1、考研数学（数学二）模拟试卷 446 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导3.当 x0 时，下列 3 个无穷小 （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，4.设 （分数：2.00）A.maxf(x)，g(x)B.minf(x)，g(x)C.f(x)g(x)D.f(x)+g(x)5.设 f(x，y)=|xy|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“(0，0
2、)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的 ( )（分数：2.00）A.必要条件而非充分条件B.充分条件而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件6.设 （分数：2.00）A.a n+2 =a n+1 + a n B.a n+3 =a n C.a n+4 =a n+2 + a n D.a n+6 =a n 7.设 A，B，C 为常数，则微分方程 y+2y+5y=e x cos 2 x 有特解形式 ( )（分数：2.00）A.e x (A+Bcos2x+Csin2x)B.e x (A+Bxcos2x+Cxsin2x)C.e x (Ax+Bcos2x+Csin2x)D.e x (A
3、x+Bxcos2x+Cxsin2x)8.已知 n 维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 是线性方程组 Ax=0 的基础解系，则向量组 a 1 +b 4 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 2 ，a 4 +b 1 也是 Ax=0 的基础解系的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.a=bB.abC.abD.ab9.设 ，则 A 合同于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 y=y(x)由方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.在(，+)内连续的充要条件是 a= 1，b= 2 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_
4、12.设 y=y(x)由 y 3 +(x+1)y+x 2 =0 及 y(0)=0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y的系数为 1 的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为 y 1 * =(1x+x 2 )e x 与 y 1 * = x 2 e x 则该微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(lnx)=xlnx，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 f(x)其有二阶连续导数，f(0
5、)=0，f(0)=0，f(0)0在曲线 y= f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距记为 u，求 （分数：2.00）_18.设 a 为正常数，f(x)=xe a ae x x+a证明：当 xa 时，f(x)0在曲线 y= f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距记为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(0)=0 及 f(0)0，故存在 x=0 的一个去心邻域 U，使得当 xU 时，f(x)0过点(x，f(x)(x0)的切线方程为 Yf(x)=f(x)=f(x)(Xx) 令 Y=0，得截距 )解析：18
6、.设 a 为正常数，f(x)=xe a ae x x+a证明：当 xa 时，f(x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(a)=0，f(x)=e a ae x 1，f(x)=ae x a ae x 1，(a)| a=0 ，(a)=ae x 0)，即 f(a)0) 将 f(x)在 x=a 处按二阶泰勒公式展开： )解析：19.(1)求定积分 a n = 0 2 x(2xx 2 ) n dx，n=1，2，； (2)对于(1)中的 a n ，证明 a n+1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（1）当 n2 时，计算 a n = 0 2 x(2xx 2 ) n dx= 0 2 x1(
7、1x) 2 n dx， 作积分变量代换，令 1x=t，于是 a n = 1 1 (1t)(1t 2 ) n (dt)= 1 1 (1t 2 ) n dt 1 1 t(1t 2 ) n dt = 1 1 (1t 2 ) n dt =2 0 1 (1t 2 ) n dt 下面用分部积分计算： 所以 由此迭代式得 (2) 由 a n 的迭代式显然有 0a n a n1 (n=2，3，)又 )解析：设微分方程及初始条件为 （分数：4.00）(1).求满足上述微分方程及初始条件的特解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：改写所给方程 由一阶线性微分方程的通解公式得通解 由初始条件y(1)=y 1
8、，得 C=(y 1 +1)e 1 ，得初值问题的特解为 )解析：(2).是否存在常数 y 1 ，使对应的解 y=y(x)存在斜渐近线?若存在请求出此 y 1 ，及相应的斜渐近线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 y(1)1，则 ，无斜渐近线若 y 1 =1，则 故此时有斜渐近线 )解析：20.设 f(x，y)=maxx，y，D=(x，y)|0x1，0y1) 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，曲线 y=x 和 y=x 2 ，将 D 划分成三块：D 1 D 2 D 3 ， )解析：过坐标原点作曲线 y=e x 的切线，该切线与曲线 y=e x 以及 x 轴围成的
9、向 x 轴负向无限伸展的平面图形记为 D求（分数：4.00）(1).D 的面积 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图所示，设切点坐标为 P(x 0 ，y 0 )，于是曲线 y=e x 在点 P 的切线斜率为 y(x 0 )=e x0 ， 切线方程为 yy 0 =e x0 (xx 0 ) 它经过点(0，0)，所以y 0 =x 0 e x0 又因 y 0 =e x0 ，代入求得 x 0 =1， 从而 y 0 =e x0 =e，切线方程为 y=ex 取水平条面积元素，则 D 的面积 )解析：(2).D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答
10、案：D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积微元为 )解析：21.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为 y=f(y，y)型令 原方程化为 当 x=0 时，y=1，y=1代入得 1=(1+C 1 )，所以 C 1 =0，于是得 p 2 =y 4 ，故 p=y 2 (因 y=1 时，y=1，取正号)，于是有 再分离变量积分得 将 x=0 时，y=1 代入得 C 2 =1从而得解 )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将( 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 )作初等行变换，有 向量组 故应取 a=1，b=2，c=2 当 a=1，b=2，c=2
11、时， 故( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )，从而有 ( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 求 1 由 1 ， 2 ， 3 线性表出的表出式，即解方程组 得通解为 l(4，1，2) T +(1，0，0) T 即 1 =(4l+1) 1 +l 2 +2l 3 求 1 由 1 ， 2 ， 3 线性表出的表出式，即解方程组 )解析：设 （分数：4.00）(1).A 是否相似于 B，说明理由；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ， 知 A 有特征值 1 = 2 =1， 3 =1， 当 1 = 2 =1， 所以 A 的对应于二重特征值 1 = 2 =1 的线性无关的特征向量有两个，则 A 可相似于对角矩阵 故 由 ，知 B 有特征值 1 = 2 =1， 3 =1，又 B 是实对称矩阵 故 则由相似矩阵的传递性知 )解析：(2).A 和 C 是否相似，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，知 C 有特征值 1 = 2 =1， 3 =1 当 1 = 2 =1 时， )解析：
