1、考研数学一-117 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 k= (x2+f(xy)d，其中 f 为连续的奇函数，D 是由 y=x3，x=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k等于_A0 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 I1= （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f 有连续导数，I= （分数：4.00）A.B.C.D.4.A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则_（分数：4.00）A.A 不可逆，E-A 也不可逆B.A 可逆，E+A 也可逆C.A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆D.A 不可逆，且 A2必为 05.设
2、X1，X 2，X n，是取自总体 N(， 2)的样本，若 C(Xi+1-Xi)2是 2的无偏估计量，则C=_（分数：4.00）A.B.C.D.6.若 =+，则级数 _（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 A=(aij)nn，B=(b ij)nn，且有关系 bij=aij+ （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 PX=k= （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.已知 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满足 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)是连续函数，则
3、 （分数：4.00）填空项 1:_12. _，其中 为曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求（分数：9.00）_16.设 f“(x)0，f(0)=0证明对任何 x10，x 20，有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)（分数：9.00）_17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)且 f(0)=0，g(0)=2求
4、（分数：11.00）_18.设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其中起点为(a，b)，终点为(a，d)记：（分数：11.00）_19.设：z=f(2x-y，ysinx)，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_20.设有三维列向量： 以及 = （分数：11.00）_21.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值，且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，2，1) T求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)在区域
5、D：0x1，|y|=x 内服从均匀分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z)（分数：11.00）_23.设总体 X 的分布律为：P(X=k)=(1-p) k-1p，k=1，2，其中 p 为未知参数，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的样本，试求 p 的矩估计和极大似然估计（分数：11.00）_考研数学一-117 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 k= (x2+f(xy)d，其中 f 为连续的奇函数，D 是由 y=x3，x=1，y=1 所围成的平面闭域，则 k等于_A0 （分数：4.00）
6、A.B. C.D.解析：考点提示 二重积分解题分析 加曲线 y=x3，将 D 分为两部分，再积分*如图所示，加一条曲线 y=-x3，将 D 分为 D1和 D2，则*而*因为 f 为奇函数，所以 f(-xy)=-f(xy)，而 D1，D 2分别对称 y 轴和 x 轴，故有*从而原积分*2.设 I1= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 不定积分的证明解题分析*设 u=xex，则上式=*3.设 f 有连续导数，I= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 三重积分解题分析 由高斯公式*， 是由所围立体故*4.A 是 n 阶矩阵，且 A3=0，则_（分数：4.00）A.A
7、 不可逆，E-A 也不可逆B.A 可逆，E+A 也可逆C.A2-A+E 与 A2+A+E 均可逆 D.A 不可逆，且 A2必为 0解析：考点提示 可逆矩阵解题分析 由|A 3|=|A|3=0，知 A 不可逆，而(E-A)(E+A+A2)=E-A3，(E+A)(E-A+A 2)=E+A3，可知，E-A，E+A，E+A+A 2，E-A+A 2均可逆当 A3=0 时，A 2是否为 0 是不能确定的例如：*，有*故选 C5.设 X1，X 2，X n，是取自总体 N(， 2)的样本，若 C(Xi+1-Xi)2是 2的无偏估计量，则C=_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 无偏估计量的计算
8、解题分析*故*6.若 =+，则级数 _（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 级数的敛散性解题分析*故*7.已知 A=(aij)nn，B=(b ij)nn，且有关系 bij=aij+ （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 矩阵运算解题分析 由关系式 bij=aij+*(i，j=1，2，n)，分析如下：由关系*得 B=A+BA从而得 B=(E+B)A8.设 PX=k= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 随机变量的计算解题分析 对一切 k，PX=k0，且*(x=k)=1，故 c0，0，选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00
9、）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 复合函数求导数解题分析 由参数式求导公式得*再对 x 求导，由复合函数求导法，得*10.已知 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满足 f(1)=0 的特解，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 定积分解题分析 因为*将 xf(x)-f(x)=*及 f(1)=0 代入，得*即*故*11.设 f(x)是连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：考点提示 利用洛必达法则求极限解题分析 用洛必达法则，得*12. _，其中 为曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：336）
10、解析：考点提示 三重积分解题分析 旋转曲面的方程为 2z=x2+y2，用先二后一法求解得*13.设矩阵 A= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 矩阵的初等变换解题分析*求其逆矩阵有多种方法，可用伴随法，可用初等行变换法，也可用分块法如果对(A-2E:E)作行变换，有*从而知*对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有这样的规律：主对换副变号即*那么再利用*，本题亦可很容易求出(A-2E) -114.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4）解析：考点提示 随机变量的正态分
11、布解题分析 设事件 A 表示“二次方程 y2+4y+X=0 无实根”，则A=16-4X0=X4依题意，有 P(A)=PX4=*，而 PX4=1-PX4=1-*即*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求（分数：9.00）_正确答案：(此函数属 1 型由于)解析：考点提示 求函数的极限16.设 f“(x)0，f(0)=0证明对任何 x10，x 20，有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)（分数：9.00）_正确答案：(证法 1 用拉格朗日中值定理，不妨设 x2x 10，要证的不等式是f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)在0，x 1上用中值定理，有f(x1)=f(0)=f()x
12、 1，0x 1在x 1，x 1+x2上用中值定理，又有f(x1+x2)-f(x2)=f()x 1，x 2x 1+x2由 f“(x)0，f(x)单调减，而 x 1x 2，有 f()f()由此f(x1+x2)-f(x2)f(x 1)-f(0)=f(x1)证法 2 用函数不等式来证明要证f(x1+x)f(x 1)+f(x)，x0，令 (x)=f(x 1)+f(x)-f(x1+x)，则 (x)=f(x)-f(x 1+x)由 f“(x)0，f(x)单调减，f(x)f(x 1+x)，(x)0，由此，(x)(0)=f(x 1)+f(0)-f(x1)=0(x0)改 x 为 x2即得证)解析：考点提示 微分中值
13、定理的应用17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)且 f(0)=0，g(0)=2求 （分数：11.00）_正确答案：(由 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，得 f“(x)=2ex-f(x)于是有解方程得 f(x)=sinx-cosx+e x又)解析：考点提示 定积分计算18.设函数 f(x)在(-，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其中起点为(a，b)，终点为(a，d)记：（分数：11.00）_正确答案：(1) 将 I 表示为 I= Pdx+Qdy因上半平面 y0 是单连通区域，又即 (y0)所以积
14、分 I 在 y0 与路径无关(2) 由于 I 与路径无关，取特殊的一条积分路径，即由(a，b)到(c，b)再到(c，d)的折线段，得又 ab=cd，故 I= )解析：考点提示 曲线积分19.设：z=f(2x-y，ysinx)，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：10.00）_正确答案：(令 u=2x-y，v=ysinx，则z=f(u，v)，)解析：考点提示 求偏导数20.设有三维列向量： 以及 = （分数：11.00）_正确答案：(向量 是否可以由 1， 2， 3线性表示相当于方程组 Ax= 是否有解，其中A= 1， 2， 3因此本题实际上是线性方程组解的判定问题设 =x 1 1+x2
15、 2+x3 3，则其增广矩阵为可见：(1) 若 0 且 -3，方程组有唯一解， 可由 1， 2， 3唯一线性表示；(2) 若 =0，则方程组有无穷多解， 可由 1， 2， 3线性表示，但表达式不唯一；(3) 若 =-3，则)解析：考点提示 向量的线性表示21.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值，且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，2，1) T求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A（分数：11.00）_正确答案：(这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵 A 的问题关键在于利用已知条件中 A 为实对称矩阵，而实对称矩阵属于不
16、同特征值的特征向量正交，依此即可求解设 A 对应于 1=6 的特征向量 1=(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有( ， 2)=( ， 3)=0，即解得 x1=x2=x3，取 1=(1，1，1) T，即是矩阵 A 属于 =6 的特征向量进一步，由 A( 1， 2， 3)=( 1 1， 2 2， 3 3)，得所以)解析：考点提示 矩阵特征值和特征向量的逆问题22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均匀分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z)（分数：11.00）_正确答案：(X，Y)的联合密度为 f(x，y)=且 SD=1，S D是区域 D 的面积因此)解析：考点提示 随机变量的联合密度23.设总体 X 的分布律为：P(X=k)=(1-p) k-1p，k=1，2，其中 p 为未知参数，X 1，X 2，X n为取自总体 X 的样本，试求 p 的矩估计和极大似然估计（分数：11.00）_正确答案：(1) 求矩估计因为于是令 故 p 的矩估计为(2) 求极大似然估计似然函数为L(x1，x n；p)=P(X=x 1)P(X=xn)令 =0，得 p 的极大似然估计为)解析：考点提示 极大似然估计以及似然函数
