1、考研数学一-234 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 y=f(x)在0，a上可导，则曲线 L1，L 2，L 3：与 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 A 收敛； B 发散； C 收敛时，其值必为零； D （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知曲面 S： (y0，z0)，平面区域 D: x2+2y21(x0)，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y1=ex-e-xsinx，y 2=ex+e-xcosx是二阶常系数非齐次线性微分方程
2、 y+py+qy=f(x)的两个解，则f(x)为 A.5ex； B.e3x； C.ex； D.e-x.（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 都是 n阶实矩阵，且齐次线性方程组 Ax=0与 Bx=0有相同的基础解系 1， 2，则方程组(A+B)x=0，A TAx=0，B *x =0以及 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B 都是 n阶实对称矩阵，则 A与 B合同的充分必要条件为 A.r(A)=r(B)； B.|A|=|B|； C.A，B 的特征值相同(作为特征方程重根的特征值按一个计算)； D.分别以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形（分数：4.00）A.B.C.D.
3、7.设随机变量 X的概率密度 记 Y=X2和二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 F(1，4)等于（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 tT(n)，对 (0，1)，t (n)为满足 P(tt (n)= 的实数，则满足 P(|t|b)= 的b等于（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 y=y(x)由微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(x，y)在点(0，0)处可微，且 则极限 （分数：4.00）填空项 1:_11.记 为抛物面 z=x2+y2(z1)的下侧，则曲面积分（分数：4.00）填空项 1:_1
4、2.函数 f(x)=sin2x的麦克劳林展开式为_.（分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B，C 是相互独立事件，且 P(A)=0.4，P(B)=P(C)=0.5，则 P(A-C|ABC)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 ，其中 （分数：10.00）_16.设函数 （分数：10.00）_17.设 求曲线积分 （分数：10.00）_18.设幂级数 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 （分数：10.00）_20.设 A是三阶矩阵， 1， 2， 3是线
5、性无关的三维列向量组，已知A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3，A 3= 1+ 2，问 a为何值时，A 不能相似对角化？（分数：11.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx(其中，x=(x 1，x 2，x 3)T，A 是三阶实对称矩阵)经过正交变换 x=Qy(其中，y=(y1，y 2，y 3)T，Q 是正交矩阵)化为标准形 （分数：11.00）_22.设随机变量 X是连续型的，它的概率密度为 随机变量 Y是离散型的，它的分布律为（分数：11.00）_23.对某个目标独立重复射击，直到命中为止现对目标进行 n(n1)轮这样射击，各轮射击次数分别为k1，k 2，k n，求命
6、中率 p的矩估计值与最大似然估计值（分数：11.00）_考研数学一-234 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 y=f(x)在0，a上可导，则曲线 L1，L 2，L 3：与 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：如果取 L1为 y=f(x)的图形，则 f(x)0(x(0，x 2)，这与 L2为 y=f(x)图形相符，也与 L3为*的图形相符所以选 A.附注：本题是先选定 L1为 y=f(x)的图形，然后检验 L2，L 3是否为)，=f(x)，y=*的曲线，如果如此选定不行，则再考虑 L2
7、为 y=f(x)的图形，等等，直到得到正确选项为止2.设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 A 收敛； B 发散； C 收敛时，其值必为零； D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：当*收敛时，有 * 所以选 C. 附注：当 f(x)在(-，+)上连续，且*收敛时有 *3.已知曲面 S： (y0，z0)，平面区域 D: x2+2y21(x0)，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于 S关于平面 x=0对称，x 在对称点处的值互为相反数，所以*由于 D关于 x轴对称，y 在对称点处的值互为相反数，所以*因此选 C附注：当曲面 S关于某个坐标平面对称时，如果被积函数 f(x，
8、y，z)在对称点处的值彼此相等(或互为相反数)，则*其中，S 1是 S被此坐标平面划分成的两部分之一，记住这一结论，往往能化简关于面积的曲面积分的计算4.设 y1=ex-e-xsinx，y 2=ex+e-xcosx是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)的两个解，则f(x)为 A.5ex； B.e3x； C.ex； D.e-x.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：容易看到 y2-y1=e-x(cosx+sinx)是 y+py+qy=0 的特解，从而 e-x(C1cosx+C2sinx)(C1，C 2是任意常数)是该微分方程的通解，所以p=-(-1+i)+(-1-i)=2，
9、q=(-1+i)(-1-i)=2.此外，由题设 ex是 y+py+qy=f(x)，即 y+2y+2y=f(x)的特解，所以f(x)=(ex)+2(e x)+2e x=5ex因此选 A.附注：由 e-x(cosx+sinx)是 y+py+qy=0 的特解知，e -xcosx与 e-xsinx都是该微分方程的特解，且它们线性无关，所以微分方程 y+py+qy=0 的通解为 -x(C1cosx+C2sinx)5.设 A，B 都是 n阶实矩阵，且齐次线性方程组 Ax=0与 Bx=0有相同的基础解系 1， 2，则方程组(A+B)x=0，A TAx=0，B *x =0以及 （分数：4.00）A.B. C.
10、D.解析：由于 ATAx=0与 Ax=0是同解方程组，所以 1， 2必是 ATAx=0的基础解系由于 Ax=0与 Bx=0都有基础解系 1， 2，所以 1， 2也是*的基础解系，因此选 B.附注： 1， 2未必是 A+B的基础解系，例如*和*有相同的基础解系(0，1) T，但它不是*的基础解系，所以 A与 D都不能选. 1， 2也未必是 B*x=0的基础解系，例如*有基础解系(0，0，1) T，但不是*的基础解系，这是因为*的秩为 2=3-1，所以*的秩为 1，从而*的基础解系中应有两个线性无关的解向量，因此 C不能选6.设 A，B 都是 n阶实对称矩阵，则 A与 B合同的充分必要条件为 A.
11、r(A)=r(B)； B.|A|=|B|； C.A，B 的特征值相同(作为特征方程重根的特征值按一个计算)； D.分别以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：实对称矩阵 A，B 合同的充分必要条件是分别以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形因此选 D. 附注：()选项 A是 A与 B合同的必要条件而不是充分条件，而选项 B、C 既不是必要条件，也不是充分条件 ()两个 n阶实对称矩阵 A，B 合同的充分必要条件有两种： (i)A，B 的特征值分别相等(当某个特征值 k重时，按 k个计算)； (ii)以 A，B 为矩阵的二次型有相同的规范形7.设随机变
12、量 X的概率密度 记 Y=X2和二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，则 F(1，4)等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：F(1，4)=P(X1，Y4)=P(X1，X 24)=P(-2X1)*因此选 C附注：顺便计算 X的分布函数 G(x)=P(Xx)当 x-1 时，*，当-1x0 时，*当 0x2 时，*当 x2 时，*所以，*8.设随机变量 tT(n)，对 (0，1)，t (n)为满足 P(tt (n)= 的实数，则满足 P(|t|b)= 的b等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由于随机变量 t的概率密度曲线关于纵轴对称，所以由=P(|t|b)=1-P(|t
13、|b)=1-P(tb)-P(t-b)=1-2P(tb)得*从而由 t (n)的定义得*因此选 C.附注：应当记住：当 XN(0，1)时，满足 P(|X|b)=a 的*(其中，u 为满足 P(Xu )= 的实数)；当 XT(n)时，满足 P(|X|b)= 的*(其中，t (n)为满足 P(Xt (n)= 的实数)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 y=y(x)由微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：所给微分方程可改写成 * 它的通解为* 将 y(1)=0代入得 C=1，所以*从而由 * 得曲线 y=y(x)的斜渐近线方程为 y=-x，）解析：计算曲线 y=f(x
14、)的斜渐近线方程时，总是先计算 *和* 如果这两个极限中至少有一个不存在，则计算 *和* 和*和*10.设函数 f(x，y)在点(0，0)处可微，且 则极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于* * * (1) 其中，* * 将它们代入式(1)得 *）解析：由于 f(x，y)仅在点(0，0)处可微，所以需用偏导数的定义与全微分的定义计算本题的极限11.记 为抛物面 z=x2+y2(z1)的下侧，则曲面积分（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：平面 z=1被 所截下的有限部分上侧记为 S，它在 xOy平面的投影为 D=(x，y)|x 2+y21，则由高斯公式有*(由于 关
15、于平面 y=0对称，在对称点处 y的值互为相反数)*）解析：由于题中的 不是闭曲面，所以添上一块 S，构成闭曲面，然后应用高斯公式计算所给的曲面积分这是计算关于坐标的曲面积分的常用方法12.函数 f(x)=sin2x的麦克劳林展开式为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f(x)的麦克劳林展开式为 *）解析：写出 f(x)的泰勒展开式或麦克劳林展开式时，应写出泰勒级数或麦克劳林级数的通项，还应写出展开式的成立范围()初等函数的麦克劳林展开式总是用间接法计算，即利用常用函数 ex，sinx，cosx，ln(1+x)及(1+x) 的麦克劳林展开式及幂级数的加、减运算和求导、积分运算等计
16、算13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由 r(A)+r(B)-3r(AB)得 r(A)2，所以 *由此得到=3）解析：应记住关于矩阵秩运算的以下两个公式： ()设 A，B 都是 mn矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B) ()设 A，B 分别是 mn和 nl矩阵，则 r(A)+r(B)-nr(AB)minr(A)，r(B).14.设 A，B，C 是相互独立事件，且 P(A)=0.4，P(B)=P(C)=0.5，则 P(A-C|ABC)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* 其中，* * P(ABC)=P(AB)+P(C)-P(ABC) =P(A)P(B)
17、+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.6， 所以，*）解析：对于比较复杂的随机事件概率，总是可以利用简单的随机事件概率和概率计算公式计算概率计算公式主要有设 A，B 都是事件，则*(逆概公式)；P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)(加法公式)；特别当 A，B 互不相容时，P(AB)=P(A)+P(B)；*(乘法公式)；设 A1，A 2，A n是一个完全事件组，则当 P(Ai)0(i=1，2，n)时，对任意随机事件 B有*(全概率公式)三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 ，其中 （分数：10.00）_正确答案：(由*知，|x|1 时，y(x)=2x；|x|2
18、时，y(x)=2xcosx 2，|x|2 时，y(x)=-sinx，并且，*所以 y(x)在点 x=1，2 处不存在，由于 f(x)是偶函数，所以 y(x)在点 x=-1，-2 处也不存在，从而*因此*)解析：本题的题解有两点值得注意： ()要计算分段函数复合函数的导数，应先算出复合函数的表达式 ()对分段函数*如果已算出*与*则当*与*都存在时，* 这个结论在 2009年数学一考题中已涉及，所以可以作为定理在解题过程中直接使用16.设函数 （分数：10.00）_正确答案：(因为* * 并且 x(0，1)(4，+)时 f(x)0，x(1，4)时 f(x)0 以及 f(0)=f(1)=f(4)=
19、0，所以 y=f(x)(x0)的图形如图所示，因此，所求的面积为 * *)解析：计算平面图形的面积时，应先画出该图形当平面图形 D是由曲线 y=f1(x)，y=f 2(x)(f1(x)，f 2(x)在a，b上连续)及直线 x=a，x=b 围成，则 D的面积*本题的平面图形可理解为是由曲线 y=f(x)，直线 y=0，x=0，x=4 围成的，所以*17.设 求曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(由于* 所以，f(x)g(y-x)仅在图阴影部分取非零值，而在 xOy平面的其他部分都取零值因此 * (1) 其中，*所以 *； *，所以 * *所以 * 将它们代入式(1)得 *)解析：关于弧长
20、的平面曲线积分计算公式是：设 f(x，y)是连续函数，曲线*(t 0tt 1)，其中 x(t)，y(t)在t 0，t 1上具有连续的导数，则*18.设幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()利用*得*()*在-1，1上连续，在(0，1)内可导且*显然在(0，1)内，f(x)0，且 f(0)=0下面证明在(-1，0)内 f(x)0.记*，则 (x)在(-1，0)内可导且*记*，则*，且*，所以存在 x0(-1，0)，使得*由此得到*于是，由*，(0)=0 知 (x)0，即 f(x)0(x(-1，0).由此得到 f(x)在(-1，1)内有唯一驻点 x=0，于是 f(x)在-1，1上的最大值为*
21、，最小值为 minf(0)，f(-1)，f(1)=o)解析：的关键是证明 f(x)0(x(-1，0)，即证明不等式 * 题解中采用了导数方法19.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(由于 f()+f()=0 即为*所以作辅助函数 F(x)=xf(x)，它在0，1上连续，在(0，1)内可导，且由*(根据积分中值定理)知 F(1)=F(x1)，所以由罗尔定理知，存在*，使得 F()=0，即 f()+f()=0)解析：题解中综合使用了罗尔定理与积分中值定理20.设 A是三阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的三维列向量组，已知A 1= 2+ 3，A 2= 1+ 3
22、，A 3= 1+ 2，问 a为何值时，A 不能相似对角化？（分数：11.00）_正确答案：(A( 1， 2， 3)=( 2+ 3， 1+a 3， 1+ 2)*记 P=( 1， 2， 3)，则 P可逆，且*即*记 E为三阶单位矩阵，则由*知方程 f()=0 不可能有三重根，这是因为此时 =-1 是 2-(1+a)=0 的二重根；但是当 =-1 是 2-(1+a)=0 的根时 a=1，此时 2-(1+a)=0 成为 2-2：0，这与 =-1 是它的二重根矛盾，方程 f()=0 有二重根时，应分两种情形讨论：(i)=-1 是方程的二重根，则由以上计算此时 a=1，并且由*知 r(-E-B)=1=3-
23、2(即矩阵 B的阶数与 =-1 的重数之差)，所以此时 B可相似对角化，由于 A-B，所以此时 A可相似对角化(ii)=-1 不是方程的二重根时，方程 2-(1+a)=0 必有二重根，从而(-1) 2-4-(1+a)=0，即*并且此时的二重特征根为*知*(即矩阵 B的阶数与*的重数之差)，所以此时 B不可相似对角化，从而 A不可相似对角化综上所述，当*时，A 不可相似对角化，)解析：设 A是 n阶矩阵，则 A可相似对角化的充分必要条件有下列两种：()A 有 n个线性无关的特征向量；()A 的每个特征值 i(即特征方程|E-A|=0 的根，这里 E是 n阶单位矩阵)都满足r( iE-A)=n-n
24、i( i是 i的重数)本题的求解是利用第()种充分必要条件21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx(其中，x=(x 1，x 2，x 3)T，A 是三阶实对称矩阵)经过正交变换 x=Qy(其中，y=(y1，y 2，y 3)T，Q 是正交矩阵)化为标准形 （分数：11.00）_正确答案：()由题设知，A 有特征值 1=2， 2= 3=-1从而 1对应 A*的特征值 1=*，所以由A*= 知 1=1对应的特征向量为 =(1，1，-1) T，由此可知 A的对应 1=1的特征向量为 设 2= 3=-1对应的特征向量为 =(b 1，b 2，b 3)，则由 A是实对称矩阵知 与 正交，即b1+b
25、2-b3=0故可取 为它们的基础解系，即 1=(-1，1，0) T， 2=(1，0，1) T现将它们正交化： 1= 1=(-1，1，0) T，*显然， 1， 2是正交向量组，现将它们单位化得*于是所求的正交矩阵为 Q=( 1， 2， 3)，它使*所以*()由于 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy的标准形为*故令*即*或*则*(规范形)从而 f(x1，x 2，x 3)在可逆线性变换*下化为规范形，即*)解析：设 A是 n阶可逆矩阵，有 及对应的特征向量 ，则 A的伴随矩阵 A*有特征值*及对应的特征向量 ()要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法22.设随机变量 X是连续型的，它
26、的概率密度为 随机变量 Y是离散型的，它的分布律为（分数：11.00）_正确答案：()由于 FZ(z) =P(Zz)，其中 P(Zz)=P(XYz)=P(Y=-1)P(XYz|Y=-1)+P(Y=0)P(XYz|Y=0)+P(Y=1)P(XYz|Y=1)*所以，*()Cov(X，X 2)=E(X3)-EXE(X2)，其中，EX=1，E(X 2)=D(X)+(EX)2=1+12=2，*所以，Cov(X，X 2)=3E(X2)-E(X2)=2E(X2)=4.)解析：由于 Z=XY是连续型随机变量与离散型随机变量之积，所以要计算它的分布函数应从定义出发，即从计算概率 P(Zz)=P(XYz)入手23.对某个目标独立重复射击，直到命中为止现对目标进行 n(n1)轮这样射击，各轮射击次数分别为k1，k 2，k n，求命中率 p的矩估计值与最大似然估计值（分数：11.00）_正确答案：(记 X为独立重复射击中，直到命中时的射击次数，则 k1，k 2，k n为来自总体 X的简单独立样本值由于P(X=k)=(1-p)k-1p(k=1，2，)，所以，*令*即*于是由矩估计法得 p的矩估计值*最大似然函数为*取对数*令*即*解此方程得*于是由最大似然估计法知 p的最大似然估计值*)解析：应熟练掌总体未知参数的两种点估法方法：矩估计法与最大似然估计法.
