1、考研数学（数学二）模拟试卷 429 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.x0 时，下列无穷小量阶数最高的是( )（分数：2.00）A.。B.3x 3 一 4x 4 +5x 5 。C.e x2 一 cosx。D. 0 1cosx 3.已知 f(x)的导函数图像如图 1 所示，则 f(x)在(0，+)上( ) （分数：2.00）A.有 3 个驻点，3 个极值点，3 个拐点。B.有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。C.有 3 个驻点，2 个极值点，3
2、个拐点。D.有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。4.曲线 y=x 2 arctan （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。5.函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续但偏导数存在。B.偏导数不存在但连续。C.可微但偏导数不连续。D.偏导数连续。6.累次积分 （分数：2.00）A. 0 * d 0 R f(r)rdr。B. 0 arctanR df(r)rdr。C. 0 * d 0 R f(r)dr。D. 0 arctanR d 0 R f(r)dr。7.设连续函数 f(x)0 且单调递增，则积分 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 1 I 3 I 2
3、 。C.I 2 I 3 I 1 。D.I 3 I 1 I 2 。8.设 A 为 4 阶矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 Ax=0 的基础解系为(1，2，一 3，0) T ，则下列说法中错误的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。C. 1 ， 2 ， 4 线性无关。D. 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出。9.已知 =(1，一 3，2) T ，=(0，1，2) T ，设矩阵 A= T E，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（分数：2.00）A.。B.。C.+。D.。二、填空题(总题数：6，分数：12.
4、00)10.设 f(x)为可导的偶函数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知凹曲线 y=f(x)在曲线上任意一点(x，f(x)处的曲率为 K= （分数：2.00）填空项 1:_13.设函数 z=z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A，B 均为三阶矩阵，将 A 的第一行加到第二行得到 A 1 ，将 B 的第二列和第三列交换得到 B 1 ，若 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)1
5、6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.求极限 （分数：2.00）_18.设 z= ，其中 f()具有二阶连续导数，f(0)=f (0)=0，且 （分数：2.00）_19.证明不等式 3xtanx+2sinx，x(0， （分数：2.00）_20.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_设 f(x)连续，且满足 f(x)=x2 0 x (1e tx )f(t)dt。（分数：4.00）(1).验证 f(x)满足 f (x)+f (x)一 2f(x)=1，且 f(0)=0，f (0)=1；（分数：2.00）_(2).求 f(x)。（分数：2.00）_21.求函数 f(x，y)=x
6、 2 +4y 2 +xy+2 在区域 D 上的最大值与最小值，其中 D=(x，y) （分数：2.00）_22.计算二重积分 （分数：2.00）_23.已知线性方程组 （分数：2.00）_设二次型 x T Ax=ax 1 2 +2x 2 2 一 x 3 2 +8x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2cx 2 x 3 ，实对称矩阵 A 满足 AB=O，其中 B= （分数：4.00）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；（分数：2.00）_(2).判断矩阵 A 与 B 是否合同，并说明理由。（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 429 答案解析(总分：52.00，
7、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.x0 时，下列无穷小量阶数最高的是( )（分数：2.00）A.。B.3x 3 一 4x 4 +5x 5 。C.e x2 一 cosx。D. 0 1cosx 解析：解析：选项(A)， 选项(B)，3x 3 一 4x 4 +5x 5 =3x 3 +o(x 3 )，可知 3x 3 一 4x 4 +5x 5 3x 3 。 3.已知 f(x)的导函数图像如图 1 所示，则 f(x)在(0，+)上( ) （分数：2.00）A.有 3 个驻点，3 个极值
8、点，3 个拐点。B.有 2 个驻点，2 个极值点，2 个拐点。C.有 3 个驻点，2 个极值点，3 个拐点。 D.有 3 个驻点，2 个极值点，1 个拐点。解析：解析：驻点为导数等于 0 的点，即导函数图像与横坐标的交点，共 3 个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有 2 个；拐点即为导函数的极值点，根据图像可知有 3 个点。故选择(C)。4.曲线 y=x 2 arctan （分数：2.00）A.0。B.1。 C.2。D.3。解析：解析：函数唯一可能的间断点是 x=0，而 =0， 不存在垂直渐近线。 又因为 =， 不存在水平渐近线。 最后求斜渐近线 做变量替换，令 x=5.函数 f(x
9、)= （分数：2.00）A.不连续但偏导数存在。B.偏导数不存在但连续。C.可微但偏导数不连续。 D.偏导数连续。解析：解析：连续性： =0=f(0，0)， 所以函数 f(x，y)在(0，0)点连续。 偏导数： f x (0，0)= =0， 所以函数 f(x，y)在(0，0)处对 x 的偏导数存在。同理可验证函数 f(x，y)在(0，0)处对 y的偏导数存在。所以函数 f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在。 全微分： =0， 所以函数 f(x，y)在(0，0)处可微。 偏导数连续性： f x (x，y)= 6.累次积分 （分数：2.00）A. 0 * d 0 R f(r)rdr。B. 0 a
10、rctanR df(r)rdr。 C. 0 * d 0 R f(r)dr。D. 0 arctanR d 0 R f(r)dr。解析：解析：根据已知可得 D 1 =(x，y)0x ，0yRx， D 2 =(X，y) x尺 R，0y 。 所围成的区域如图 2 所示 则根据 7.设连续函数 f(x)0 且单调递增，则积分 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 1 I 3 I 2 。C.I 2 I 3 I 1 。D.I 3 I 1 I 2 。 解析：解析：由于积分区间相同，比较被积函数的大小， 函数 f(x)0 且单调递增，有 f(x)一 时，sinxcosx，可以得到被积函数f(x
11、)一 f( 8.设 A 为 4 阶矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 Ax=0 的基础解系为(1，2，一 3，0) T ，则下列说法中错误的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 C. 1 ， 2 ， 4 线性无关。D. 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出。解析：解析：Ax=0 的基础解系为(1，2，一 3，0) T ，可知 r(A)=3 且 1 +2 2 一 3 3 =0，则 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以(A)正确。 因为 r(A)=3 且 1 ， 2 ， 3 线性相关，若 4 可由 1 ， 2 ，
12、 3 线性表出，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 )3， 所以该选项错误，答案为(B)。 由于 3 = 9.已知 =(1，一 3，2) T ，=(0，1，2) T ，设矩阵 A= T E，则矩阵 A 最大特征值的特征向量是( )（分数：2.00）A.。 B.。C.+。D.。解析：解析：由题设可知 r() T =1，所以 T 的特征值为 0，0， T ，即 0，0，1，所以 A 的特征值为一 1，一 1，0。 A 属于 0 的特征向量等于 T 属于 1 的特征向量，因为 T =( T )=，所以答案为(A)。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f
13、(x)为可导的偶函数，满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=4(x+1)）解析：解析： 11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：结合定积分的极限定义式12.已知凹曲线 y=f(x)在曲线上任意一点(x，f(x)处的曲率为 K= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)= ）解析：解析：根据曲率公式 K= ， 因为函数 y=f(x)为凹曲线，可得 f (x)0，则有微分方程 令 f (x)=p，则 ， 解微分方程可得 f(x)= 13.设函数 z=z(x，y)具有二阶连续的偏导数，满足 （分数：2
14、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z(x，y)= ）解析：解析：因为 =x+y，对 x 积分可得 x 2 +xy+C(y)， 令 x=0 可得 =C(y)，又因为z(0，y)=y 2 ，对 y 求导 =2y，可以得到 C(y)=2y，那么 x 2 +xy+2y， 再对 y 积分可以得 z(x，y)= xy 2 +y 2 +C(x)， 令 y=0 可以得到 z(x，0)=0=C(x)，则 z(x，y)= 14.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=3）解析：解析：原函数可化为 f(x)=15.设 A，B 均为三阶矩阵，将 A 的第一行加到第二行得
15、到 A 1 ，将 B 的第二列和第三列交换得到 B 1 ，若 A 1 B 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知，A 1 =E 12 (1)A，B 1 =BE 23 ，所以 A 1 B 1 =E 12 (1)ABE 23 ，从而 AB=E 12 1 (1)A 1 B 1 E 23 1 =E 12 (一 1)A 1 B 1 E 23 =E 12 (一 1) E 23 = 三、解答题(总题数：10，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据等价无穷小替
16、换公式， )解析：18.设 z= ，其中 f()具有二阶连续导数，f(0)=f (0)=0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f( )，其中 f()具有二阶连续导数， 即 f ()一 f()=。 求解该二阶微分方程可得 f()=C 1 e +C 2 e 一 ， 由 f(0)=f (0)=0 代入上式通解，可解得 ，故 f()= )解析：19.证明不等式 3xtanx+2sinx，x(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=tanx+2sinx 一 3x，x(0， )， 则 f (x)=sec 2 x+2cosx 一 3， f (x)=2sec 2 xtan
17、x 一 2sinx=2sinx(sec 3 x 一 1)， 由于当 x(0， )时 sinx0，sec 3 x 一10，则 f (x)0，函数 f (x)=sec 2 x+2cosx 一 3，为增函数，f (0)=0，因此 x(0， )时，f(x)=sec 2 x+2cosx 一 30，进一步得函数 f(x)为增函数，由于 f(0)=0，因此 f(x)=tanx+2sinx 一3xf(0)=0，x(0， )，即不等式 3xtanx+2sinx，x(0， )解析：20.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)可在 x=0 处展为一阶泰勒展开式，即 f(x)=
18、f(0)+f (0)x+o(x 2 )， 同时 ln(1+x)=x 一 +o(x 2 )，代入原极限式可得 故 f(0)一 1=0，f (0)+ =2，因此f(0)=1，f (0)= )解析：设 f(x)连续，且满足 f(x)=x2 0 x (1e tx )f(t)dt。（分数：4.00）(1).验证 f(x)满足 f (x)+f (x)一 2f(x)=1，且 f(0)=0，f (0)=1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0 代入原方程可得 f(0)=0，将 f(x)变形整理为 f(x)=x+2 0 x (1 一 e tx )f(t)dt=x+2 0 x f(t)dt 一 2
19、e x 0 x e t f(t)dt， 则 f (x)=1+2e x 0 x e t f(t)dt， 将x=0 代入上式可得 f (0)=1。 再在等式两边同时乘以 e x 可得 e x f (x)=e x +2 0 x e t f(t)dt， 求导可得 e x f (x)+e x f (x)=e x +2e x f(x)， 即 f(x)满足 f (x)+f (x)一 2f(x)=1，且 f(0)=0，f (0)=1。)解析：(2).求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上问可知，f(x)满足 f (x)+f (x)一 2f(x)=1。 齐次方程对应的特征方程为 2 + 一
20、 2=0，解得 1 =1， 2 =一 2，故齐次方程的通解为 C 1 e x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。 又设原方程的特解为 f * (x)=0，代入原方程解得 a= ，故 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x ， 由初始条件 f(0)=0，f (0)=1 可解得 ，故 f(x)= )解析：21.求函数 f(x，y)=x 2 +4y 2 +xy+2 在区域 D 上的最大值与最小值，其中 D=(x，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 2 所示，函数 f(x，y)=x 2 +4y 2 +xy+2 在该区域上的最值问题分为两部分讨论
21、，即边界 上的条件极值及 D 内部的无条件极值。 L 1 ：y= 一 1，将该条件代入 f(x，y)=x 2 +4y 2 +xy+2，可得 )解析：22.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 3 所示， 适合先 x 后 y，则该积分分为两部分计算。 )解析：23.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知线性方程组的系数矩阵为 A= ，增广矩阵为 (A，b)= ， 对增广矩阵做初等行变换 方程有无穷多解，则 r(A)=r(A，b)3，所以 a=2，b=一 3。 下面求线性方程组的通解，将增广矩阵化为行最简形。 从而原方程组可化为
22、)解析：设二次型 x T Ax=ax 1 2 +2x 2 2 一 x 3 2 +8x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2cx 2 x 3 ，实对称矩阵 A 满足 AB=O，其中 B= （分数：4.00）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型对应的实对称矩阵为 A= ，因为 AB=O，所以 得 A 的特征值为0，6，一 6。 当 =0 时，求解线性方程组(OEA)x=0，解得 1 =(1，0，1) T ； 当 =6 时，求解线性方程组(6EA)x=0，解得 2 =(一 1，一 2，1) T ； 当 =一 6 时，求解线性方程组(一 6EA)x=0，解得 3 =(一 1，1，1) T 。 下将 1 ， 2 ， 3 单位化 则二次型在正交变换 X=Qy 的标准形为 f=6y 2 2 一 6y 3 2 ，其中 Q= )解析：(2).判断矩阵 A 与 B 是否合同，并说明理由。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 与 B 不合同。因为 r(A)=2，r(B)=1，由合同的必要条件可知矩阵 A 与 B 不合同。)解析：
