1、 2015 年四川省攀枝花市中考 真题 数学 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(3 分 )-3 的倒数是 ( ) A. - B. 3 C. D. 解 析 ： -3 的倒数是 - . 故选： A. 2.(3 分 )2015 年我市有 1.6 万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这 1.6 万名考生的数学成绩，从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是 ( ) A. 1.6 万名考生 B. 2000 名考生 C. 1.6 万名考生的数学成绩 D. 2000 名考生的数学成绩 解 析
2、 ： 2015 年我市有近 1.6 万名考生参加升学考试，为了了解这 1.6 万名考生的数学成绩，从中抽取 2000 名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中抽取的 2000 名考生的数学成绩为样本 . 故选： D. 3.(3 分 )已知空气的单位体积质量是 0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为 ( ) A. 1.23910 -3g/cm3 B. 1.23910 -2g/cm3 C. 0.123910 -2g/cm3 D. 12.3910 -4g/cm3 解 析 ： 0.001239=1.23910 -3. 故选： A. 4.(3 分 )如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的
3、是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆， 故选： C. 5.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. + = B. a3a 2=a C. a2a 3=a6 D. (a2b)2=a2b2 解 析 ： A、 + 不能计算，故本选项错误； B、 a3a 2=a3-2=a，故本选项正确； C、 a2a 3=a2+3=a5，故本选项错误； D、 (a2b)2=a4b2，故本选项错误 . 故选 B. 6.(3 分 )一组数据 6、 4、 a、 3、 2 的平均数是 4，则这组数据的方差为 ( ) A. 0 B. 2 C. D. 10 解 析 ： a=54
4、 -4-3-2-6=5， S 2= (6-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(2-4)2=2. 故选： B. 7.(3 分 )将抛物线 y=-2x2+1 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线解析式为 ( ) A. y=-2(x+1)2 B. y=-2(x+1)2+2 C. y=-2(x-1)2+2 D. y=-2(x-1)2+1 解 析 ： 抛物线 y=-2x2+1 向右平移 1 个单位长度， 平移后解析式为： y=-2(x-1)2+1， 再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线解析式为： y=-2(x-1)2+2. 故选： C. 8.(3 分 )如图
5、，已知 O 的一条直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2， AE= ， CE=1，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： AE 2+CE2=4=AC2， ACE 为直角三角形，且 AEC=90 ， AECD ， ， BOD=COB ， sinA= = ， A=30 ， COB=2A=60 ， BOD=COB=60 ， COD=120 ， 在 RtOCE 中， sinCOE= ， 即 sin60= ， 解得： OC= ， S 扇形 DAB= . 故选 D. 9.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 (m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0 有两个不相等的
6、正实数根，则 m 的取值范围是 ( ) A. m B. m 且 m2 C. - m 2 D. m 2 解 析 ： 根据题意得 m-20 且 =(2m+1) 2-4(m-2)(m-2) 0， 解得 m 且 m2 ， 设方程的两根为 a、 b，则 a+b= 0， ab= =1 0， 而 2m+1 0， m -2 0，即 m 2， m 的取值范围为 m 2. 故选 D. 10.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中， AB=BD，点 E、 F 分别是 AB、 AD 上任意的点 (不与端点重合 )，且 AE=DF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG与 BD相交于点 H.给出如下几个结论：
7、AEDDFB ； S 四边形 BCDG= CG2； 若 AF=2DF，则 BG=6GF； CG 与 BD一定不垂直；BGE 的大小为定值 . 其中正确的结论个数为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解 析 ： ABCD 为菱形， AB=AD ， AB=BD ， ABD 为等边三角形， A=BDF=60 ， 又 AE=DF ， AD=BD， AEDDFB ，故本选项正确； BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60=BCD ， 即 BGD+BCD=180 ， 点 B、 C、 D、 G 四点共圆， BGC=BDC=60 ， DGC=DBC=60 ， BGC=DGC=60 ， 过点
8、C 作 CMGB 于 M， CNGD 于 N(如图 1)， 则 CBMCDN(AAS) ， S 四边形 BCDG=S 四边形 CMGN， S 四边形 CMGN=2SCMG ， CGM=60 ， GM= CG， CM= CG， S 四边形 CMGN=2SCMG =2 CG CG= CG2，故本选项错误； 过点 F 作 FPAE 于 P 点 (如图 2)， AF=2FD ， FP ： AE=DF： DA=1： 3， AE=DF ， AB=AD， BE=2AE ， FP ： BE=FP： =1： 6， FPAE ， PFBE ， FG ： BG=FP： BE=1： 6， 即 BG=6GF，故本选项正
9、确； 当点 E， F 分别是 AB， AD 中点时 (如图 3)， 由 (1)知， ABD ， BDC 为等边三角形， 点 E， F 分别是 AB， AD 中点， BDE=DBG=30 ， DG=BG ， 在 GDC 与 BGC 中， ， GDCBGC ， DCG=BCG ， CHBD ，即 CGBD ，故本选项错误； BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60 ，为定值， 故本选项正确； 综上所述，正确的结论有 ，共 3 个， 故选 B. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4分，共 24分 . 11.(4 分 )分式方程 的根为 _. 解 析 ： 去分母得： x+1=3x-3， 解得
10、： x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 . 故答案为： 2. 12.(4 分 )计算： +|-4|+(-1)0-( )-1=_. 解 析 ： 原式 =3+4+1-2=6. 故答案为： 6. 13.(4 分 )若 y= ，则 xy=_. 解 析 ： y= 有意义， 必须 x-30 ， 3-x0 ， 解得： x=3， 代入得： y=0+0+2=2， x y=32=9. 故答案为： 9. 14.(4 分 )如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，矩形 OABC 中， A(10， 0)， C(0， 4)，D 为 OA 的中点， P为 BC 边上一点 .若 POD 为等腰三角形，则所有满足条件
11、的点 P 的坐标为 _. 解 析 ： 四边形 OABC 是矩形， OCB=90 ， OC=4， BC=OA=10， D 为 OA 的中点， OD=AD=5 ， 当 PO=PD 时，点 P 在 OD 得垂直平分线上， 点 P 的坐标为： (2.5， 4)； 当 OP=OD 时，如图 1 所示： 则 OP=OD=5， PC= =3， 点 P 的坐标为： (3， 4)； 当 DP=DO 时，作 PEOA 于 E， 则 PED=90 ， DE= =3； 分两种情况：当 E 在 D 的左侧时，如图 2 所示： OE=5-3=2， 点 P 的坐标为： (2， 4)； 当 E 在 D 的右侧时，如图 3 所
12、示： OE=5+3=8， 点 P 的坐标为： (8， 4)； 综上所述：点 P 的坐标为： (2.5， 4)，或 (3， 4)，或 (2， 4)，或 (8， 4)； 故答案为： (2.5， 4)，或 (3， 4)，或 (2， 4)，或 (8， 4). 15.(4 分 )如图，在边长为 2 的等边 ABC 中， D 为 BC 的中点， E是 AC边上一点，则 BE+DE的最小值为 _. 解 析 ： 作 B 关于 AC 的对称点 B ，连接 BB 、 BD ，交 AC于 E，此时 BE+ED=BE+ED=BD ，根据两点之间线段最短可知 BD 就是 BE+ED 的最小值，故 E 即为所求的点 .
13、答案 ： 作 B 关于 AC 的对称点 B ，连接 BB 、 BD ，交 AC于 E，此时 BE+ED=BE+ED=BD ，根据两点之间线段最短可知 BD 就是 BE+ED 的最小值， B 、 B 关于 AC 的对称， AC 、 BB 互相垂直平分， 四边形 ABCB 是平行四边形， 三角形 ABC 是边长为 2， D 为 BC 的中点， ADBC ， AD= ， BD=CD=1， BB=2AD=2 ， 作 BGBC 的延长线于 G， BG=AD= ， 在 RtBBG 中， BG= =3， DG=BG -BD=3-1=2， 在 RtBDG 中， BD= . 故 BE+ED 的最小值为 . 16
14、.(4 分 )如图，若双曲线 y= (k 0)与边长为 3 的等边 AOB(O 为坐标原点 )的边 OA、 AB分别交于 C、 D 两点，且 OC=2BD，则 k 的值为 _. 解 析 ： 过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 OC=2x，则 BD=x，分别表示出点 C、点 D 的坐标，代入函数解析式求出 k，继而可建立方程，解出 x 的值后即可得出 k的值 . 答案 ： 过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F， 设 OC=2x，则 BD=x， 在 RtOCE 中， COE=60 ， 则 OE=x， CE= x， 则点 C 坐标为
15、(x， x)， 在 RtBDF 中， BD=x， DBF=60 ， 则 BF= x， DF= x， 则点 D 的坐标为 (3- x， x)， 将点 C 的坐标代入反比例函数解析式可得： k= x2， 将点 D 的坐标代入反比例函数解析式可得： k= x- x2， 则 x2= x- x2， 解得： x1= ， x2=0(舍去 )， 故 k= x2= . 故答案为： . 三、解答题：本大题共 8 小题，共 66 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.(6 分 )先化简，再求值： ，其中 a= . 解 析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，
16、约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值 . 答案 ： 原式 =， 当 a= 时，原式 = -1. 18.(6 分 )“ 热爱劳动，勤俭节约 ” 是中华民族的光荣传统，某小学校为了解本校 3 至 6 年级的 3000 名学生帮助父母做家务的情况，以便做好引导和教育工作，随机抽取了 200 名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分别绘制了条形统计图 (图 1)和扇形统计图 (图 2). (1)四个年级被调查人数的中位数是多少？ (2)如果把 “ 天天做 ” 、 “ 经常做 ” 、 “ 偶尔做 ” 都统计成帮助父母做家务，那么该校 3 至6 年级学生帮助父母做家务的人数大约是多少？ (3
17、)在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人 “ 天天帮助父母做家务 ” ，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率 . 解 析 ： (1)根据条形统计图中的数据，找出中位数即可； (2)根据扇形统计图找出的百分比，乘以 3000 即可得到结果； (3)画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是甲与乙的情 况，即可确定出所求概率 . 答案 ： (1)四个年级被抽出的人数由小到大排列为 30， 45， 55， 70， 中位数为 50； (2)根据题意得： 3000(1 -25%)=2250 人， 则该校帮助父母做家务的学生大约有 2250 人
18、； (3)画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是甲与乙的情况有 2 种， 则 P= = . 19.(6 分 )某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价 10 元，售价 15 元；乙商品每件进价 30 元，售价 40 元 . (1)若该超市一次性购进两种商品共 80 件，且恰好用去 1600 元，问购进甲 、乙两种商品各多少件？ (2)若该超市要使两种商品共 80 件的购进费用不超过 1640 元，且总利润 (利润 =售价 -进价 )不少于 600 元 .请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案 . 解 析 ： (1)设该超市购进甲商品 x 件，则
19、购进乙商品 (80-x)件，根据恰好用去 1600 元，求出x 的值，即可得到结果； (2)设该超市购进甲商品 x 件，乙商品 (80-x)件，根据两种商品共 80 件的购进费用不超过1640 元，且总利润 (利润 =售价 -进价 )不少于 600 元列出不等式组，求出不等式组的解集确定出 x 的值，即可设计相应的进货方案，并找出使该超市利润最大的方案 . 答案 ： (1)设该超市购进甲商品 x 件，则购进乙商品 (80-x)件， 根据题意得： 10x+30(80-x)=1600， 解得： x=40， 80-x=40， 则购进甲、乙两种商品各 40 件； (2)设该超市购进甲商品 x 件，乙商
20、品 (80-x)件， 由题意得： ， 解得： 38x 40， x 为非负整数， x=38 ， 39， 40，相应地 y=42， 41， 40， 进而利润分别为 538+1042=190+420=610 ， 539+1041=195+410=605 ，540+1040=200+400=600 ， 则该超市利润最大的方案是购进甲商品 38 件，乙商品 42 件 . 20.(8 分 )如图，已知一次函数 y1=k1x+b 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，与反比例函数 y2= 的图象分别交于 C、 D 两点，点 D(2， -3)，点 B 是线段 AD 的中点 . (1)求一次函数
21、y1=k1x+b 与反比 例函数 y2=的解析式； (2)求 COD 的面积； (3)直接写出 y1 y2时自变量 x 的取值范围 . 解 析 ： 把点 D 的坐标代入 y2= 利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作 DEx轴于 E，根据题意求得 A 的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； (2)联立方程求得 C 的坐标，然后根据 SCOD =SAOC +SAOD 即可求得 COD 的面积； (3)根据图象即可求得 . 答案 ： 点 D(2， -3)在反比例函数 y2= 的图象上， k 2=2( -3)=-6， y 2=- ； 作 DEx 轴于 E， D(2 ， -3)，点 B
22、 是线段 AD 的中点， A( -2， 0)， A( -2， 0)， D(2， -3)在 y1=k1x+b 的图象上， ， 解得 k1=- ， b=- ， y 1=- x- ； (2)由 ，解得 ， ， C( -4， )， S COD =SAOC +SAOD = + 23= ； (3)当 x -4 或 0 x 2 时， y1 y2. 21.(8 分 )如图所示，港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60的方向 .一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向 (北偏西 30) 以 vkm/h 的速度驶离港口 O，同时一艘快艇从港口 B 出发，沿北偏东 30
23、 的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C，在小岛 C 用 1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去 . (1)快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间？ (2)若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h，求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离 . 解 析 ： (1)要求 B 到 C 的时间，已知其速度，则只要求得 BC 的路程，再利用路 程公式即可求得所需的时间； (2)过 C作 CDOA ，垂足为 D，设相会处为点 E.求出 OC=OBcos30=60 ， CD= OC=30 ，OD=OCcos30=90 ，则 DE=90-3v.在直角 CDE 中利用勾股定理得出 CD2+DE2
24、=CE2，即 (30)2+(90-3v)2=602，解方程求出 v=20 或 40，进而求出相遇处与港口 O 的距离 . 答案 ： (1)CBO=60 ， COB=30 ， BCO=90. 在 RtBCO 中， OB=120 ， BC= OB=60， 快艇从港口 B 到小岛 C 的时间为： 6060=1( 小时 )； (2)过 C 作 CDOA ，垂足为 D，设相会处为点 E. 则 OC=OBcos30=60 ， CD= OC=30 ， OD=OCcos30=90 ， DE=90 -3v. CE=60 ， CD2+DE2=CE2， (30 )2+(90-3v)2=602， v=20 或 40，
25、 当 v=20km/h 时， OE=320=60km ， 当 v=40km/h 时， OE=340=120km. 22.(8 分 )如图，在 O 中， AB 为直径， OCAB ，弦 CD 与 OB 交于点 F，在 AB的延长线上有点 E，且 EF=ED. (1)求证： DE 是 O 的切线； (2)若 OF： OB=1： 3， O 的半径 R=3，求 的值 . 解 析 ： (1)连结 OD，如图，由 EF=ED 得到 EFD=EDF ，再利用对顶角相等得 EFD=CFO ，则 CFO=EDF ，由于 OCF+CFO=90 ， OCF=ODF ，则 ODC+EDF=90 ，于是根据切线的判定定
26、理可得 DE 是 O 的切线； (2)由 OF： OB=1： 3 得到 OF=1， BF=2，设 BE=x，则 DE=EF=x+2，根据圆周角定理，由 AB 为直径得到 ADB=90 ，接着证明 EBDEDA ，利用相似比得 ，即 ，然后求出 x 的值后计算 的值 . 答案 ： (1)证明：连结 OD，如图， EF=ED ， EFD=EDF ， EFD=CFO ， CFO=EDF ， OCOF ， OCF+CFO=90 ， 而 OC=OD， OCF=ODF ， ODC+EDF=90 ，即 ODE=90 ， ODDE ， DE 是 O 的切线； (2)解： OF ： OB=1： 3， OF=1
27、， BF=2， 设 BE=x，则 DE=EF=x+2， AB 为直径， ADB=90 ， ADO=BDE ， 而 ADO=A ， BDE=A ， 而 BED=DAE ， EBDEDA ， ，即 ， x=2 ， . 23.(12 分 )如图 1，矩形 ABCD 的两条边在坐标轴上，点 D 与坐标原点 O 重合，且 AD=8， AB=6.如图 2，矩形 ABCD 沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，同时点 P从 A 点出发也以每秒 1 个单位长度的速度沿矩形 ABCD 的边 AB 经过点 B 向点 C 运动，当点 P 到达点 C 时，矩形ABCD 和点 P 同时停止运动，设点 P 的运
28、动时间为 t 秒 . (1)当 t=5 时，请直接写出点 D、点 P 的坐标； (2)当点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，求出 PBD 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应 t 的取值范围； (3)点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，作 PEx 轴，垂足为点 E，当 PEO 与 BCD 相似时，求出相应的 t 值 . 解 析 ： (1)延长 CD 交 x 轴于 M，延长 BA交 x 轴于 N，则 CMx 轴， BNx 轴， ADx 轴， BNDM ，由矩形的性质得出和勾股定理 求出 BD， BO=15，由平行线得出 ABDNBO ，得出比例式，求出 BN、 NO
29、，得出 OM、 DN、 PN，即可得出点 D、 P 的坐标； (2)当点 P 在边 AB 上时， BP=6-t，由三角形的面积公式得出 S= BPAD ； 当点 P 在边 BC上时， BP=t-6，同理得出 S= BPAB ；即可得出结果； (3)设点 D(- t， t)；分两种情况： 当点 P在边 AB上时， P(- t-8， t)，由 和时；分别求出 t 的值； 当点 P 在边 BC 上时， P(-14+ t， t+6)；由 和 时，分别求出 t 的值即可 . 答案 ： (1)延长 CD 交 x 轴于 M，延长 BA 交 x 轴于 N，如图 1所示： 则 CMx 轴， BNx 轴， ADx
30、 轴， BNDM ， 四边形 ABCD 是矩形， BAD=90 ， CD=AB=6， BC=AD=8， BD= =10， 当 t=5 时， OD=5， BO=15 ， ADNO ， ABDNBO ， ， 即 ， BN=9 ， NO=12， OM=12 -8=4， DM=9-6=3， PN=9-1=8， D( -4， 3)， P(-12， 8)； (2)如图 2 所示：当点 P 在边 AB 上时， BP=6-t， S= BPAD= (6-t)8= -4t+24； 当点 P 在边 BC 上时， BP=t-6， S= BPAB= (t-6)6=3t -18； 综上所述： S= ； (3)设点 D(-
31、 t， t)； 当点 P 在边 AB 上时， P(- t-8， t)， 若 时， ， 解得： t=6； 若 时， ， 解得： t=20(不合题意，舍去 )； 当点 P 在边 BC 上时， P(-14+ t， t+6)， 若 时， ， 解得： t=6； 若 时， ， 解得： t= (不合题意，舍去 )； 综上所述：当 t=6 时， PEO 与 BCD 相似 . 24.(12 分 )如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c与 x 轴交于 A(-1， 0)、 B(3， 0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB. (1)求该抛物线的解析式；
32、 (2)在 (1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得 BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由 . (3)在 (1)中的抛物线上是否存在点 Q，使得 QMB 与 PMB 的面积相等？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)把 A(-1， 0)、 B(3， 0)两点代入 y=-x2+bx+c 即可求出抛物线的解析式， (2)设 D(t， -t2+2t+3)，过点 D 作 DHx 轴，根据 SBCD =S 梯形 OCDH+SBDH -SBOC =- t2+ t，即可求出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值，
33、 (3)设过点 P 与 BC 平行的直线与抛物线的交点为 Q，根据直线 BC 的解析式为 y=-x+3，过点P 与 BC 平行的直线为 y=-x+5，得 Q 的坐标为 (2， 3)，根据 PM的解析式为： x=1，直线 BC的解析式为 y=-x+3，得 M 的坐标为 (1， 2)，设 PM与 x 轴交于点 E，求出过点 E与 BC 平行的直线 为 y=-x+1，根据 得点 Q 的坐标为 ，. 答案 ： (1)由 得 ，则抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3， (2)设 D(t， -t2+2t+3)，过点 D 作 DHx 轴， 则 SBCD =S 梯形 OCDH+SBDH -SBOC = (-
34、t2+2t+3+3)t+ (3-t)(-t2+2t+3)- 33= - t2+ t， - 0， 当 t=- = 时， D 点坐标是 ( ， )， BCD 面积的最大值是 ； (3)设过点 P 与 BC 平行的直线与抛物线的交点为 Q， P 点的坐标为 (1， 4)，直线 BC 的解析式为 y=-x+3， 过点 P 与 BC 平行的直线为 y=-x+5， 由 得 Q 的坐标为 (2， 3)， PM 的解析式为 x=1，直线 BC 的解析式为 y=-x+3， M 的坐标为 (1， 2)， 设 PM 与 x 轴交于点 E， PM=EM=2 ， 过点 E 与 BC 平行的直线为 y=-x+1， 由 得 或 ， 点 Q 的坐标为 ， 使得 QMB 与 PMB 的面积相等的点 Q 的坐标为 (2， 3)，( .
