1、考研数学一-258 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且当 x0 时， 是与 x 3 等价的无穷小量，则 f(0)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y 1 ，y 2 为一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若 ， 使 y 1 +y 2 为该方程的解，y 1 -2y 2 为该方程对应齐次微分方程的解，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4. _ A B C D （分数：4.00）A
2、.B.C.D.5.已知 （分数：4.00）A.a=1，b=0B.a=2，b=1C.a=0，b=-1D.a=1，b=16.设 ， （分数：4.00）A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2D.AP1P37.设随机变量 X 的分布函数为 则 Px=0=_ A0 B C （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f 1 (x)是参数为 2 的指数分布的概率密度，f 2 (x)是-2，1上的均匀分布的概率密度，且 （分数：4.00）A.2a+b=3B.2a+3b=3C.a+b=1D.a+b=2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.已知(x-1)y“-xy“+y=0
3、的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：4.00）11.设 是球面 x 2 +y 2 +z 2 =4 与抛物面 x 2 +y 2 =3z 所围成的形体，则 （分数：4.00）12.设曲面：|x|+|y|+|z|=1，则 （分数：4.00）13.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩等于 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1 （分数：4.00）14.设总体 X 是服从参数 =1 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，统计量 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限
4、（分数：10.00）_16.求函数 z=2x 2 -2xy+y 2 在区域 D：|x|+|y|1 上的最大值和最小值 （分数：10.00）_17.求 （分数：10.00）_设有级数 （分数：9.99）(1).求此级数的收敛域；（分数：3.33）_(2).证明此级数满足方程 y“-y=-1；（分数：3.33）_(3).求此级数的和函数（分数：3.33）_18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， ，试证：对 （分数：10.00）_设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：11.00）(1).求 x，y 的值；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -
5、1 AP=B（分数：5.50）_已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下的标准形为 ，且 Q 的第三列为 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).证明：A-E 为负定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：5.50）_设随机变量 X 服从区间(0，2)上的均匀分布，Y 服从区间(X，2)上的均匀分布，试求：（分数：11.01）(1).X 和 Y 的联合密度；（分数：3.67）_(2).Y 的概率密度；（分数：3.67）_(3).概率 P(X+Y2)（分数：3.67）_设总体 X 服从于分布 （分数：11.01）(1).E(
6、|X|)，E(|X| 2 )；（分数：3.67）_(2).参数 的最大似然估计量 （分数：3.67）_(3).是否为参数 的无偏估计量 （分数：3.67）_考研数学一-258 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)连续，且当 x0 时， 是与 x 3 等价的无穷小量，则 f(0)=_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由等价无穷小的定义，得 从而有 2.设 y 1 ，y 2 为一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若 ， 使 y 1 +y 2 为该方程的解，y 1 -2
7、y 2 为该方程对应齐次微分方程的解，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用微分方程的性质求解 因为 y 1 ，y 2 为一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，所以 y“ 1 +p(x)y 1 =q(x)，y“ 2 +p(x)y 2 =q(x) 因 y 1 +y 2 为该方程的解，则 (y 1 +y 2 )“+p(x)(y 1 +y 2 )=q(x) 将式代入式，有 +=1 y 1 -2y 2 为该方程对应齐次微分方程的解，则 (y 1 -y 2 )“+p(x)(y 1 -y 2 )=0 将式代入式，有 -2=0 联立式和式式得 3.
8、 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 观察发现，本题既是无穷上限的广义积分，又是无界函数的广义积分，瑕点在积分域的边界上 从而 4. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 记 将 n 的极限看成是函数 在区域 D 上的二重积分，其中 D 为正方形区域： (x，y)|0x1，0y1 将 D 的长和宽 n 等分，分成 n 2 个小正方形，每个小正方形的面积为 ，则 5.已知 （分数：4.00）A.a=1，b=0 B.a=2，b=1C.a=0，b=-1D.a=1，b=1解析：解析 因 AB，则 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即
9、6.设 ， （分数：4.00）A.P1P3AB.P2P3A C.AP3P2D.AP1P3解析：解析 观察可知，矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再将 1、2 两行互换可得到 B 或者把矩阵 A 的 1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第三行亦可得到 B，而 P 2 P 3 A 正是后者7.设随机变量 X 的分布函数为 则 Px=0=_ A0 B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由分布函数的定义得 8.设 f 1 (x)是参数为 2 的
10、指数分布的概率密度，f 2 (x)是-2，1上的均匀分布的概率密度，且 （分数：4.00）A.2a+b=3B.2a+3b=3 C.a+b=1D.a+b=2解析：解析 利用公式 即可，由已知得 则 从而有 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：2 2 -8 解析 10.已知(x-1)y“-xy“+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：4.00）解析：C 1 x+C 2 e x -x 2 -1 解析 由非齐次方程(x-1)y“-xy“+y=(x-1) 2 的两个特解 与 y * 可得，其对应的齐次方程的一个解为 11.设 是球面 x 2 +y 2 +z
11、2 =4 与抛物面 x 2 +y 2 =3z 所围成的形体，则 （分数：4.00）解析： 解析 凡积分区域是由抛物面与其他曲面所围成的形体，一般用柱坐标计算为宜，在柱坐标系下，球面与抛物面的交线为 故 12.设曲面：|x|+|y|+|z|=1，则 （分数：4.00）解析： 解析 关于 xOz 平面对称，则对关于 y 的奇函数，有 又由变量的轮换对称性得 从而 而为八块相同的等边三角形，记在第一象限的面积为 1 (如下图所示)，则 所以 13.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 的秩等于 1，A 的各行元素之和为 3，则 f 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1 （分数
12、：4.00）解析： 解析 A 的各行元素之和为 3，则 可见 1 =3 是 A 的一个特征值，又二次型的秩为 1，即 r(A)=1，从而 A 的另外两个特征值为 2 = 3 =0，故 f 在正交变换下的标准形为 14.设总体 X 是服从参数 =1 的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，统计量 （分数：4.00）解析：2 解析 因为 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 XP()的简单随机样本，则 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布所以 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：此题求 ，由于其部分和
13、不能表示成一个简单的式子，故不能直接由级数的定义求和但可以把它看成幂级数 ，当 x=1 时的情形，因此只要求出幂级数的和函数再将 x=1 代入即可 设 ，则 因为 x=1 包含在收敛区间内，故 16.求函数 z=2x 2 -2xy+y 2 在区域 D：|x|+|y|1 上的最大值和最小值 （分数：10.00）_正确答案：()解析：求函数在闭区域 D 上的最大值和最小值，应求出 D 内驻点处的函数值及 D 边界上函数的最大值和最小值后再进行比较 解析 令 解方程组得驻点(0，0)，(0，0)D，且 z(0，0)=0，D 的边界|x|+|y|=1 由四条线段组成： l 1 ：x+y=1，l 2 ：
14、x-y=1 (0x1)， l 3 ：x+y=-1， l 4 ：x-y=-1 (-1x0) 在 l 1 上：z=5x 2 -4x+1，由 z“ x =10x-4=0，得 ，则 故最大值为 2，最小值为 在 l 2 上：z=x 2 +1，由 z“ x =2x=0，得 x=0，则 z(0)=1，z(1)=2， 故最大值为 2，最小值为 1 在 l 3 上：z=5x 2 +4x+1，由 z“ x =10x+4=0，得 ，则 故最大值为 2，最小值为 在 l 4 上：z=x 2 +1，由 z“ x =2x=0，得 x=0，则 z(-1)=2，z(0)=1， 故最大值为 2，最小值为 1 综上所述，z 在
15、 D 上的最大值为 2，最小值为 17.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：令 ，其中 ，则 如下图所示，设 ( 为 设有级数 （分数：9.99）(1).求此级数的收敛域；（分数：3.33）_正确答案：()解析：因为 (2).证明此级数满足方程 y“-y=-1；（分数：3.33）_正确答案：()解析：令 ，则 则 (3).求此级数的和函数（分数：3.33）_正确答案：()解析：由 y(0)=2，y“(0)=0，故可知满足 y(0)=2，y“(0)=0 的方程 y“-y=-1 的特解，即为级数的和函数 由 2 -1=0，知 =1，得出对应齐次方程的通解为：y=C 1 e x +C 2
16、e -x 设非齐次方程的一个特解为 y * =ax+b，代入 y“-y=-1，得 a=0，b=1 故非齐次方程的通解 y=C 1 e x +C 2 e -x +1 代入 y(0)=2，y“(0)=0 可确定出 故 18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0， ，试证：对 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=e -kx f(x)，则由题设可知，F(x)在a，b上连续不妨假定 f(a)0，于是有f(b)0， 由 e -kx 0 可知 由介值定理，存在点 ，使得 F(x 1 )=F(x 2 )=0， 所以，F(x)在x 1 ，x 2 上连续
17、，在(x 1 ，x 2 )上可导 由罗尔定理知，存在点 (x 1 ，x 2 ) (a，b)，使得 F“()=0，即 e -k f“()-kf()=0 故有 f“()-kf()=0 设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：11.00）(1).求 x，y 的值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：因为 AB，则|A|=|B|，tr(A)=tr(B)，即 (2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B（分数：5.50）_正确答案：()解析：由上一小题可知 A 的特征值为 1 =-1， 2 =2， 3 =-2 对应特征向量可由(A- i E)=0(i=1，2，3)求得，分别为 1 =(0，2，-1
18、) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，0，-1) T ， 则 已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 在正交变换 X=QY 下的标准形为 ，且 Q 的第三列为 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：二次型 X T AX 在正交变换下的标准形为 ，则二次型矩阵 A 的特征值为-1，-1，0又因为 Q的第三列是 ，说明 3 =(1，1，0) T 是矩阵 A 关于特征值 =0 的特征向量因为 A 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，设 A 关于 1 = 2 =-1 的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3
19、 ) T ，则 T 3 =0，即 x 1 +x 2 =0 取 1 =(0，0，1) T ， 2 =(-1，1，0) T 为特征值 1 = 2 =-1 的特征向量 由 A( 1 ， 2 ， 3 )=(- 1 ，- 2 ，0)，得 (2).证明：A-E 为负定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：由于矩阵 A 的特征值为-1，-1，0，那么 A-E 的特征值为-2，-2，-1，因为 A-E 的特征值全部小于0，所以 A-E 负定设随机变量 X 服从区间(0，2)上的均匀分布，Y 服从区间(X，2)上的均匀分布，试求：（分数：11.01）(1).X 和 Y 的联合密度
20、；（分数：3.67）_正确答案：()解析：由已知得 X 的概率密度为 Y 关于 X 的条件密度为 故 X 和 Y 联合概率密度为 (2).Y 的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：Y 的概率密度为 (3).概率 P(X+Y2)（分数：3.67）_正确答案：()解析：如下图所示，由联合密度函数知 设总体 X 服从于分布 （分数：11.01）(1).E(|X|)，E(|X| 2 )；（分数：3.67）_正确答案：()解析： (2).参数 的最大似然估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析：依题得似然函数 令 得 (3).是否为参数 的无偏估计量 （分数：3.67）_正确答案：()解析： 故
