(sin 2 x)=cos 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)= 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.4.函数 z=x 2 xy+y 2 +9x6y+20 有 【 】（分数：2.00）A.极大值 f(4，1)=63
2、B.极大值 f(0，0)=20C.极大值 f(4，1)=1D.极小值 f(4，1)=15.当 x0 时，与 x 等价的无穷小量是 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.6.使 f(x)dx=1 成立的 f(x)为 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.7.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性8.方程 z=x 2 +y 2 表示的曲面是 【 】（分数：2.00）A.椭球面B.旋转抛物面C.球面D.圆锥面9.已知 f(xy，xy)=x 2 +y 2 ，则 （分数：2.00）A.2B.2xC.2yD.2x+2y10.微分方程 y7y+12y=0 的通解为
3、 【 】（分数：2.00）A.y=C 1 e 3x + C 2 e 4xB.y=C 1 e 3x + C 2 e 4xC.y=C 1 e 3x + C 2 e 4xD.y=C 1 e 3x + C 2 e 4x二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 x=atcost，y=atsint，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.(tan+cot) 2 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 z
4、=x 2 e y ，则全微分 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 y+6y+13y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 D 为 x 2 +y 2 4 且 y0， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.设 y=y(x)是由方程 2yx=(xy)lnx(xy)确定的隐函数，求 dy（分数：2.00）_22.已知曲线 y=ax 4 +bx 3 +x 2 +3 在点(1，6)处与直线 y=11x5 相切，求 a，b（分数：2.00）_23.设xf(x)dx=arcsinx+C
5、，求 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.求方程 y=e 3x2y 满足初始条件 y| x=0 =0 的特解（分数：2.00）_26.设 z=e x (x 2 +y 2 )，求 dz（分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.一艘轮船以 20 海里小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 82 海里处以 16 海里小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?（分数：2.00）_专升本（高等数学一）模拟试卷 109 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.若f(x)dx=xln(x+1)+C，则
6、 （分数：2.00）A.2 B.2C.lD.1解析：解析：本题考查了一元函数的导数及其极限的知识点 因f(x)dx=xln(x+1)+C，所以2.若 f(x1)=x 2 1，则 f(x)等于 【 】（分数：2.00）A.2x+2 B.x(x+1)C.x(x1)D.2x1解析：解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点f(x1)=x 2 1，故 f(x)=(x+1) 2 1=x 2 +2x，则 f(x)=2x+23.设函数 f(x)满足 f(sin 2 x)=cos 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)= 【 】 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题考查了已知导函数求原函数的知
7、识点 由 f(sin 2 x)=cos 2 x，知 f(sin 2 x)=1sin 2 x 令 u=sin 2 x，故 f(u)=1u 所以 f(u)=u u 2 +C， 由 f(0)=0，得 C=0 所以 f(x)=x 4.函数 z=x 2 xy+y 2 +9x6y+20 有 【 】（分数：2.00）A.极大值 f(4，1)=63B.极大值 f(0，0)=20C.极大值 f(4，1)=1D.极小值 f(4，1)=1 解析：解析：本题考查了函数的极值的知识点 因 z=x 2 xy+y 2 +9x6y+20， 于是 =2xy+9， =x+2y6 令 =0， =0，得驻点（4，1）， 又因 5.当
8、 x0 时，与 x 等价的无穷小量是 【 】 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查了等价无穷小量的知识点 无穷小；对于选项 B， =1， 故 ln(1+x)是 x0 时与 x 等价的无穷小； 6.使 f(x)dx=1 成立的 f(x)为 【 】 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：本题考查了反常积分的敛散性的知识点 对于选项 A， 1 + f(x)dx= 1 + dx= | 1 + ，故此积分收敛，且收敛于 1； 对于选项 B， 1 + f(x)dx= 1 + dx=lnx| 1 + =e 1 不存在； 对于选项 C， 1 + f(x)dx= 1 + e x d
9、x=e x | 1 + =e 1 ，故此积分收敛，但收敛于 e 1 ； 对于选项 D， 1 + f(x)dx= 1 + dx=arctanx| 1 + = ，故此积分收敛，但收敛于 7.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.无法确定敛散性解析：解析：本题考查了级数的绝对收敛的知识点用 ，故原级数等价于8.方程 z=x 2 +y 2 表示的曲面是 【 】（分数：2.00）A.椭球面B.旋转抛物面 C.球面D.圆锥面解析：解析：本题考查了二次曲面(旋转抛物面)的知识点旋转抛物面的方程为 z=x 2 +y 2 9.已知 f(xy，xy)=x 2 +y 2 ，则 （分数：2.0
10、0）A.2 B.2xC.2yD.2x+2y解析：解析：本题考查了复合函数的偏导数的知识点 因 f(xy，xy)=x 2 +y 2 =(xy) 2 +2xy，故f(x，y)=y 2 +2x， 从而 10.微分方程 y7y+12y=0 的通解为 【 】（分数：2.00）A.y=C 1 e 3x + C 2 e 4xB.y=C 1 e 3x + C 2 e 4xC.y=C 1 e 3x + C 2 e 4x D.y=C 1 e 3x + C 2 e 4x解析：解析：本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点因方程 y7y+12y=0 的特征方程为r 2 7r+12=0，于是有特征根 r 1 =3，
11、r 2 =4，故微分方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 e 4x 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了函数的极限的知识点12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了对型未定式极限的知识点这是一型，应合并成一个整体，再求极限13.若 x=atcost，y=atsint，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了对由参数方程确定的函数求导的知识点 参数方程为 x=(t)，y=(t)，则14.(
12、tan+cot) 2 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：tancot+C）解析：解析：本题考查了不定积分的知识点 (tan+cot) 2 d =(tan 2 +cot 2 )d =(sec 2 +csc 2 )d =tancot+C15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点 又 f(0)=1，所以 f(x)在 x=0 连续应有a=1 注：（无穷小量有界量=无穷小量）16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了利用换元法求定积分的知识点
13、令 x=sint，则 dx=costdt17.设函数 z=x 2 e y ，则全微分 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dz=2xe y dx+x 2 e y dy）解析：解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题考查了复合函数的一阶偏导数的知识点19.微分方程 y+6y+13y=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e 3x (C 1 cos2x 十 C 2 sin2x)）解析：解析：本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点微分方程
14、y+6y+13y=0 的特征方程为 r 2 +6r+13=0，特征根为 20.设 D 为 x 2 +y 2 4 且 y0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：本题考查了二重积分的知识点因积分区域为圆 x 2 +y 2 =2 2 的上半圆，则 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.设 y=y(x)是由方程 2yx=(xy)lnx(xy)确定的隐函数，求 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程两边对 x 求导有(注意 y 是 x 的函数)， 2y1=(1y)ln(xy)+(xy)(1y)， 整理得 y= ， 所以 dy= dx 注：本题还
15、可用一阶微分的形式不变性解为 2dydx=(dxdy)ln(xy)+(xy) (dxdy)， 所以3+ln(xy)dy=2+ln(xy)dx， 因此dy= )解析：22.已知曲线 y=ax 4 +bx 3 +x 2 +3 在点(1，6)处与直线 y=11x5 相切，求 a，b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线过点(1，6)即点(1，6)满足曲线方程， 所以 6=a+b+4， (1) 再 y=4ax 3 +3bx 2 +2x，且曲线在点(1，6)处与 y=11x5 相切， 所以 y| x=1 =4a+3b+2=11， (2) 联立(1)(2)解得a=3，b=1)解析：23.设xf(x
16、)dx=arcsinx+C，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式两边对 x 求导，得 注：积分的结果应回到原变量 x 上，令 x=sint，所以 cost= )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ， 则 x=t 2 1，dx=2tdt， )解析：25.求方程 y=e 3x2y 满足初始条件 y| x=0 =0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原题可改写为 ，即 e 2y dy=e 3x dx， 两边积分得 代入初始条件 y| x=0 =0，得 ， 所以 C= ， 故所求特解为 )解析：26.设 z=e x (x 2 +y 2 )，求 dz
17、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=e x(x2+y2) ，则 =e x(x2+y2) x(x 2 +y 2 ) =e x(x2+y2) (3x 2 +y 2 )， )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图所示，据被积函数特点(含 x 2 +y 2 )，及积分区域的特点(扇形)，该积分易用极坐标计算 D 可表示为 于是 )解析：28.一艘轮船以 20 海里小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船在其正北 82 海里处以 16 海里小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设经过 t 小时两船相距 S 海里，则 )解析：
