1、农学硕士联考数学-14 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是_。 A若 存在，则 f(0)=0 B若 存在，则 f(0)=0 C若 存在，则 f(0)存在 D若 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)连续，则下列函数中一定为偶函数的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 A满足 A2+A-4E=0
2、，其中 E为单位矩阵，则 A-E的逆阵为_。AA-2EBA+2EC (A-2E)D （分数：4.00）A.B.C.D.6. （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 均服从正态分布，则协方差 Cov(X，Y)=0 是 X与 Y相互独立的_。 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 P(|X|)_。 A.单调增大 B.单调减小 C.保持不变 D.增减不定（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.数列 （分数：4.00）填
3、空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.若 f(x)满足 f(0)=0，f(0)=3，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设(X，Y)的联合密度函数为： （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知方程 x3-6x2+9x-k=0有且只有一个正根，求实数 k的取值范围。（分数：10.00）_16.设有抛物线 L：y=a-bx 2，试确定常数 a，b 的值，使得()L 与直线 y=x+1相切；()L 与 x轴所围图形绕 y轴旋转所
4、得旋转体的体积最大。（分数：10.00）_17.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 ，证明在(0，1)内至少存在一点 ，使 （分数：10.00）_18.设 f(x)在区间-a，a上可积， ()证明： ； ()计算： （分数：10.00）_19.设 y=y(x)在0，+可导，在 x(0，+)处的增量 y=y(x+x)-y(x)满足 y(1+y)= （分数：10.00）_20.已知向量 （分数：10.00）_21.设 3阶实对称矩阵 A满足 A2+2A=0，且 R(A)=2，()求 A的全部特征值；()m 为何值时，mE+A 为正定矩阵。（分数：10.00）_22.第一只盒子装有 5个红球 4
5、个白球，第二只盒子装有 4个红球 5个白球。先从第一只盒子中任取 2个球放入第二只盒子中，再从第二只盒子中任取一个球，求： ()从第一只盒子中取到 2个红球的概率； ()在第一只盒子中取到 2个红球的条件下，从第二只盒子中取到白球的概率； ()从第二只盒子中取到白球的概率。（分数：10.00）_23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度函数为 （分数：14.00）_农学硕士联考数学-14 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)在 x=0处连续，下列命题错误的是_。 A若 存在，则
6、f(0)=0 B若 存在，则 f(0)=0 C若 存在，则 f(0)存在 D若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *存在，不能说明*存在，即不能说明 f(0)存在，选 D。2.设函数 f(x)在区间-1，1上连续，则 x=0是函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *，所以 x=0是函数 F(x)的可去间断点，选 B。3.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由极限的保号性知，存在点 a的某一去心邻域，在该邻域内*，当 xa 时，f(x)f(a)；当 xa 时，f(x)f(a)，故 f(x)在点 a处不取得极值。 *，所以 f(x)在点 a处不可导，选
7、 C。4.设函数 f(x)连续，则下列函数中一定为偶函数的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 tf(t)+f(-t)是奇函数，所以*是偶函数，选 D。5.设矩阵 A满足 A2+A-4E=0，其中 E为单位矩阵，则 A-E的逆阵为_。AA-2EBA+2EC (A-2E)D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 (A-E)(A+2E)=2E；所以|A-E|0，即 A-E可逆。(A-E)-1=*(A+2E)。6. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 R(A)=1。7.设 X，Y 均服从正态分布，则协方差 Cov(X，Y)=0 是 X与
8、Y相互独立的_。 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 二维正态分布的特点。8.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 P(|X|)_。 A.单调增大 B.单调减小 C.保持不变 D.增减不定（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 P(|X-|)=*=2(1)=1，=0。选 C。二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.数列 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 设*得驻点 x=e，当 xe 时，f(x)0，f(x)单调增加，故 ne 时，*递增，*最大，
9、当 xe 时，f(x)0，f(x)单调减少，故 ne 时，*递减，*最大，又*，故数列*的最大项为*。10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 *。11.若 f(x)满足 f(0)=0，f(0)=3，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 当 x0 时，sinx=x，1-cosx=*x 2于是*。12.交换积分次序 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 积分*对应的积分区域 D1=(x，y)|0y1，0xy 2=(x，y)|0x1，*y1，积分*对应的积分区域 D2=(x，y)|1y2，*从而 D=D1D 2=x，
10、y|0x1，*y1+*。于是，交换积分次序，得*。13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由 XA+E=A2-X得 X(A+E)=A2-E。因为|A+E|0，则 A+E可逆。于是 X=(A2-E)(A+E)-1=A-E=*。14.设(X，Y)的联合密度函数为： （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：E(XY)=4/15。）解析：解析 由*，得 A=24； *。三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.已知方程 x3-6x2+9x-k=0有且只有一个正根，求实数 k的取值范围。（分数：10.00）_正确答案：(设函数 f(x)=x3-6x2+
11、9x，f(x)=3x 2-12x+9=3(x2-4x+3)=3(x-1)(x-3)，函数 f(x)有两个驻点 x1=1与 x2=3。由 f“(x)=6x-12，得 f“(1)0，f“(3)0，因此，f(1)=4 为 f(x)的极大值，f(3)=0 为 f(x)的极小值。又，f(0)=0，*，从而f(x)的图像如图：*不难看出，当 k4 时 f(x)=k有唯一正根，故实数 k的取值范围是(4，+)。)解析：16.设有抛物线 L：y=a-bx 2，试确定常数 a，b 的值，使得()L 与直线 y=x+1相切；()L 与 x轴所围图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积最大。（分数：10.00）_正确答案：
12、(设切点为(x 0，y 0)，y=-2bx，切线斜率 k=-2bx0=1*，代入切线方程，得*。又旋转体体积*，V=2(2a-3a 2)=0，解得 a=0或者*，V“=2(2-6a)，V“(0)=40，*，故*时，体积 V最大，求得*，所以*。)解析：17.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 ，证明在(0，1)内至少存在一点 ，使 （分数：10.00）_正确答案：(作辅助函数 (x)=xf(x)， 根据积分中值定理，由*得到 f(1)-2*cf(c)=0 即 f(1)=cf(c) 显然，(x)在c，1上连续，在(c，1)内可导，且 (c)=(1)，(x)满足罗尔定理， 所以，在(c，1)*
13、(0，1)内至少有一点 ，使 ()=f()+f()=0。 即*。)解析：18.设 f(x)在区间-a，a上可积， ()证明： ； ()计算： （分数：10.00）_正确答案：()由于* 对*作变换令 x=-t，dx=-dt。 则* * ()利用()的结果 *。)解析：19.设 y=y(x)在0，+可导，在 x(0，+)处的增量 y=y(x+x)-y(x)满足 y(1+y)= （分数：10.00）_正确答案：(将等式 y(1+y)=*两边除以 x，并令 x0，注意到*。 得* 这是一阶线性非齐次微分方程的初值问题，其通解 *。 由 y(0)=1得 c=1，所以 y=(1+x)ln(1+x)+1。
14、)解析：20.已知向量 （分数：10.00）_正确答案：(*()a=-1，b0 时， 不能由 1， 2， 3， 4线性表示；()a-1， 能由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式唯一；()a=-1，b=0 时， 能由 1， 2， 3， 4线性表示，且表示式不唯一。此时，*上述矩阵对应的非齐次线性方程组为*取特解*，与上述非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组为*该齐次线性方程组的一个基础解系为*则*故 =(-2k 1+k2) 1+(k1-2k2+1) 2+k1 3+k2 4(k1，k 2R)。)解析：21.设 3阶实对称矩阵 A满足 A2+2A=0，且 R(A)=2，()求 A的全部特征值；
15、()m 为何值时，mE+A 为正定矩阵。（分数：10.00）_正确答案：()设 为 A的特征值， 是与 对应的特征向量，则 A=由 A2+2A=0得( 2+2)=0，由 0 得，( 2+2)=0，则有 =-2 或 =0 由 R(A)=2知，A 的三个特征值为 1=0， 2= 3=-2。()mE+A 的特征值为 m，m-2，则当 m2 时，mE+A 为正定矩阵。)解析：22.第一只盒子装有 5个红球 4个白球，第二只盒子装有 4个红球 5个白球。先从第一只盒子中任取 2个球放入第二只盒子中，再从第二只盒子中任取一个球，求： ()从第一只盒子中取到 2个红球的概率； ()在第一只盒子中取到 2个红球的条件下，从第二只盒子中取到白球的概率； ()从第二只盒子中取到白球的概率。（分数：10.00）_正确答案：(设 A1表示从第一只盒子中取到两只红球，A 2表示从第一只盒子中取到一只红球一只白球，A 3表示从第一只盒子中取到两只白球，B 表示从第二只盒子中取到白球，()*()*()由全概率公式得*。)解析：23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度函数为 （分数：14.00）_正确答案：(矩估计 * 由矩估计法得：* 最大似然估计： 极大似然函数：* 由*。)解析：
