1、考研数学（数学二）模拟试卷 449 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.两个偏导数存在，函数不连续B.两个偏导数不存在，函数连续C.两个偏导数存在，函数也连续，但函数不可微D.可微3.设 f(x)在 x=0 处存在四阶导数，又设 （分数：2.00）A.f(0)=1B.f(0)=2C.f (0)=3D.f (4) (0)=44.设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(
2、0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定5.设 （分数：2.00）A.在区间(，0)内是严格单调增，在(0，+)内是严格单调减B.在区间(，0)内是严格单调减，在(0，+)内是严格单调增C.在区间(，0)与(0，+)内都是严格单调增D.在区间(，0)与(0，+)内都是严格单调减6.设 g(x)在(，+)内存在二阶导数，且 g(x)A.f(x)0B.f(x)2 时， （分数：2.00）_20.设积分区域 D=(x，y)| 0xy2)，计算二重积分 I= （分数：2.00）_21.已知摆线的参数方程为 （分数：2.00）_设
3、 0 =(1，1，1，1) T 是线性方程组 （分数：4.00）(1).方程组（*）的全部解；（分数：2.00）_(2).方程组（*）的解中满足 x 2 =x 3 的全部解（分数：2.00）_设 (1，2，3，4) T ，(3，2，1，1) T ，A= T （分数：4.00）(1).求 A 的特征值，特征向量；（分数：2.00）_(2).问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 449 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.0
4、0）_解析：2.设 （分数：2.00）A.两个偏导数存在，函数不连续B.两个偏导数不存在，函数连续C.两个偏导数存在，函数也连续，但函数不可微 D.可微解析：解析： 所以函数在点(0，0)处连续，且 f x (0，0)与 f y (0，0)均存在 再看可微性，若 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f(x，y)f(0，0)= f x (0，0)x+ f y (0，0)y+ 成立上面已有 f x (0，0)= 0，f y (0，0)=0，于是应有 f(x，y) 而 当(x， y)(0，0)时不妨设 y=kx0，则 并不趋于 0 所以当(x，y)(0，0)时，f(x，y)不是 3.设 f(x)在
5、 x=0 处存在四阶导数，又设 （分数：2.00）A.f(0)=1B.f(0)=2C.f (0)=3 D.f (4) (0)=4解析：解析：用佩亚诺泰勒公式先考虑分母, 将分子 f(x)在 x=0 处按佩亚诺余项泰勒公式展开至n=3，得 代入原式，得4.设 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.f(0)不是 f(x)的极值D.f(0)是否为 f(x)的极值要由具体的 g(x)决定解析：解析：当 x0 时， 由于 g(x)在 x=0 处连续，则 由题设，易得f(0) 2 =0 2 f(0)0g(0)=0，即
6、 f(0)=0 5.设 （分数：2.00）A.在区间(，0)内是严格单调增，在(0，+)内是严格单调减B.在区间(，0)内是严格单调减，在(0，+)内是严格单调增C.在区间(，0)与(0，+)内都是严格单调增 D.在区间(，0)与(0，+)内都是严格单调减解析：解析： 6.设 g(x)在(，+)内存在二阶导数，且 g(x)A.f(x)0B.f(x)Bx 0 =0 故 r(A)=s=Bx=0 和 ABx=0 是同解方程组故应选 C二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.由参数式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11.存在且不为零的充要条件是常数 p
7、= 1，此时该极限值为 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：作积分变量代换，令 ，从而 上述极限存在且不为零的充要条件是 此时，该极限值等于12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 ）解析：解析：因为 13.已知 y=u(x)x 是微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2xtan(x2)）解析：解析：由 y=u(x)，有 ，于是原方程化为 由于初值为 x=2，所以在 x=2 的不包含 x=O 在内的邻域上，上述方程可改写成 分离变量 两边积分14.圆周 x 2 +y 2 =16 与直线 L：
8、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原点到直线 L： 的距离 所以直线 y=2 与圆周 x 2 +y 2 =16 围成的小的那块弓形状的图形绕直线 y=2 旋转一周生成的旋转体体积与题中要求的旋转体体积相同由此有 15.设 A 是 3 阶方阵，有 3 个特征值为 0，1，1，且不相似于对角矩阵，则 r(EA)+r(A)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因 =0 是特征方程|EA|的单根，所以对应的线性无关特征向量有且只有一个，即 Ax=0的基础解系只有一个非零解故 r(A)=2 因 =1 是二重特征根，又 A 不相
9、似于对角矩阵，故对应的线性无关特征向量也只有一个，即 1=3r(EA)， 即 r(EA)=31=2 因此 r(A)+r(EA)=4三、解答题(总题数：10，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.过第一象限中椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由隐函数微分法知，过椭圆上点(，)处的切线斜率为 切线方程为两坐标轴上的截距分别为 三角形面积为 求 A 的最小值，等价于求 在条件 下的最大值由拉格朗日乘数法，作 )解析：18.设 f(x)在区间1，1上存在二阶连续导数，f(0)=0，f(0)为已知，设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
10、将 f(x)在 x=0 处按带有拉格朗日余项的泰勒公式展开至 n=1，有 又由于f(x)在1，1上连续，故存在 M0，对一切 x1，1，有|f(x)|M于是 )解析：设 n 为正整数， （分数：4.00）(1).证明对于给定的 n，F(x)有且仅有 1 个(实)零点，并且是正的，记该零点为 a n ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以对于给定的 n，F(x)有且仅有一个零点，记为 a n 并且 )解析：(2).证明a n 随 n 的增加而严格单调减少且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 所以a n 严格单调减少且 )解析：设微分方程 （分数：4.00）(1).作自变量
11、变换 t=ln x 以及因变量变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 t=lnx，有 代入原微分方程得 再由 得 z 关于 t 的微分方程为)解析：(2).求原微分方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由上述方程 解得 )解析：19.证明：当 x2 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，有 (2)=0 且 令 f(u)=e u +ue u ，从而，f(u)=(u+2)e u ，并且 由条件 x2，所以 由于 f()=(2+)e ， )解析：20.设积分区域 D=(x，y)| 0xy2)，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由
12、于被积函数为|sin(yx)|，因此要分 D 为 D 1 D 1 ，如图所示 其中 D 1 =(x，y)|yx2，(x，y)D， D 2 =(x，y)|0yx，(x，y)D， 仅当yx=(x，y)D)时 D 1 与 D 2 有公共边，不影响积分的值 )解析：21.已知摆线的参数方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：摆线一拱弧长 摆线一拱绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面的面积为 由题意得， )解析：设 0 =(1，1，1，1) T 是线性方程组 （分数：4.00）(1).方程组（*）的全部解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 代入方程组，得+=0，即 =，代入增广矩阵
13、，并作初等行变换，)解析：(2).方程组（*）的解中满足 x 2 =x 3 的全部解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 2 时，由 x 2 =x 3 ，有 k=k，得 k=0故满足 x 2 =x 3 的全部解为(1，0，0，1) 当 =2 时，由 x 2 =x 3 ，有 k 1 =k 2 故满足 x 2 =x 3 的全部解为(6k 1 1，k 1 ，k 2 ，2k 1 +1) T 其中 k 1 是任意常数)解析：设 (1，2，3，4) T ，(3，2，1，1) T ，A= T （分数：4.00）(1).求 A 的特征值，特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： r(A)=r( T )r()=1又 AO，故 r(A)=1，|A|=0 故 A 有特征值=0对应的特征向量满足(0EA)x=0，即 Ax= T x=0其同解方程为 3x 1 2x 2 x 3 +x 4 =0 故知 =0 至少是 A 的三重特征值，设第 4 个特征值为 1 由 )解析：(2).问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0 是四重特征值但对应的线性无关特征向量只有三个故 A 不能相似于对角阵)解析：
