1、考研数学一-124 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 D 是由直线 x=-1，y=1 与曲线 y=x3围成的平面区域，D 1是 D 在第一象限的部分，则 等于（分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量 X、Y 独立同分布于 N(0，1)，则（分数：4.00）A.B.C.D.3.空间曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 XN(， 2)(0)，从总体 X 抽取样本 X1，X n，样本均值为 ，样本方差为 S2，则（分数：4.00）A.B.C.D.5.设由平面图形 axb，0yf(x)绕 x 轴旋转一周所成的立体
2、的密度为 1，其中 f 连续，则立体 对 x 轴的转动惯量为（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列命题正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)为有界函数，且 lim (x)f(x)=0，则 lim (x)=0B.设 (x)为无穷小量，且C.设 (x)为无穷大量，且 lim (x)(x)=a，则 lim (x)=0D.设 (x)为无界函数，且 lim f(x)(x)=0，则 lim f(x)=07.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4是非齐次方程组 Ax=b 的互不相同的解，则 Ax=0的基础解系（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性
3、无关解向量D.含有三个线性无关解向量8.已知 n 阶矩阵 A 合同于对角矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 ，则矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a
4、，b)内可导，且|f“(x)|1，求证：若 f(a)=f(b)=0，则 （分数：10.00）_16.求曲线积分 （分数：10.00）_17.设对任意的 x 和 y，有 ，用变量代换 ，将 f(x，y)变换成 g(u，)，试求满足 （分数：10.00）_18.求第一卦限中过定点(a，b，c)的平面，使之与三坐标面所围成的四面体体积最小（分数：10.00）_19.设 f(x)的一个原函数为 e-x2，求x 3f(x)dx（分数：10.00）_20.计算 n 阶行列式（分数：11.00）_21.某企业对其职工进行脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30%参加培训，而参加培训的职工中有 60%的人结业
5、回岗，假设现有职工 800 人，参加培训是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少(假设职工总人数不变)?（分数：11.00）_22.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：11.00）_23.设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_考研数学一-124 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 D 是由直线 x=-1，y=1 与曲线 y=x3围成的平面区域，D 1是 D 在第一象限的部分，则 等于（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 本题中的积分区域 D 关于坐标轴不对称，但添加辅助线可以将区域 D 分割
6、成分别关于 x 轴或 y 轴对称的四个区域作曲线 y=-x3，x0，则 D 被分割成 D1，D 2，D 3，D 4四个小区域，其中 D1与 D2关于 y 轴对称，D 4与 D4关于 x 轴对称(如图)，从而*又利用函数 xy 关于 x 或 y 都是奇函数就有*类似利用函数 cosxsiny 关于 x 是偶函数，关于 y 是奇函数又有*故选(B)2.设随机变量 X、Y 独立同分布于 N(0，1)，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 min(X，Y)0*X0 且 Y0详解 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0*(D)为答案评注 当 X，Y 相互独立时，X+YN(0，2)，X-YN(0，
7、2)，所以 P(X+Y0)=P(X-Y0)=*容易算出Pmin(X，Y)0=*，也可得到(D)为答案3.空间曲线 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 关键需求出曲线在点(1，-2，1)处切线的方向向量又直线平行某平面的充要条件是直线的方向向量与该平面的法线向量的数量积等于 0详解 空间曲线可视为 ：*其在各点的切线的方向向量为1，y(x)，z(x)在方程组*两边对 x 求导数，得*把 x-1，y=-2，z=1 代入解得 y(1)=0，z(1)=-1所以在已知点处切线的方向向量 S=1，y(1)，z(1)=1，0，-1，它和 zOx 平面的法向量 n=0，1，0垂直，即切线和 zOx
8、 平面平行，故选(C)评注 本题综合考查了隐函数求导与空间解析几何的知识4.设 XN(， 2)(0)，从总体 X 抽取样本 X1，X n，样本均值为 ，样本方差为 S2，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 注意样本方差*是总体方差 DX= 2的无偏估计，即 ES2= 2详解 因为 E(*)=E(X)=，E(S 2)=DX= 2，所以 *故选(C)评注 对于抽样分布*，S 2的数字特征：*，ES 2=DX应作为公式加以记忆5.设由平面图形 axb，0yf(x)绕 x 轴旋转一周所成的立体 的密度为 1，其中 f 连续，则立体 对 x 轴的转动惯量为（分数：4.00）A.B.C.D.
9、 解析：分析 根据转动惯量的定义，所求转动惯量*又 为旋转体，利用“先二后一”计算三重积分*即可详解 所求转动惯量*作垂直于 x 轴的平面与 相交，得截面 Dx为*所以，*故选(D)评注 该题主要考查转动惯量的定义及三重积分的计算技巧对于积分区域为旋?转体的三重积分，利用“先二后一”的方法，往往可以简化计算6.下列命题正确的是（分数：4.00）A.设 f(x)为有界函数，且 lim (x)f(x)=0，则 lim (x)=0B.设 (x)为无穷小量，且C.设 (x)为无穷大量，且 lim (x)(x)=a，则 lim (x)=0 D.设 (x)为无界函数，且 lim f(x)(x)=0，则 l
10、im f(x)=0解析：分析 举反例排除不正确答案即可详解 对于(A)与(D)可以举反例；(B)显然也不对例如：*则 *(x)f(x)=0，但 (x)不是无穷小量(x)例如：*当 x时，(x)为无界函数，而 f(x)的极限不存在，可是*(x)f(x)=0故选(C)评注 (C)可用反证法证明：lim(x)=k0，则 lim(x)(x)=与题设矛盾7.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4是非齐次方程组 Ax=b 的互不相同的解，则 Ax=0的基础解系（分数：4.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关解向量D.含有三个线性无关解向量解析：分析 *详解
11、 设 S=齐次方程线性无关解向量个数因为 A*O，r(A *)1因为 1， 2， 3， 4是 Ax=b 的互不相同的解，所以 Ax=b 的解不唯一，所以 r(A)n-1由*由 r(A*)1 及 r(A)n-1 知 r(A)=n-1，S=n-r(A)=n-(n-1)=1，(B)为答案评注 A *和 A 的各种关系式非常重要：*2AA*=A*A=|A|E3|A*|=|A|n-18.已知 n 阶矩阵 A 合同于对角矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 根据合同的定义可推导出 A 为对称矩阵详解 两个矩阵合同不一定相似，因此 1， 2， n不一定是 A 的特征值，排除(A)；又 i(i
12、=1，2，n)是否为正、或不为零不确定，所以也不能断定 A 为正定矩阵，或 A 的秩为 n，排除(B)、(D)故选(C)事实上，由于 A 与 A 合同，于是存在可逆矩阵 P使 PTAP=A，从而 A=(PT)-1AP-1，故有 AT=(PT)-1AP-1T=(P-1)TAT(PT)-1)T=(PT)-1AP-1=A评注 两个对称矩阵 A、B 相似，则 A、B 均合同于同一对角矩阵(A、B 的特征值为对角线元素)，从而A、B 一定合同二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 本题实质上是求无穷级数*的和，其部分和数列*从而可求出
13、其极限详解 由 1+2+n=*n(n+1)，知*故原极限=*评注 对于无穷级数*，若一般项 un可写在形式*的情形均可考虑部分和数列 Sn求极限方法得无穷级数的和10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xe sinx-esinxsecx+C）解析：分析 可分解为两项，分别用分部积分即可详解 *评注 不定积分e sinxdx 无法直接求出，但通过分解为两项分别积分后得以相消，这是求不定积分常用的处理技巧11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析 f(u)是一元函数，复合后得到的*为二元函数，应用复合函数求导公式求出 zx，z y，就可算出结果详解 *12
14、.方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：详解 设*则*，*，由零点存在定理 F(x)=0 至少有一个根*当 x(-，+)时，*(等号仅当 x=0 时成立)，又 0*1，-1sinx1，所以有-1*sinx1，注意到 F(0)=10，因此，F(x)0，从而有 F(x)在(-，+)严格单调递增，由此，F(x)=0最多有一个实根综合上述，F(x)=0 在(-，+)上有且仅有一个实根评注 讨论 F(x)=0 的根的个数时，一般从下面两方面考虑：(1)F(x)在什么区间上满足零点存在定理；(2)F(x)在该区间上的单调性13.已知 ，则矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正
15、确答案：2）解析：分析 注意到 A 与 B 有关系：A=2E-B详解 矩阵 A 和 B 除主对角元素之外，其余元素均差一负号，故 A 和 B 有关系*其中 =2，且|A|=0，从而|A|=|2E-B|=0，故 B 有特征值 =2评注 本题不应由|A|=0，先求出 a，b，再求 B 的特征值，而是根据|2E-B|=0，由定义直接得 B 有特征值 =2应注意将已知条件改写为特征值的两个等价定义形式之一：Bx=x，x0 或|E-B|=014.X，Y 相互独立，同服从 U(0，2)，即(0，2)上的均匀分布，Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解
16、析：分析 P(0Z1)=P(Z1)-P(Z0)=Pmin(X，Y)1-Pmin(X，Y)0而 Pmin(X，Y)Z 0=1-Pmin(X，Y)Z 0=1-PXZ 0，YZ 0详解 因为 PX0=PY0=1，PX1=PY1=*于是 P0Z1=PZ1-P(Z0=Pmin(X，Y)1-Pmin(X，Y)0=1-Pmin(X，Y)1-1-Pmin(X，Y)0=Pmin(X，Y0-Pmin(X，Y)1=PX0，Y0-PX1，Y1=PX0PY0-PX1PY1*评注 极值分布的概率是常考问题，应学会如何将极值符号 min 或 max 去掉，转化为利用已知分布求概率的情形三、解答题(总题数：9，分数：94.0
17、0)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且|f“(x)|1，求证：若 f(a)=f(b)=0，则 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由已知条件可得|f(x)|在a，b上连续，故存在 x0a，b，使 由于|f“(x)|1，f(x)不是常数，又 f(a)=f(b)=0，故存在 x0(a，b)，且 f(x0)=0由泰勒公式，( 在 x 与 x0之间)得 故 )解析：分析 题设 f“(x)满足一定条件，自然联想到用二阶泰勒公式评注 利用泰勒公式时，关键问题是在哪一点 x0处展开，x 0一般可考虑为a，b区间的左、右端点，区间中点*，以及 f(x0)已知的点 x0或隐含一阶导数
18、f(x0)是已知的点，如极值点、最值点本题即为隐含一阶导数 f(x0)=0 的最值点16.求曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由于 则 )解析：分析 添加线段*，使之构成封闭曲线，用格林公式，使在添加线段上的积分化为定积分计算即可评注 本题是最典型，也是最基础的第二类曲线积分计算问题应注意封闭曲线是否取正向?在添加线段上积分时，应注意起点与终点和参数的取值是否对应一致?17.设对任意的 x 和 y，有 ，用变量代换 ，将 f(x，y)变换成 g(u，)，试求满足 （分数：10.00）_正确答案：(详解 由题意 ， ，因此，有利用 ，即 得(*)由此得 a+b=0，4a=1，-4
19、b=1故 )解析：分析 本题相当于*，利用复合函数求偏导公式即可评注 本题虽为基础题型，但已知变换结果反推参数 a、b 时，应注意对*u、，有关系式(*)成立，因此必有 a+b=018.求第一卦限中过定点(a，b，c)的平面，使之与三坐标面所围成的四面体体积最小（分数：10.00）_正确答案：(详解 作拉格朗日函数 ，则代入得所以 2=，所以 =3a，=3b，=3c 为唯一驻点，也是最小值点即所求平面为 )解析：分析 平面用截距式方程*，四面体体积为*，过定点(a，b，c)即得条件*，所以该题是条件极值问题评注 该题是条件极值的基本题，关键是平面使用截距式方程19.设 f(x)的一个原函数为
20、e-x2，求x 3f(x)dx（分数：10.00）_正确答案：(详解 )解析：分析 该题的条件为*，用分部积分解该题评注 该题考查了原函数概念及分部积分方法20.计算 n 阶行列式（分数：11.00）_正确答案：(详解 按第一列展开)解析：分析 用递推方法计算该行列式评注 因为*所以 D1中只包含 a1，所以 D1=|a1|=a1；D 1中只包含 a1，a 2，所以*读者可自己写出 D1，D 4等的表达式21.某企业对其职工进行脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30%参加培训，而参加培训的职工中有 60%的人结业回岗，假设现有职工 800 人，参加培训是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训
21、职工各有多少(假设职工总人数不变)?（分数：11.00）_正确答案：(详解 设 xi是 i 年后在岗职工人数，y i是 i 年后脱产培训人数则 ，则即 )解析：分析 将本题的条件用向量、矩阵表示，然后用矩阵乘法算出结果22.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：11.00）_正确答案：(详解 由于 P(X=a)=F(a)-F(a-0)，P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4-0=0.4，P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4，P(X=3)=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2，所以 X 的分布为 )解析：分析 由 F(x)的表达式知 X 为离散型随机变量，且只有当 x=-1，1，3 时的概率值不为 0评注 某些教科书上没有给出公式：P(X=a)=F(a)-F(a-0)，应记住该公式23.设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)(2)记似然函数取对数令 解出故 的最大似然估计量为(3)于是 ，故 )解析：分析 (1)由*求 a；(2)用最大似然估计法的基本步骤计算即可；(3)检验*评注 似然函数*，为了求 L 的最大值，只需考虑 xi0，此时有*另外，*为最大似然估计值，用 Xi代替 xi后，才得最大似然估计量*
