1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 117 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列各选项中计算过程正确的是( ) 2 设 f(x)= 则下列做法正确的是 ( )（A）当 x0 时，f(x)=2xsin 在 x=0 处无意义，所以 f(x)在 x=0 处不可导（B）因为 不存在，所以 f(x)在 x=0 处不可导（C）（D）3 设 f(x)在点 x=0 处连续，又 ，则( )（A）f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=0（B） f(x)在点 x=0 处可导，但 f(0)0（C） f-(0)与 f(0)均存在，但 f-(0)f+(0)（D）f -(0)
2、与 f+(0)均不存在4 设 f(x)=(x-x0)n(x)(n 为自然数 )，其中 (x)在点 x0 处连续，且 (x0)0，则点 x0( )（A）不是 f(x)的极值点（B）是 f(x)的极小值点（C）是 f(x)的极大值点（D）是否为 f(x)的极值点与 n 有关5 设 f(x)= ，则( )（A）F(x)在点 x=0 处不连续（B） F(x)在点 x=0 处不可导（C） F(x)在点 x=0 处可导，且 F(0)=f(0)（D）F(x)在点 x=0 处可导，但 F(0)f(0)6 在曲线族 y=k(1-x2)(k0)中确定参数 k，使它代表的曲线与它在(-1，0)及(1，0)处的法线围
3、成的面积最小，则 k 等于( )7 已知 f(x，y)= ，则( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在（B） fx(0， 0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0， 0)存在，f y(0，0)不存在（D）f x(0，0)，f y(0，0)都不存在8 在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3 的所有切线中，与直线 垂直的切线( )（A）只有一条（B）有两条（C）至少有三条（D）不存在9 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21，z0，则 (x+y+z)dv=( )（A）（B）（C） （D）210 设三元函数 ，则 div(gradu(1，1，1)=( )11 当x1 时，幂级
4、数 的和函数是( )（A）ln(1-x)（B） -ln(1-x)（C） ln(x-1)（D）-ln(x-1)12 设 y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程 y+Py+Qy=3e2x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则极限 =( )二、填空题13 已知 ，则 a=_，b=_14 当 x时， 与 xln(1+x)是等价无穷小，则 a=_15 设 y=e-x-x3，则其反函数的导数 x(y)=_16 曲线 的渐近线方程为_17 =_.18 =_.19 边长为 am 的等边倒三角形闸门，当水面正好淹没闸门时，闸门上所受水的压力为_(其中水的密度为 )20 设 z=z(x，y)是由方
5、程 (cx-az，cy-bz)=0 确定的隐函数，其中 (u，v) 具有连续偏导数，则 =_.21 =_.22 设 L 为圆周 x2+y2=R2 的逆时针方向，则曲线积分 =_.23 设级数 =_.24 微分方程(4+e x)yy=ex 满足条件 y(0)=1 的特解为_25 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=e4t2+，则 f(t)_26 已知连续函数 f(x)满足 ，则 f(x)=_考研数学一（高等数学）模拟试卷 117 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 错误因为数列对 n 是离散性变量，不可
6、导，所以不能用洛必达法则B 错误因为 型未定式，不能用洛必达法则C 错误对于 型的未定式极限 既不存在，也不为，洛必达法则失效，但洛必达法则求不出来的极限并不意味该极限一定不存在，事实上，故应选 D【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查分段函数在分段点导数的求法利用导数的定义，f(x)在点 x=0 处的导数为故 C 正确【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件讨论 f(x)在点 x=0 处的左、右导数由 f(x)在点 x=0 处连续， =f(0)=0故应选C【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于题设仅给出 (x)在点
7、 x0 处连续，因此不能用极值的充分条件判定点 x0 是否是极(大，小)值点，故只有考虑用极值的定义判定 因为 f(x0)=0，在x0 的某一邻域内， f(x 0+x)-f(x0)=(x)(x0+Ax)，又 (x0)0，不妨设 (x0)0，则由 (x0+x)=(x0)0 与极限的局部保号性，存在 x0 的某一邻域，使得在该邻域内 (x0+x)0 当 n 为偶数时，在 x0 的某去心邻域内，f(x+ x)-f(x0)0，f(x+x)f(x 0)，x 0 是 f(x)的极小值点；当 n 为奇数时，f(x 0+x)-f(x0)的符号不确定，即 x0 不是 f(x)的极值点故应选 D【知识模块】 高等
8、数学5 【正确答案】 B【试题解析】 先求出 F(x)的表达式，再判断 F(x)在点 x=0 的连续性与可导性当x0 时，F(x)= 当 x=0 时，F(0)= 当 x0 时，F-(0)F+(0)，所以 F(x)在点 x=0 处不可导【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=k(1-x2)，所以 y=-2kx，y x=1=-2k曲线在点(1，0) 处的法线斜率为 ，故曲线在点(1，0)处的法线方程为 y= (x-1) 由于函数 y=k(1-x2)的图形及曲线在点(-1，0)，(1 ，0)处的去线关于 y 轴对称，如图 14 所示，取 x 为积分变量，则所围面积为从而当时
9、，面积 A 最小【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x，0)=，即 fx(0，0)存在而 f(0， y)= =ey 记 g(y)=ey ，因为所以 g(y)在 y=0 点处不可导，即 fy(0， 0)不存在故应选 C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 设 t=t0 时，对应曲线上点的切线与直线垂直，则曲线在该点的切线的方向向量为 s=(x(t) ，y(t)，z(t) t=t0=(1，-2t 0， 3t02)，而已知直线的方向向量为 s1=(1，2，1)，由已知条件 ss1，所以 s.s1=1-4t0+3t02=0，解得 t0=1 或 t0= 故
10、满足题设条件的切线有两条【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 由于积分区域 关于 yOz 面、xOz 面对称，而被积函数 x，y 分别关于 x，y 为奇函数，所以【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个散度与梯度的综合计算问题因为 ，所以 对于本题，由于 中的x，y，z 具有轮换对称性，类似地，有所以 div(grad u(1，1，1)=【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 (利用“先导后积”法) 令 s(x)= (x1)，则 s(0)=0，逐项求导得 等式两边从 0 到 x 积分，得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【
11、试题解析】 在微分方程 y+By+Qy=3e2x 中，取 x=0 得 y(0)+Py(0)+Qy(0)=3，由 y(0)=y(0)=0，得 y(0)=3【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 1，1【试题解析】 因为 ，所以 y=ax-b 是曲线 的斜渐近线由斜渐近线的计算公式有所以 a=1，b=1【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 -4【试题解析】 因为当 x0 时，与 xln(1+x)是等价无穷小，所以 故 a=-4【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 因为 =-e-x-3x2，由反函数导数与函数导数之间的关系有【知识模块】 高等数学16 【正确答案】
12、x=1，y=x+1【试题解析】 要考虑水平、铅直(垂直)、斜渐近线因为 ，所以无水平渐近线因为 所以y=ax+b，即 y=x+1 是曲线的斜渐近线因为所以 x=1 是曲线的铅直渐近线【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 令 x2=t，则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 这是一个液体(水)的静压力问题，主要考查定积分在物理上的应用建立如图 42 所示的坐标系，则直线 AB 的方程为 取 x 为积分变量，x 上的任一小区间x，x+dx 的一薄片的高度为 dx，其上所受水的压力微元为 于是闸门上所受水的压
13、力为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 c【试题解析】 这是一个三元方程所确定的二元隐函数的变形问题方程 (cx-az，cy-bz)=0 两边求全微分，得 1.(cdx-adz)+2.(cdy-bdz)=0，所以由全微分形式不变性，得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 本题无论是用直角坐标还是用极坐标计算都将面临较大的困难，可考虑用特殊方法 利用轮换对称性，得由于积分区域 x2+y21关于 x 轴、y 轴对称，而 2sinx，3y 分别关于 x，y 为奇函数，所以【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 由于积分曲线 L 为 x2+y2=R2，故可先代入
14、，再用格林公式于是【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 -1【试题解析】 这是一个关于级数条件收敛、级数的敛散性的定义以及求极限的综合问题，找到它们之间的联系是本题的关键因为级数 条件收敛，由级数收敛的定义知，其部分和数列的极限于是，所求极限【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 y 2=2ln(4+ex)+1-2ln 5【试题解析】 这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得 等式两边积分，得 即 y2=ln(4+ex)+C，由 y(0)=1，得 C= -ln 5，故微分方程的特解为 y2=2ln(4+ex)+1-2ln5【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (4t 2+1)e4t2
15、【试题解析】 这是一个已知函数方程求函数问题应先将二重积分化为积分上限函数， 则原方程化为 等式两边求导，得 f(t)=8te4t2+8tf(t)，即 f(t)-8tf(t)=8te 4t2，这是一阶线性微分方程，其通解为 f(t)=e-8tdt(8te4tve-8tdtdt+C)=e4t2(4t2+C)，由题设条件知 f(0)=1，代入上式得C=1，故 f(t)=(4t2+1)e4t2【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【试题解析】 可以转化为如下形式：代入原方程，得 由 f(x)连续可知，上式中各个积分上限函数均可导，将方程两边对 x 求导，得 f(x)=1+cosx+ +xf(x)
16、-xf(x)即 f(x)=1+cosx+ 取 x=0，得 f(0)=2上式两边对 x 求导，得 f(x)=-sinx+f(x)即 这是一个一阶线性微分方程的初值问题，可以利用一阶线性微分方程通解公式求解，也可以用下面的简便方法求解 将方程 f(x)-f(x)=-sinz 两边乘以 e-x，得 f(x)e -x=-e-xsinx，等式两边积分，得 f(x)e-x=-e-xsinxdx;因为e -xsinxdx=-sinxde-x=-sinxe-x+e-xcosxdx =-sinxe-x-cosxde-x =-sinxe-x-cosxe-x-e-xsinxdx所以e -xsinxdx= e-x(sinx+cosx)-C，故 f(x)e -x= e-x(sinx+cosx)+C，从而 f(x)= (sinx+cosx)+Cex，由 f(0)-2，得C= (sinx+cosx)【知识模块】 高等数学
