1、考研数学一-203 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(-x)=f(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（分数：4.00）A.B.C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-12.设 n 阶方阵 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组： 1， 2， n，： 1， 2， n，： 1， 2， n如果向量组线性相关，则（分数：4.00）A.向量组线性相关B.向量组线性相关C.向量组与都线性相关D.向量组与至少有一个
2、线性相关3.以下级数或广义积分收敛的是（分数：4.00）A.，p 为实数B.，p1C.，p2D.，p24.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）_5.设 A、B、C 为三事件，与 A 互不相容的事件是（分数：4.00）A.B.C.D.6.设在全平面上有 ， （分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)是在(-，+)内连续的单调增加的奇函数，F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A 与 B 是 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有相同的基础解系 1， 2， 3，则在下列方程组中以 1， 2， 3。为基础解系的是（分数：4.00）A.(A+
3、B)x=0B.ABx=0C.BAx=0D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 a0，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设曲线 ， （分数：4.00）填空项 1:_11.设 y1=ex-e-xsin2x，y 2=e-xcos2x+ex是某二阶常系数非齐次线性方程的两个解，则该方程是_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)在(-，+)内可导，且 ，且 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 10。是取自总体 X 的简单随机样本，已知统计量 （分数：4.00）填空项 1:_三、
4、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)是可导的偶函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式 f(ex2)-3f(1+sinx2)=2x2+o(x2)，求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程（分数：10.00）_16.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 ，求 f(0)，f(0)，f“(0)及 （分数：10.00）_17.质量为 1g(克)的质点受外力作直线运动，且外力和时间成正比，和运动速度成反比在 t=10s(秒)时，速度为 50cm/s，外力为 4gcm/s2，问从运动开始多长时间后速度为 100cm/s（分数：10.00）_18.设函数 (y)具有
5、连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数()证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：10.00）_19.设 f(x)，g(x)可微，且 f(x)=g(x)，g(x)=-f(x)，f(0)=0，f(0)=1，证明：f 2(x)+g2(x)=1（分数：10.00）_20.已知 2 维非零向量 x 不是 2 阶方阵 A 的特征向量(1)证明：x，Ax 线性无关；(2)若 A2x+Ax-6x=0，求 A 的特征值并讨论 A 可否相似对角化（分数：11.00）_21.设二维随机变量(X，Y)服从区域：-1x1，0y2 上的均匀分布，求二
6、次型 （分数：11.00）_22.某店内有 4 名售货员，根据经验每名售货员平均在一小时内只用秤 15 分钟，问该店配几台秤较为合理(假定秤不够用的概率小于 10%，则认为合理)（分数：11.00）_23.设 Y1，Y 2，Y 3独立，且都服从参数数为 p 的 0-1 分布令 （分数：11.00）_考研数学一-203 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(-x)=f(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（分数：4.00）A.B. C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=
7、2F(a)-1解析：详解 由 f(-x)=f(x)，得*，于是*故选(B)评注 也可根据密度曲线的图形直接得到2.设 n 阶方阵 A=( 1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组： 1， 2， n，： 1， 2， n，： 1， 2， n如果向量组线性相关，则（分数：4.00）A.向量组线性相关B.向量组线性相关C.向量组与都线性相关D.向量组与至少有一个线性相关 解析：分析 利用方阵的列向量组的线性相关性与方阵的行列式是否为零或方阵的可逆性的关系详解 因为向量组线性相关所以 AB 不可逆，即|AB|=|A|B|=0，得|A|=0 或|B|=0所以矩阵 A
8、 与 B至少有一个不可逆，即向量组与至少有一个线性相关，故选(D)评注 本题主要考察方阵的列向量组的线性关系与方阵的可逆性、行列式是否为零的关系，这些关系是考生应熟练掌握的基本性质3.以下级数或广义积分收敛的是（分数：4.00）A.，p 为实数B.，p1C.，p2 D.，p2解析：分析 对于 p 级数*，当 p1 时收敛对于广义积分*，当 p1 时收敛详解 (A)当 P0 时，*0，所以级数发散；(B)当 1p2 时，级数发散；(C)p2，p-11，所以*收敛；(D)当 p2 时，*，发散所以(C)为答案4.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）_解析：分析 如令区域 D=(x，
9、y)|x 2+y21)，D 1=(x，y)|x 2+y21，x，y0)，则等式*化为*由对称性即可得到结论详解 设 D=(x，y)|x 2+y21，D 1=(x，y)|x 2+y21，x，y05.设 A、B、C 为三事件，与 A 互不相容的事件是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 A、B 不相容*详解 *所以(D)为答案6.设在全平面上有 ， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由*，*，可得到函数 f(x，y)关于 x 单调减少，关于 y 单调增加详解 由已知，当 x1x 2忖，f(x 1，y 1)f(x 2，y 1)；当 y1y 2时，f(x 2，y 1)f(x 2
10、，y 2)所以，当x1x 2，y 1y 2时，有 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)故选(C)评注 本题主要考察偏导函数的意义，多元函数对某自变量的偏导函数大于零，只能得到函数关于该自变量单调增加(其余自变量保持不变)7.设函数 f(x)是在(-，+)内连续的单调增加的奇函数，F(x)= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 利用性质：若 f(x)为连续的奇函数，则函数*f(t)dt 为偶函数；若 f(x)为连续的偶函数，则函数*f(t)dt 为奇函数详解 令 x-t=u，*，又 f(x)为连续的奇函数所以 F(x)是奇函数又*即 F(x)单调减少，故选(D)评注 熟悉上述性质，
11、可以提高解题的速度另外，对于变限积分，先换元变形，再求导是考生应熟练掌握的基本技巧8.设 A 与 B 是 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有相同的基础解系 1， 2， 3，则在下列方程组中以 1， 2， 3。为基础解系的是（分数：4.00）A.(A+B)x=0B.ABx=0C.BAx=0D. 解析：分析 因为 Ax=0 与 Bx=0 有相同的基础解系，则方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解而方程组*的解是 Ax=0 与 Bx=0 的共同解详解 由已知，方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解，又方程组*的解是方程组 Ax=0 与 Bx=0 的共同解，所以，三个方程组 Ax=0，
12、Bx=0*同解，即方程组*的基础解系为 1， 2， 3，故选(D)评注 齐次线性方程组同解的充要条件是：它们的基础解系等价(或有相同的基础解系)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 a0，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *由于*是奇函数，所以*由定积分的几何意义*，所以*评注 计算在对称区间上的定积分时，要注意被积函数的奇偶性利用*是圆面积的*的几何意义会迅速得出正确答案10.设曲线 ， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 垂直于 x 轴的切线的斜率为无穷大，即导数为无穷大，利用参数方程求导，可得 t 的值再利用求弧长公式
13、即可详解 令*，因为是原点右边的第一条垂直于 x 轴的切线所以*所求弧长=*评注 本题虽然将切线问题、参数方程求导以及求弧长问题综合起来，但是这些问题都是考生应该熟练掌握的11.设 y1=ex-e-xsin2x，y 2=e-xcos2x+ex是某二阶常系数非齐次线性方程的两个解，则该方程是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y“+2y+5y=8e x）解析：分析 利用二阶常系数线性微分方程解的性质与结构定理求解详解 设所求方程为 y“+py+qy=f(x)，由二阶常系数线性微分方程解的性质与结构定理，y 2-y1=e-x(cos2x+sin2x)是齐次方程 y“+py+qy=0 的
14、解，所以-12i 是对应的特征方程 2+p+q=0 的根，根据方程的根与系数的关系，得 p=2，q=5于是所求方程为 y“+2y+5y=f(x)，将 y1=ex-e-xsin2x 代入方程，可求得 f(x)=8ex所以，所求方程为 y“+2y+5y=8ex评注 对于已知方程的某些解，求二阶常系数线性微分方程，常用的方法是利用三阶常系数线性微分方程解的性质与结构定理关键在于确定系数 p 与 q一般地，函数 eax是方程 y“+py+qy=0 的解的充要条件是：a 是方程 2+p+q=0 的根；函数 eax(Acosx+Bsinx)是方程 y“+py+qy=0 的解的充要条件是： 是方程 2+p+
15、q=0 的根，再根据方程的根与系数的关系，即可求得 p 与 q 的值12.设 f(x)在(-，+)内可导，且 ，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 左端是 1 型极限，右端的极限要应用拉格朗日中值定理：f(x)-f(x-1)=f()，(x-1x)详解 *所以 2c=1，*评注 1若 limu=0，lim=，且 timu 存在，则 1im(1+u)=elimu ；2limu=1，lim=，且 lim(u-1) 存在，则 limu =elim(u-1) ；3*f(x+k)=f(x-k)=*f()2k当 x时有 13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6
16、）解析：分析 应注意 Aij和 aij的值无关，所以*详解 *评注 考生应熟练掌握代数余子式的概念及行列式的计算方法14.设随机变量 XN(0， 2)，X 1，X 2，X 10。是取自总体 X 的简单随机样本，已知统计量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1.5，6）解析：分析 利用 2分布、F 分布的构造特点详解 因为*，所以*，*，并且*与*相互独立则*，因此，a=1.5，b=6评注 考生应熟练掌握 2分布、t 分布以及 F 分布的构造与相关性质三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)是可导的偶函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式 f(ex2)-3f(1
17、+sinx2)=2x2+o(x2)，求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程（分数：10.00）_正确答案：(详解 由已知，有 f(-1)=f(1)，f(-1)=-f(1)在等式 f(ex2)=3f(1+sinx2)=2x2+o(x2)两边取极限，有*，即 f(1)-3f(1)=0，得 f(1)=0，即 f(-1)=0将等式 f(ex2)-3f(1+sinx2)=2x2+o(x2)化为*，两边取极限得*即 f(1)-3f(1)=2，得 f(1)=-1，所以，f(-1)=-f(1)=1，于是所求切线方程为 y=x+1)解析：分析 曲线 y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程为
18、 y-f(-1)=f(-1)(x+1)，因为 f(x)是可导的偶函数，所以有 f(-1)=f(1)，f(-1)=-f(1)又因为 f(x)是满足关系式 f(ex2)-3f(1+sinx2)=2x2+o(x2)的抽象函数，所以不能直接利用公式求函数值 f(1)与导数值 f(1)，可利用连续性与导数定义求解评注 本题综合了切线问题、连续性、导数定义以及奇偶函数的性质，这些内容一直是考研的热点问题16.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 ，求 f(0)，f(0)，f“(0)及 （分数：10.00）_正确答案：(详解 因为 f(x)在 x=0 的邻域内二阶可导，则 f(x)，f(x)在 x
19、=0 点处连续*在*中，将 f(x)勒展开，得*)解析：分析 应注意：如果*，且 limu(x)=0，则 lim(x)=0评注 1该题中计算 f(0)，f(0)，f“(0)及*的方法和技巧应熟练掌握；2和 f“(x)有关的问题，经常要使用泰勒展开17.质量为 1g(克)的质点受外力作直线运动，且外力和时间成正比，和运动速度成反比在 t=10s(秒)时，速度为 50cm/s，外力为 4gcm/s2，问从运动开始多长时间后速度为 100cm/s（分数：10.00）_正确答案：(详解 在*中代入 t=10，=50，F=4得*，所以 k=20则*因为 F=ma，所以*，d=20tdt，*代入初始条件
20、(10)=50，得 C=250所以 *当 =100 时，*t2=475，t=*=21.79(秒)解析：分析 由条件知*，由 (10)=50cm/s，F=4gcm/s 2可求出 k，然后利用*可列出微分方程评注 本题是牛顿力学的基本问题，关键是由已知条件求出比例系数 k18.设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数()证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有 （分数：10.00）_正确答案：(详解 ()如图，将 C 分解为：C=l 1+l2，另作一条曲线 l3围绕原点且与 C 相接，则*()利用()的结果，知*即有 -4
21、x 2y+2y5=(y)(2x 2+y4)-(y)4y 3，得 (y)=-2y，y(y)-4(y)=2y 2，解第一个微分方程，得 (y)=-y 2+C，再代入第二个方程得 C=0，故 (y)=-y 2)解析：分析 证明()的关键是如何将封闭曲线 C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将 C 进行分解讨论；而()中求 (y)的表达式，显然应用积分与路径无关即可评注 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形19.设 f(x)，g(x)可微，且 f(x)=g(x)，g(x)=-f(x)，f(0)=0，f(0)=1，证明：f 2(x)+g2(x
22、)=1（分数：10.00）_正确答案：(详解 令 F(x)=f2(x)+g2(x)，则 F(x)=2f(x)f(x)+2g(x)g(x)=2f(x)f(x)-2f(x)f(x)=0，所以 F(x)=C，由 f(x)=g(x)，f(0)=1 得 g(0)=1，所以 F(0)=f2(0)+g2(0)=1，所以 C=1即 f2(x)+g2(x)=1)解析：分析 要证 f2(x)+g2(x)=1，只要证明f 2(x)+g2(x)=0，则 f2(x)+g2(x)=C，再由已知条件算出C=020.已知 2 维非零向量 x 不是 2 阶方阵 A 的特征向量(1)证明：x，Ax 线性无关；(2)若 A2x+A
23、x-6x=0，求 A 的特征值并讨论 A 可否相似对角化（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)设 x，Ax 线性相关，即存在不全为零的 k1，k 2，使得 k1x+k2Ax=0，如果 k2=0，由于 x0，得 k1=0，所以 k20，且有*，即 x 是 A 的特征向量，出现矛盾，所以 x，Ax 线性无关(2)由 A2x+Ax-6x=0 得(A+3I)(A-2I)x=0，由于 x0，所以矩阵(A+3I)(A-2I)不可逆如果矩阵(A+3I)可逆，则有(A-2I)x=0，即 Ax-2x=0，与 x，Ax 线性无关相矛盾，所以矩阵(A+3I)不可逆同理，矩阵(A-2I)也不可逆即有|A+3I
24、|=0，|A-2I|=0，即 2，-3 是矩阵 A 的特征值因为 A 有 2 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化)解析：分析 利用特征值与特征向量的定义与性质评注 对于抽象的矩阵，经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题对于抽象的向量组也经常利用定义与性质讨论线性关系问题21.设二维随机变量(X，Y)服从区域：-1x1，0y2 上的均匀分布，求二次型 （分数：11.00）_解析：22.某店内有 4 名售货员，根据经验每名售货员平均在一小时内只用秤 15 分钟，问该店配几台秤较为合理(假定秤不够用的概率小于 10%，则认为合理)（分数：11.00）_正确答案：(详解 因为每小时中每个售货
25、员用秤 15 分钟，所以每个售货员每小时中用秤的概率为*，4 个人相当于 4 重伯努利试验，P(同时用秤人数2)=*P(同时用秤人数2)=*所以若配置两台秤，则秤不够用的概率为 5%10%，所以配置两台秤是比较合理的)解析：评注 该题是用胖方法解决实际问题的应用题，应该学会处理类似问题的方法23.设 Y1，Y 2，Y 3独立，且都服从参数数为 p 的 0-1 分布令 （分数：11.00）_正确答案：(详解 令 Y=Y1+Y2+Y3，则 YB(3，P)(1)PX1=-1，X 2=-1=PY1，Y2=PY=0+PY=3=(1-p)3+p3，PX1=-1，X 2=1=PY1，Y=2=PY=2=3p 2(1-p)，PX1=1，X 2=-1=PY=1，Y2=PY=1=3p(1-p) 2，PX1=1，X 2=1=PY=1，Y=2=0所以，(X 1，X 2)的联合分布律为*(2)E(X1X2)=(1-p)3+p3-3p2(1-p)-3p(1-p)2=1-6p+6p2，所以，当*时，E(X 1X2)取最小值*)解析：分析 如令 Y=Y1+Y2+Y3，则由已知 YB(3，p)求有关(X 1，X 2)的概率问题转化为与随机变量 Y有关的概率评注 本题属于由已知分布的随机变量定义新的随机变量，讨论新随机变量的分布问题
