1、陕西省专升本考试高等数学模拟 5 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.设 （分数：5.00）A.等价无穷小B.同阶非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小2.设 且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处_ A仅当 时才可微 B在任何条件下都可微 C当且仅当 n1 时才可微 D因 （分数：5.00）A.B.C.D.3.下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ A Bf(x)=xe -x ，-1，1 C （分数：5.00）A.B.C.D.4.幂级数 的收敛半径为_ A B2 C D （分数：5.00）A.B.C.D
2、.5.设曲线 L 的方程是 x=acost，y=asint，其中(a0，0t2)，则曲线积分 （分数：5.00）A.B.C.D.二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.已知 ，则 （分数：5.00）7.极限 （分数：5.00）8.过点(0，2，1)且与直线 L： （分数：5.00）9.微分方程 y“+4y=sinx 的特解形式可设为 y*= 1 （分数：5.00）10.设 u=xyz+z 2 +5，则 gradu| (0，1，-1) = 1 （分数：5.00）三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_12.求函数 y=(1+2x) sinx
3、 的导数 （分数：8.00）_13.求 （分数：8.00）_14.设 求定积分 （分数：8.00）_15.设 ，其中 f(u)可导，求 （分数：8.00）_16.计算 （分数：8.00）_17.将函数 （分数：8.00）_18.设 ，求 （分数：8.00）_19.计算对坐标的曲线积分： （分数：8.00）_20.求微分方程 xy“+(1-x)y=e 2x 在 x(0，+)内的通解 （分数：8.00）_四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.过点(1，0)作抛物线 （分数：10.00）_22.设 f(x)在0，c连续，在(0，c)可导，f“(x)单调递减且 f(0)=0，用拉格朗
4、日中值定理证明：对任意a，b，0aba+bc，恒有 f(a+b)f(a)+f(b) （分数：10.00）_陕西省专升本考试高等数学模拟 5 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.设 （分数：5.00）A.等价无穷小B.同阶非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析 2.设 且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处_ A仅当 时才可微 B在任何条件下都可微 C当且仅当 n1 时才可微 D因 （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 当 n1 时，3.下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的是_ A Bf(
5、x)=xe -x ，-1，1 C （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 选项 A，由其定义域知，f(x)在-1，1上连续，又4.幂级数 的收敛半径为_ A B2 C D （分数：5.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为题给级数属于缺项类型，所以求收敛半径用以下方法 则 ，所以，收敛半径为 5.设曲线 L 的方程是 x=acost，y=asint，其中(a0，0t2)，则曲线积分 （分数：5.00）A.B. C.D.解析：解析 二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.已知 ，则 （分数：5.00）解析：1 解析 取 x 2 =1，则 x 4 =17.极限 （分数：
6、5.00）解析：e 6 解析 8.过点(0，2，1)且与直线 L： （分数：5.00）解析： 解析 ， 9.微分方程 y“+4y=sinx 的特解形式可设为 y*= 1 （分数：5.00）解析：Acosx+Bsinx(A，B 为待定常数) 解析 因微分方程的自由项 f(x)=sinx，=0，=1；又微分方程的特征方程为：r 2 +4=0，有特征根 r 1，2 =2i，故i=i 不是特征根，于是微分方程的特解应设为：y*=Acosx+Bsinx(A，B 为待定常数)10.设 u=xyz+z 2 +5，则 gradu| (0，1，-1) = 1 （分数：5.00）解析：-1，0，-2 解析 因为
7、三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_正确答案：()解析：12.求函数 y=(1+2x) sinx 的导数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：方法一 对数求导法 两边同取自然对数，得：lny=sinxln(1+2x) 两边对 x 求导，把 y 看作中间变量，有： 于是， 方法二 因为 y=(1+2x)sinx=e ln(1+2x)sinx =e sinxln(1+2x) ， 所以， 13.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：所给函数定义域是(-，+)，且 令 y“=0，得驻点 x 1 =1，x 2 =1，而 x=0 时 y“不存在这三个点将
8、定义域分成四个区间，列表讨论如下：x (-，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+) y“ - 0 + 不存在 - 0 + y 单调递减 极小值 单调递增 极大值 0 单调递减 极小值 单调递增 由上述讨论知，x=-1 是函数的极小值点，极小值为 14.设 求定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：15.设 ，其中 f(u)可导，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 所以 16.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：积分区域 D 如图所示，这里 0r1，02，故有 17.将函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：首先将 f(x)分解成部分分式，有
9、： 又因为 所以， 18.设 ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 所以 ，所以 19.计算对坐标的曲线积分： （分数：8.00）_正确答案：()解析：如下图所示L：y=x 2 ，0x2，有 20.求微分方程 xy“+(1-x)y=e 2x 在 x(0，+)内的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：原方程可化为： 于是， 方程的通解为四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.过点(1，0)作抛物线 （分数：10.00）_正确答案：()解析：首先求过点(1，0)的抛物线 的切线方程 设切线的切点为(x 0 ，y 0 )，则有 且 于是，求解得切点(3，1)，进而切线方程为： 即 x-2y-1=0，这条切线、抛物线及 x 轴所围成的平面图形如图所示： 于是，所求旋转体的体积为： 22.设 f(x)在0，c连续，在(0，c)可导，f“(x)单调递减且 f(0)=0，用拉格朗日中值定理证明：对任意a，b，0aba+bc，恒有 f(a+b)f(a)+f(b) （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 当 a=0 时，显然成立 当 a0 时，因 f(x)满足拉格朗日中值定理条件，所以必有 1 (0，a)，使得 (b，a+b)，使得 又因为 2 1 ，且 f“(x)单调递减，所以 f“( 1 )f“( 2 )，从而
