1、考研数学一-230 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=x(x-2)2|x(x-2)|的二阶不可导点个数为 A.0； B.1； C.2； D.3（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列等式中不正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的三个二阶偏导数 ， 存在，则必有AB 在点(x 0，y 0)处可微；C 在点(x 0，y 0)处连续；D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 =(x，y，z)|x 2+y2+221，则以下
2、各式正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 n 阶实矩阵，则方程组 Ax=0 有解是方程组 ATAx=0 有解的 A.必要而非充分条件； B.充分而非必要条件； C.充分必要条件； D.既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B.C.D.6.矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X、Y 相互独立，概率密度都为 f(t)，则随机变量 Z=X-2Y 的概率密度 fZ(z)为（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(0， 2)的一个简单随机样本，则统计量 的数学期望与方差分别为（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总
3、题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设二元函数 f(u，v)可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_11._ （分数：4.00）填空项 1:_12.设二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 的通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)，则二阶非齐次线性微分方程 y+py+qy=e xcosx 应具有的特解形式为_.（分数：4.00）填空项 1:_13.设四阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_14.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，记 A 为“此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标”这一事件，又记 X 为
4、服从参数是 P(A)的 0-1 分布的随机变量，则 E(X2)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_16.已知 fn(x)满足 及 ，求 （分数：10.00）_17.已知二元连续函数 f(x，y)满足 ，g(x，y)满足 y)=1 及 g(0，0)=0求二重积分 （分数：10.00）_18.设曲线 ()求曲线积分 ，其中， 是由原点沿曲线 L 到点 A(0，0，)的有向曲线； ()记由曲线 L(0z)绕 z 轴旋转一周而成的曲面(外侧)为 ，求曲面积分 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在a，b上
5、连续，在(a，b)内二阶可导，且 （分数：10.00）_20.设向量组 1=(1，0，a) T， 2=(0，1，1) T， 3=(b，3，5) T不能由向量组 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，b) T线性表示，但 1， 2， 3可由向量组 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3线性表示，求常数 a，b（分数：11.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy(其中 x=(x1，x 2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T以及 Q 是三阶正交矩阵)下的标准形为 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：11.00）_22.设二维随机
6、变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_23.()设总体 X 的概率分布为 X1 2 3P 1- - 2 2(其中，(0，1)是未知参数)以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n中取值等于 i 的个数(i=1，2，3)，求常数 a1，a 2，a 3，使得 （分数：11.00）_考研数学一-230 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)=x(x-2)2|x(x-2)|的二阶不可导点个数为 A.0； B.1； C.2； D.3（分数：4.00）A.B. C.D.
7、解析：f(x)=x|x|(x-2) 2|x-2|，可能不可导点为 x=0，2在点 x=0 附近，*所以，x=0 是 f(x)的二阶不可导点在点 x=2 附近，*所以，x=2 是 f(x)的二阶可导点因此选 B.附注：如果记住以下结论，本题将快捷获解：()(x-a)|x-a|在点 x=a 处二阶不可导，(x-a) 2|x-a|在点 x=a 处二阶可导；()设 f(x)=(x)g(x)，其中 (x)在点 x=a 处可导而二阶不可导，g(x)在点 x=a 处二阶可导且 g(a)0，则 f(x)在点 x=a 处二阶不可导2.下列等式中不正确的是 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于 x2在0
8、，1上连续，选项 A、B、C 右边都是 x2在0，1上的积分和式的极限，它们都等于*，即选项 A、B、C 都正确因此选 D.附注：也可以通过直接计算，确认选项 D 不正确：*3.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的三个二阶偏导数 ， 存在，则必有AB 在点(x 0，y 0)处可微；C 在点(x 0，y 0)处连续；D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于*，所以由*在点(x 0，y 0)处存在知*在点 x0处可微. 因此选 D.附注：当题中所给的三个二阶偏导数在点(x 0，y 0)处连续时，选项 A、B、C 都正确，但仅假定这三个二阶偏导数在点(x 0，y 0)处存在时
9、，未必能推出这三个选项都正确4.设 =(x，y，z)|x 2+y2+221，则以下各式正确的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于 关于平面 ：x+y+z=0 对称，设 M1(x1，y 1，z 1)与 M2(x2，y 2，z 2)为对称点，则线段*的中点*位于平面 上，所以*，即 x1+y1+z1= -(x2+y2+z2)从而 tan(x1+y1+z1)=-tan(x2+y2+z2)，即 tan(x+y+z)在对称点处的值互为相反数，于是有*因此选 B.附注：计算三重积分时，应先按积分区域的对称性进行化简，然后计算对于三重积分*，如果 具有某种对称性，按此对称性 被划分成 1与 2两
10、部分，则当 f(x，y，z)在对称点处的值互为相反数时，*；当 f(x，y，z)在对称点处的值彼此相等时，*5.设 A 是 n 阶实矩阵，则方程组 Ax=0 有解是方程组 ATAx=0 有解的 A.必要而非充分条件； B.充分而非必要条件； C.充分必要条件； D.既非充分也非必要条件（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于方程组 Ax=0 的解 x0可使 ATAx0=0，即 x0也是方程组 ATAx=0 的解反之，设 ATAx=0 有解 ，则 TATA=0，即(A) T(A)=0.记 A=( 1， 2， n)T，则由上式得*，即 1= 2= n=0所以有 A=0，即 也是方程 Ax=0
11、 的解，因此选 C.附注：本题表明：设 A 是 n 阶矩阵，则 Ax=0 与 ATAx=0 是同解方程组这一结论可推广为：设 A 是 mn 矩阵，B 是 nl 矩阵，则 Bx=0 与 ABx=0 是同解方程组的充分必要条件是 r(AB)=r(B)6.矩阵 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于* * 所以*(E 是三阶单位矩阵)有解 =-2，2，3从而 A 的 最小特征值为-2因此选B. 附注：题解中，注意到*和*都是初等矩阵，它们的三次方与四次方分别左乘、右乘于*表明，对B 施行三次“交换第一、二行”的初等变换后，再施行四次“将第二列加到第三列”的初等变换，所以很快获解7.设随机变量
12、 X、Y 相互独立，概率密度都为 f(t)，则随机变量 Z=X-2Y 的概率密度 fZ(z)为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：记 U=-2Y(对应的函数 u=-2y，即*)，则 u 的概率密度*从而 Z=X-2Y=X+U 的概率密度为*因此选 B.附注：常用的随机变量函数的概率密度计算公式：()设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，记 Y=g(X)(其中 y=g(x)在 f(x)0 的区间内是单调函数，且除个别点外处处可导)，则 Y 的概率密度为*其中，I 是 g(x)在 fX(x)0 的区间上的值域，x=h(y)是 y=g(x)在该区间的反函数()设二维随机变量(X，Y)的概率密
13、度为 f(x，y)，则随机变量 Z=aX+bY+c(a，b，c 都为常数)的概率密度为当 b0 时，*当 a0 时，*如果记住了()，则本题可快捷获解8.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(0， 2)的一个简单随机样本，则统计量 的数学期望与方差分别为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于*，所以*因此选 C附注：应记住以下结论：()设 X1，X 2，X N是来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，则*()设 X 2(n)，则 EX=n，DX=2n.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于 f(x)在点 x=0 处连
14、续，所以* (1)其中，*代入式(1)得 a=e2）解析：()计算*型未定式极限*时，首先要对*进行化简，其中对 f(x)或 g(x)作等价无穷小代替是最常用的、也是最有效的化简方法()计算 00，1 ， 0型未定式极限 lim f(x)g(x)时，应首先将函数指数化，即f(x) g(x)=eg(x)lnf(x)，于是*10.设二元函数 f(u，v)可微，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* *）解析：计算多元复合函数的偏导数时，应先画出该函数与自变量之间的复合关系图，例如本题的关系图为 *11._ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于* * 所以*）解析：应记住
15、*顺便计算* *12.设二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 的通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)，则二阶非齐次线性微分方程 y+py+qy=e xcosx 应具有的特解形式为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由 y+py+qy=0 的通解可知，1+i 是它的特征方程的根所以 y+py+gy=e xcosx 的特解形式应为xex(A0+A1x)cosx+(B0+B1x)sinx.附注：对于二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)，当 f(x)=ex P1(x)cosx+Q m(x)sinx(P 1(x)，Q m(x)分别是 x 的 l 次，m 次
16、多项式)时，该方程应有的特解形式为*其中，k 是按 +i 是特征方程 2+p+q=0 的零重根与一重根对应地取 0，1，*是 x 的n=maxl，m次多项式）解析：13.设四阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于 A*=|A|A-1，其中*，此外由*得*从而*）解析：如果记住以下公式，将快捷算出 A*.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则*14.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，记 A 为“此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标”这一事件，又记 X 为服从参数是 P(A)的 0-1 分布的随机变量，则 E(X2)=_.（分数：4.00）填空
17、项 1:_ （正确答案：由于*，则 X 的概率分布为 X 0 1P1-3p2(1-p)23p2(1-p)2所以 E(X 2)=123p2(1-p)2=3p2(1-p)2 附注：服从参数为 的 0-1 分布的随机变量 X 的分布律为 X 0 1P 1- (01)由此可以算得 X 的数字特征，例如EX=E(X2)=，D(X)=(1-)等.）解析：三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(* *)解析：可考虑类似的不定积分：*解答如下：*16.已知 fn(x)满足 及 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(由于 fn(x)满足*所以，*将*
18、代入上式得 C=0，所以*从而*此外，s(0)=0所以*)解析：题解中直接利用*，比较快捷17.已知二元连续函数 f(x，y)满足 ，g(x，y)满足 y)=1 及 g(0，0)=0求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(由于*(其中，u=x-t)，所以*从而 f(0，y)=y，且*由此得到 f(x，y)=ye x此外，由题设*得g(x，y)=x+C(y) (1)*所以 g(x，y)=x+y+C 0从而由 g(0，0)=0 得 C0=0g(x，y)=x+y由以上得到的 f，g 得*从而*)解析：题解中值得注意是：为了对*的两边关于 x 求偏导数，需将被积函数中的 x 移走，故令 u=x-
19、t18.设曲线 ()求曲线积分 ，其中， 是由原点沿曲线 L 到点 A(0，0，)的有向曲线； ()记由曲线 L(0z)绕 z 轴旋转一周而成的曲面(外侧)为 ，求曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()OA 如图所示，由于 * * (其中 D 是由*围成的区域) * * ()由于*是闭曲面，所以 * *(其中， 是由 围成的立体) *(由于 关于 yOz 平面对称，在对称点处 2x 的值互为相反数，所以*) *)解析：题解中有两点值得注意：()由于*不是闭曲线，所以添上线段*，使得*成为闭曲线，然后应用格林公式计算所给的曲线积分，比较快捷()由于 是闭曲面，且是外侧，所以对所给的曲面积
20、分直接应用高斯公式计算，比较快捷此外，计算*时，由于 是旋转曲面，且被积函数与 x，y 无关，所以采用先 x，y，后 z 的方法19.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(c 将a，b分成两个小区间a，c与c，b.由于*，所以存在 x1(a，c)，使得 f(x1)f(a)由于*，所以存在 x2(x 1，c)，使得 f(x2)f(c)因此 f(x)在a，c上的最大值在(a，c)内取到，于是由费马定理知，存在 1(a，c)，使得f( 2)=0此外，由 f(c)=f(b)=0 知，f(x)在c，b上满足罗尔定理条件，所以存在 2(c，b)，使得
21、 f( 2)=0由题设及以上证明知，f(x)在 1， 2上满足罗尔定理条件，所以存在 ( 1， 2)*，使得f()=0)解析：当函数 f(x)在a，b上有连续导数时，如果*，则容易知道，存在 (a，b)，使得 f()=0但是，从本题的证明可知，“当 f(x)在a，b上可导(未必有连续导数)时，如果*，则存在(a，b)，使得 f()=0”记住这个结论，有助快捷解题20.设向量组 1=(1，0，a) T， 2=(0，1，1) T， 3=(b，3，5) T不能由向量组 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，b) T线性表示，但 1， 2， 3可由向量组 1， 1+ 2， 1
22、+ 2+ 3线性表示，求常数 a，b（分数：11.00）_正确答案：(由于 1， 2， 3不能由 1， 2， 3线性表示，所以矩阵方程( 1， 2， 3)X=( 1， 2， 3)无解，从而*由于*所以，b=5 时，*，即此时， 1， 2， 3不能由 1， 2， 3线性表示，由于 1， 2， 3可由 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3线性表示，所以矩阵方程( 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3)Y=( 1， 2， 3)有解，从而*将 b=5 代入得*所以，*时，*(=3)，即此时， 1， 2， 3可由 1， 1+ 2， 1+ 2+ 3线性表示于是，所求的*，b=5)解析：题解中有两点值得注意：()矩
23、阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是*而无解的充分必要条件是*()设有两个 n 维向量组(A)： 1， 2， r，(B)： 1， 2， s，则(A)可由(B)线性表示，且表示式唯一的充分必要条件是矩阵方程( 1， 2， s)X=( 1， 2， r)(其中，X 是 sn 未知矩阵)有唯一解；(A)可由(B)线性表示，但表示式不唯一的充分必要条件是矩阵方程( 1， 2， sX=( 1， 2， r)有无穷多解；(A)不可由(B)线性表示的充分必要条件是矩阵方程( 1， 2， s)X=( 1， 2， r)无解21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy(其中 x=(x1
24、，x 2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y 3)T以及 Q 是三阶正交矩阵)下的标准形为 ，且 Q 的第 3 列为 （分数：11.00）_正确答案：(由 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为*知 A 有特征值 1= 2=1， 3=-1，且对应 3=-1 的特征向量为*设 1= 2=1 对应的特征向量为 =(a 1，a 2，a 3)T，则由 A 是实对称矩阵知， 与 3正交，即a1+a3=0它的基础解系为 1=(0，1，0)T 及 2=(-1，0，1) T，它们即为 A 的对应 1= 2=1 的特征向量 1， 2， 3是正交向量组，现将它们单位化：*它们是 A 的分别
25、对应特征值为 1，1，-1 的特征向量由此可知 A*的特征值为*它们对应的特征向量分别为 1， 2， 3，记 Q=( 1， 2， 3)(正交矩阵)，则由 A*是实对称矩阵得*从而*)解析：题解中有两点值得注意：()设 A 是 n 阶可逆矩阵，有特征值 及对应的特征向量 ，则 A*有特征值*及对应的特征向量 .()设 A 是可逆实对称矩阵，正交矩阵 Q 可使它正交相似对角化，则 Q 也可使 A*正交相似对角化22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：()关于 X 的边缘概率密度*记 Z 的分布函数为 F(z)，则 F(z)=P(Zz)当 z0 时，P(Zz)=P(
26、X 2z)=0，当 0z1 时，*当 z1 时，*所以，*从而*()EW=E(X-Y) 2=E(X2)+E(Y2)-2E(XY)，其中*同样可得*此外，*所以*附注：E(X-Y) 2也可按定义计算：*)解析：23.()设总体 X 的概率分布为 X 1 2 3P 1- - 2 2(其中，(0，1)是未知参数)以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n中取值等于 i 的个数(i=1，2，3)，求常数 a1，a 2，a 3，使得 （分数：11.00）_正确答案：()由于 N1B(n，1-)，N 2B(n，- 2)，N 3B(n， 2)，所以EN1=n(1-)，EN 2=n(- 2
27、)，EN 3=n 2.因此，ET=E(a 1N1+a2N2+a3N3)=a1EN1+a2EN2+a3EN3=a1n(1-)+a 2n(- 2)+a3n 2=a1n+(-a1n+a2n)+(-a 2n+a3n) 2.欲使 T 是 的无偏估计量，必须 ET=，即a1n+(-a1n+a2n)+(-a 2n+a3n) 2=比较 同次幂的系数得*()由于*，所以 EN2=75，*，因此由中心极限定理(具体的是棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)知P(N280)=1-P(N 280)*)解析：本题的关键，是从总体 X 的概率分布，推出 Ni(i=1，2，3)的各自分布，即 N1B(n，1-)，N2B(n，- 2)，N 3B(n， 2).顺便计算 DT.由于*，所以*
