1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 117 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解，则（分数：2.00）A.A * 0 的解均是 A0 的解B.A0 的解均是 A * 0 的解C.A0 与 A * 0 无非零公共解D.A0 与 A * 0 仅有两个非零公共解3.设 n 阶矩阵 A 的行列式Aa0(n2)， 是 A 的一个特征值，A * 为 A 的伴随矩阵，则 A * 的
2、伴随矩阵(A * ) * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 a n-1 B. -1 a n-2 C.a n-2 D.a n-1 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)4.设 mn 矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_5.已知口是齐次方程组 A0 的基础解系，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_6.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_7.已知 1 (3，2，0) T ， 2 (1，0，2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 1 (1，3，2) T ， 2 (2，1，3) T 是 A0 的基础解系，又 B0 和 A0 是同解方程组，已知 (2，a
3、，b) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，2，1，那么(A2E) 2 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 n 阶矩阵 A 满足条件 AA T 4E，A 的行列式A0，但2EA0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 3A 3 3A 2 2A0，则矩阵 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，
4、若有正交矩阵 P 使得 P -1 AP ，且 1 ， 2 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.解方程组 （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 )，线性方程组 A 的通解是(1，2，0) T k(2，1，1) T ，若 B( 1 ， 2 ， 3 ，5 3 )，求方程组 By 3 的通解（分数：2.00）_18.已知齐次线件方程组同解，求 a，b，c 之值并求它们的通解 （分数：2.00）_19.设 A 是 mn 矩阵，B 是 n
5、s 矩阵，秩 r(A)n，证明齐次方程组 AB0 与 B0 同解（分数：2.00）_20.设 A 是 mn 矩阵，如果齐次方程组 A0 的解全是方程 b 1 1 b 2 2 b n n 0 的解，证明向量 (b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量线性表出（分数：2.00）_21.证明 n 元非齐次线性方程组 Ab 有解的充分必要条件是 A T 0 的解全是 b T 0 的解（分数：2.00）_22.已知齐次线性方程组有非零公共解，求 a 的值及其所有公其解 （分数：2.00）_23.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 3A2A 2 ，试求
6、矩阵 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_24.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3 维线性无关的列向量，其中 1 是齐次方程组 A0 的解，又知 A 2 1 2 2 ，A 3 1 3 2 2 3 ()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()判断 A 是否和对角矩阵相似并说明理由； ()求秩 r(AE)（分数：2.00）_25.已知矩阵 A （分数：2.00）_26.已知矩阵 A 和 B （分数：2.00）_27.设 A ，向量 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 117 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00
7、)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解，则（分数：2.00）A.A * 0 的解均是 A0 的解B.A0 的解均是 A * 0 的解 C.A0 与 A * 0 无非零公共解D.A0 与 A * 0 仅有两个非零公共解解析：解析：因为齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解向量，所以方程组 A0 的基础解系中解向量个数 nr(A)2，即 r(A)n2，由此得知 A * 0任意 n 维列向量均是方程组 A * 0 的解因此，方程组 A0 的解均是 A
8、* 0 的解，选项 B 正确选项 A 显然不对 对于选项 C，D，由于方程组 A0 的基础解系至少含有两个解向量，故 A0 有无穷多个非零解与 A * 0 的公共解也是有无穷多个非零解显然选项 C，D 不正确，故应选 B3.设 n 阶矩阵 A 的行列式Aa0(n2)， 是 A 的一个特征值，A * 为 A 的伴随矩阵，则 A * 的伴随矩阵(A * ) * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 a n-1 B. -1 a n-2 C.a n-2 D.a n-1 解析：解析：由 AA * AE 得 A * AA -1 对 A * 应用此式，得 (A * ) * A * (A * ) -1
9、AA -1 (AA -1 ) -1 A n .A -1 (A -1 A)A n-2 Aa n-2 A 于是，由 是 A 的一个特征值知，a n-1 是(A * ) * 的一个特征值，故选 C二、填空题(总题数：10，分数：20.00)4.设 mn 矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n1）解析：解析：对矩阵 A 作初等变换，由于 a i 0(i1，2，m)，b j 0(j1，2，n)，可得 5.已知口是齐次方程组 A0 的基础解系，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 A 是 43 矩阵，基础解系中仅一个解向量，故 3
10、r(A)1，即 r(A)26.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3，1，0) T k(5，2，1) T ，k 为任意实数）解析：解析：对增广矩阵作初等行变换，有 若 a3，则 r(A)2，r( 7.已知 1 (3，2，0) T ， 2 (1，0，2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：要搞清解的结构就应当知道秩 r(A)因为方程组有解且不唯一，故 r(A)3又因矩阵 A 中有 2 阶子式 0，因此 r(A)2那么，导出组的基础解系由 nr(A)1 个解向量所构成 从而 1 2 (2，2，2) T 是 A0
11、的解，也即 A0 的基础解系 所以，方程组的通解是 8.设 1 (1，3，2) T ， 2 (2，1，3) T 是 A0 的基础解系，又 B0 和 A0 是同解方程组，已知 (2，a，b) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，6，8) T）解析：解析：因 是 的解，故 应满足 1 2 2 3 2，代入 得 22ab2，2ab4 (2，0，2a4) T 又 A0 和 B0 是同解方程组，满足 B0，即满足 A0， 应可由 A0 的基础解系线性表出，即方程组 1 1 2 2 有解 9.设 A 是 3 阶矩阵，其特征值是 1，2，1，那么(A2E) 2 的特征
12、值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9，16，1）解析：解析：设矩阵 A 属于特征值 i 的特征向量是 i ，那么 (A2E) i A i 2 i ( i 2) i ， (A2E) 2 i (A2E)( i 2) i ( i 2)(A2E) i ( i 2) 2 i 由于 i O，故 i 是矩阵(A2E) 2 属于特征值( i 2) 2 的特征向量，即矩阵(A2E) 2 的特征值是 9，16，110.设 n 阶矩阵 A 满足条件 AA T 4E，A 的行列式A0，但2EA0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值是 1（分数：2.00
13、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 n-1）解析：解析：因A0，故 A 是可逆矩阵而由A T A及 AA T 4E 得A 2 AA T 4E4 n ，从而A2 n ；又因A0，故A2 n 由2EAA(2)E0，知2 是 A 的一个特征值因为 A * AA -1 ，容易推导，如果 是 A 的特征值，则 是 A * 的特征值，因此，A * 的一个特征值是 11.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，5，5）解析：解析：记 B T ，由于 12.设 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 3A 3 3A 2 2A0，则矩阵 A 的 n 个特征值是 1（
14、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(r 重)，0(nr 重)）解析：解析：设 A 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即AA，0那么，A n n 于是有 (A 4 3A 3 3A 2 2A)( 4 3 3 3 2 2)0 从而 4 3 3 3 2 20，即 (2)( 2 1)0 因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵 A 的特征值只能是 2 或 0又因为实对称矩阵必可相似对角化，故 13.已知 A 是 3 阶实对称矩阵，若有正交矩阵 P 使得 P -1 AP ，且 1 ， 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
15、解析：因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相正交设属于 3 的特征向量 3 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，则 3 (1，0，1) T 由于现在属于 3 的特征向量 1 ， 2 不正交，故应 Schmidt 正交化处理 把 1 ， 2 ， 3 单位化，得 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.解方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 若 a7， b，恒有 r(A)r( )45，方程组有无穷多解，此时 5 是自由变量 A0 的基础解系是：(0， ，0，0，1) T
16、 Ab 的特解是： 5 0， 故方程组的通解是 若 a7，b1，则r(A)2，r( )3，方程组无解 若 a7，b1，则 r(A)r( )25，方程组有无穷多解，此时 3 ， 4 ， 5 是自由变量方程组的通解是： )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 所以方程组化简为 对增广矩阵作初等行变换，有 当a1 时， 可化为 ，方程组有无穷多解： (3， ，0) T k(2a2，1，2) T ，其中后为任意常数 当 a1 时， 可化为 )解析：17.设矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 )，线性方程组 A 的通解是(1，2，0) T k(2，1，1) T ，若 B( 1 ，
17、2 ， 3 ，5 3 )，求方程组 By 3 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组 A 的解的结构，知 ( 1 ， 2 ， 3 ) ，( 1 ， 2 ， 3 ) 0， 即 1 2 2 ，2 1 2 3 0 且 nr(a)1，即r(A)r( 1 ， 2 ， 3 )312那么 r(B)r( 1 ， 2 ， 3 ，5 3 )r( 1 ， 2 ， 3 ， 1 2 2 5 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )2 因此，4 元方程组 By 3 的通解形式为：k 1 1 k 2 2 由 ( 1 ， 2 ， 3 ， 1 2 2 5 3 ) 1 2 2 3 3 ， 知 (1，2，1，0) T
18、是 By 3 的解 又由 B ( 1 ， 2 ， 3 ，5 3 ) 2 1 2 3 0， B ( 1 ， 2 ， 3 ， 1 2 2 5 3 ) )解析：18.已知齐次线件方程组同解，求 a，b，c 之值并求它们的通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设方程组()和()的系数矩阵分别是 A 和 B， a，b，c 恒有 r(A)r(B)2 取 2 ， 4 为自由变量，得到()的基础解系 1 (1，14，0) T ， 2 (a，0，3a，1) T 因为()与()同解，故 1 ， 2 是()的基础解系代入()有 )解析：19.设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，秩 r(A)n，证明
19、齐次方程组 AB0 与 B0 同解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是齐次方程组 B0 的解，则 B0那么 ABA(B)A00，即 是方程组 AB0 的解 若 是齐次方程组 AB0 的解，则 AB0，那么 B 是齐次方程组A0 的解因为秩 r(A)n，所以 A0 只有 0 解故 B0从而 是齐次方程组 B0 的解 因此 AB0 与 B0 同解)解析：20.设 A 是 mn 矩阵，如果齐次方程组 A0 的解全是方程 b 1 1 b 2 2 b n n 0 的解，证明向量 (b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A0 的
20、解全是 b 1 1 b 2 2 b n n 0 的解，所以 A0 与 同解 那么 r(A) )解析：21.证明 n 元非齐次线性方程组 Ab 有解的充分必要条件是 A T 0 的解全是 b T 0 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)因为方程组 Ab 有解，设 是 Ab 的一个解，即 Ab，即 b T (Aa) T T A T 若 是 A T 0 的任一个解，则 A T 0，那么 b T T A T T 00， 即 是 b T 0 的解 (充分性)因为 A T 0 的解全是 b T 0 的解所以 A T 0与 同解 那么 r(A T )r )解析：22.已知齐次线性方程组有
21、非零公共解，求 a 的值及其所有公其解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对()的系数矩阵作初等行变换，得 所以方程组()的基础解系是 1 (1，2，1，0) T ， 2 (4，2，0，1) T 那么，()的通解是 k 1 1 k 2 2 (k 1 4k 2 ，2k 1 2k 2 ，k 1 ，k 2 ) T 将其代入()，有 因为()，()有非零公共解，故 k 1 ，k 2 必不全为 0 因此 )解析：23.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 3A2A 2 ，试求矩阵 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A
22、 3 2A 2 3A0，有 A(A 2 2A3)00(A 2 2A3) 因为 ，A，A 2 线性无关，故必有 A 2 2A30所以 0 是 A 的特征值，而 k 1 (A 2 2A3)(k 1 0)是矩阵 A 属于特征值 0 的特征向量 类似地，A 3 2A 2 3A0，有 (AE)(A 2 3A)00(A 2 3A)， (A3E)(A 2 A)00(A 2 A) 所以，1 是 A 的特征值，而 k 2 (A 2 3A)(k 2 0)是属 1 的特征向量；3 是 A 的特征值，而 k 3 (A 2 A)(k 3 0)是属于 3 的特征向量)解析：24.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ，
23、3 是 3 维线性无关的列向量，其中 1 是齐次方程组 A0 的解，又知 A 2 1 2 2 ，A 3 1 3 2 2 3 ()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()判断 A 是否和对角矩阵相似并说明理由； ()求秩 r(AE)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()据已知条件，有 A( 1 ， 2 ， 3 )(0， 1 2 2 ， 1 3 2 2 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P( 1 ， 2 ， 3 )，B ，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 P 是可逆矩阵于是有 P -1 APB， 从而 A 和 B 相似因为 EB (2) 2 ， 所以矩阵 B 的特征值是 2，2，0，
24、亦即矩阵 A 的特征值是 2，2，0 对应于 1 2 2，解齐次线性方程组(2EB)0 得基础解系 1 (1，2，0) T 如果 ，则(p -1 AP)，有 A(P)(P)，那么( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：25.已知矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA (1)(3) 2 0， 得到矩阵 A 的特征值 1 2 3， 3 1 由矩阵 A 的特征值有重根，而 A 与对角矩阵相似，可知 3 必有 2 个线性无关的特征向量，因而秩 r(3EA)1于是由 得 a3v 对 1 2 3，解齐次线性方程组(3EA)0， 得基础解系： 1 (1，1，0) T ， 2 (1，0，1)
25、T 对 3 1，解齐次线性方程组(EA)0， 得基础解系： 3 (1，3，0) T 令 P( 1 ， 2 ， 3 ) 得 P -1 AP )解析：26.已知矩阵 A 和 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA 2 (1)0，得到矩阵 A 的特征 1 2 0， 3 1 对应 1 2 0，解齐次线性方程组(0EA)0，得基础解系： 1 (2，1，0) T ， 2 (3，0，1) T 对应 3 1，解齐次线性方程组(EA)0，得基础解系： 3 (1，0，0) T 令 P 1 ( 1 ， 2 ， 3 ) 得 P 1 -1 AP 1 EB 2 (1)0， 得到矩阵 B 的特征值： 1 2 0， 3 1 对应于 1 2 0，解齐次线性方程组(OEB)0，得基础解系： 1 (1，1，0) T ， 2 (2，0，1) T 对应 3 1，解齐次线性方程组(EB)0，得基础解系： 3 (2，1，0) T 令 P 2 ( 1 ， 2 ， 3 ) 得 P 2 -1 BP 2 由 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 BP 2 有 P 2 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 P 记 PP 1 P 2 -1 )解析：27.设 A ，向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A -1 0 两边左乘 A 得 0 A，即 由此可得 又因A )解析：
