1、线性代数自考题-6 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1. （分数：2.00）A.B.C.D.2.如果 A，B 是同阶对称矩阵，则 AB_ A. 是对称矩阵 B. 是非对称矩阵 C. 是反对称矩阵 D. 不一定是对称矩阵（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为_ A1 B C1 D （分数：2.00）A.B.C.D.4.n 元线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是_ A.方程个数 mn B.方程个数 mn
2、 C.方程个数 m=n D.秩(A)n（分数：2.00）A.B.C.D.5.若可逆矩阵 A 有特征值 =2，则(A 2)-1必有特征值_A4 BC D （分数：2.00）A.B.C.D.三、B第二部分 非选择题/B(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_7.当 k= 1 时， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_10.向量 =_在基 （分数：2.00）填空项 1:_11.若线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设
3、 A 为 n 阶方阵，|A|0，若 A 有特征值 ，则 A*的特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知向量 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 1=1， 2=-1 是实对称矩阵 A 的两个特征向量 1= 、 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_五、B计算题/B(总题数：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_17.设矩阵 （分数：9.00）_18.计算下列矩阵的逆： （分数：9.00）_19.已知向量组 ， （分数：9.00）_20.已知四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=3， 1， 2， 3是它的三个解向量，且
4、 （分数：9.00）_21.求线性方程组 （分数：9.00）_22.用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数：f(x 1，x 2，x 3)= （分数：9.00）_六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.设 n 阶方阵 A 的秩满足 r(A+I)+r(A-I)=n， 且 AI(单位方阵)，证明：-1 是 A 的一个特征值（分数：7.00）_线性代数自考题-6 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B第一部分 选择题/B(总题数：0，分数：0.00)二、B单项选择题/B(总题数：5，分数：10.00)1. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 2
5、、3、4 列加到第一列答案为 D2.如果 A，B 是同阶对称矩阵，则 AB_ A. 是对称矩阵 B. 是非对称矩阵 C. 是反对称矩阵 D. 不一定是对称矩阵（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 设*，*，A 与 B 均为对称矩阵但 AB=*不是对称矩阵，答案选 D3.设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为_ A1 B C1 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 r(A)=n-1，必|A|=0若 a=1，则 r(A)=1，故必 a1*=(1-a)n-1(1-a+na)=(1-a)n-11-(1-n)a因 a1，故仅当*时，|A|=0 且 r(
6、A)=n-1(即|A n-1|0)答案为 B4.n 元线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是_ A.方程个数 mn B.方程个数 mn C.方程个数 m=n D.秩(A)n（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 对于线性方程组 Ax=0，若 r(A)*Ax=0 有非零解(充分条件)；同样，若 Ax=0 有*r(A)n 必要条件答案为 D5.若可逆矩阵 A 有特征值 =2，则(A 2)-1必有特征值_A4 BC D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 A=2 是 A 的特征值，=4 是 2特征值，所以*是(A 2)-1 的特征值答案为 B三、B第二部分 非选择题/B
7、(总题数：0，分数：0.00)四、B填空题/B(总题数：10，分数：20.00)6.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：-24）解析：解析 *7.当 k= 1 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 仅有全解*8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *，|A-2E|=2 * 故*9.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：解析 齐次线性方程组有非零解*，即 a=810.向量 =_在基 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：* *）解析：11.若线性方程组 （分数：2.00）填空项
8、 1:_ （正确答案：12）解析：解析 对增广矩阵作初等行变换，有 *，因此可见，r(A)=2，如果方程有解，必有*，因此*，所以 =1212.设 A 为 n 阶方阵，|A|0，若 A 有特征值 ，则 A*的特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由于|A|0，因此 A 可逆并且*，即 A*=|A|A-1；如果 A=，则 A-1A=A -1，所以*，A *=*，所以*是 A*的特征值13.已知向量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由特征值和特征向量的定义和已知条件知，3 阶方阵 A 有特征值 1，0，-1，对应的特征向量分别为 p1
9、，p 2，p 3，方阵 A 有不同的特征值，故 A 相似于对角矩阵，令矩阵*，则有 P-1AP=D，故*，A5=(PDP-1)(PDP-1)(PDP-1)=PD5P-1=PDP-1=A14.设 1=1， 2=-1 是实对称矩阵 A 的两个特征向量 1= 、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此( 1， 2)=-4+8k-12=0，所以k=215.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：a1）解析：解析 A 为正定矩阵，故 A 的顺序主子式均大于零，得 1=20， 2=80，*，故 a1五、B计算题/B(总题数
10、：7，分数：63.00)16.计算 （分数：9.00）_正确答案：(第一行乘 1 加第二行，再让第二行乘 1 加第三行以此类推得 D=1)解析：17.设矩阵 （分数：9.00）_正确答案：(* *)解析：18.计算下列矩阵的逆： （分数：9.00）_正确答案：(我们用初等变换法计算： * 因此原矩阵的逆阵为： *)解析：19.已知向量组 ， （分数：9.00）_正确答案：(对以 1， 2， 3， 4， 5为列向量的矩阵 A 进行初等变换，有*，r(A)=2，所以向量组 1， 2， 3， 4， 5的秩为 2)解析：20.已知四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=3， 1， 2， 3是它的
11、三个解向量，且 （分数：9.00）_正确答案：(Ax=0 的基础解系为： * 所以通解为*(c 为任意常数)解析：21.求线性方程组 （分数：9.00）_正确答案：(对增广矩阵作初等行变换，有*所以线性方程组的同解方程组为*其中 x4是自由未知量，方程组的通解为*k 为任意实数)解析：22.用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数：f(x 1，x 2，x 3)= （分数：9.00）_正确答案：(对二次型的系数矩阵进行行初等变换： * 因此二次型的标准型为*，正惯性指数为 2，负惯性指数等于 0)解析：六、B证明题/B(总题数：1，分数：7.00)23.设 n 阶方阵 A 的秩满足 r(A+I)+r(A-I)=n， 且 AI(单位方阵)，证明：-1 是 A 的一个特征值（分数：7.00）_正确答案：(证明 由于 AI，所以 A-I 不是零矩阵，从而 r(A-I)1，因此由已知条件 r(A+I)n-1，A+I 是奇异矩阵，|A+I|=0，所以齐次线性方程组(A+I)X=0 有非零解 ，即存在非零向量 使得(A+I)=0，A=0，A=-，所以 =-1 是 A 的一个特征值)解析：
