1、考研数学一-262 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.有以下命题：设 （分数：3.00）A.0B.1C.2D.32.设 ，则下列命题中不正确的是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.下列叙述正确的是 A如果 f(x)在 x 0 某邻域内无界，则 B如果 ，则 f(x)在 x 0 某邻域内无界 C 不存在，则 D如果 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D.4.设有下列命题 数列x n 收敛(即 极限 )，则 x n 有界 数列极限 其中 l 为某个确定的正整数 数列 数列极限 （分数：3.00）A.1B.2
2、C.3D.45.设 x n z n y n ，且 ，则 （分数：3.00）A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在D.一定不存在6.下列命题中正确的是 A若 ，当 0|x-x 0 | 时 f(x)g(x) B若 使得当 0|x-x 0 | 时有 f(x)g(x)且 ， 均 ，则 A 0 B 0 C若 0，当 0|x-x 0 | 时 D若 （分数：3.00）A.B.C.D.7. ，则当 x1 时有 A B C D 不存在，且 （分数：3.00）A.B.C.D.8.若 ，则 为 A0 B3 C （分数：3.00）A.B.C.D.9. A0 B C D （分数：3.00）A.B.C.D.
3、10.已知 （分数：3.00）A.a=-4，b=2B.a=4，b=-2C.a=3，b=-2D.a=-3，b=211.下列各题计算过程中正确无误的是 A数列极限 B C 不存在 D （分数：3.00）A.B.C.D.12.设 x0 时 ax 2 +bx+c-cosx 是比 x 2 高阶无穷小，其中 a,b,c 为常数，则 A ，b=0，c=1 B ，b=0，c=0 C ，b=0，c=1 D （分数：3.00）A.B.C.D.13.当 x0 时下列无穷小中阶数最高的是 A(1+x) x2 -1 Be x4-2x -1 C D （分数：3.00）A.B.C.D.14.设 xa 时 f(x)与 g(x
4、)分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题 f(x)g(x)是 x-a 的 n+m 阶无穷小 若 nm，则 是 x-a 的 n-m 阶无穷小 若 nm，则 f(x)+g(x)是 x-a 的 n 阶无穷小 若 f(x)连续，则 （分数：3.00）A.1B.2C.3D.415.以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是 (1)设 且 f 1 (x)f 2 (x)(xa)， ，则 (2)设 ，f i (x)0，(0|x-a|)，i=1，2，且 f 1 (x)f 2 (x)，g 1 (x)g 2 (x)(xa)，则 (3)设 =0(i=1，2)， ，f 1 (x)f
5、 2 (x)，g 1 (x)g 2 (xa)又 ，则 （分数：3.00）A.0B.1C.2D.316.设 （分数：3.00）A.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点17.设数列极限函数 （分数：3.00）A.I=(-，+)，J=(-，+)B.I=(-1，+)，J=(-1，1)(1，+)C.I=(-1，+)，J=(-1，+)D.I=(-1，1)，J=(-1，1)18.设 f(x)在点 x
6、 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是 A.f(x)sinx B.f(x)+sinx C.f2(x) D.|f(x)|（分数：3.50）A.B.C.D.19.“f(x)在 x 0 点连续”是|f(x)|在 x 0 点连续的（分数：3.50）A.充分条件，但不是必要条件B.必要条件，但不是充分条件C.充分必要条件D.既不是充分，也不是必要条件20.函数 （分数：3.50）A.x=1 为第一类间断点，x=-1 为第二类间断点B.x=1 均为第一类间断点C.x=1 为第二类间断点，x=-1 为第一类间断点D.x=1 均为第二类间断点21.下列命题 (
7、x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 (x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )不连续，则 f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )连续，则 f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )不连续，则 f(x)在 x=x 0 可能连续 中正确的个数是（分数：3.50）A.1B.2C.3D.422.设 f(x)在a，+)连续，则 （分数：3.50）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D
8、.既非充分又非必要条件23.设 f(x)在a，+)连续，则“ x 0 a，+)有 且 （分数：3.50）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件24.下列函数在1，+)无界的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.25.设 a 是实数， （分数：3.50）A.a-1B.-1a0C.0a1D.a126.设 （分数：3.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导27.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=f(0)=0，f(x)0，又设 u=u(x)是曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，则 A1
9、B2 C （分数：3.50）A.B.C.D.28.设存在常数 K0 使得 |f(x 2 )-f(x 1 )|K|x 2 -x 1 | 2 ( x 1 ，x 2 (a，b)则 Af(x)在(a，b)有间断点 Bf(x)在(a，b)连续，但有不可导点 Cf(x)在(a，b)可导，f(x) （分数：3.50）A.B.C.D.29.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) (2)若 f(x)g(x)则 f(x)g(x) 则（分数：3.50）A.(1)、(2)都正确B.(1)、(2)都不正确C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正
10、确，但(1)不正确30.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f“(4)=1，则 （分数：3.50）A.5B.3C.9D.731.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是 x 0 (a，b)，若 f“(x 0 )0，则 x0 时 dy x=x0 与 x 是同阶无穷小 df(x)只与 x(a，b)有关 y=f(x+x)-f(x)，则 dyy x0 时，dy-y 是 x 的高阶无穷小（分数：3.50）A.1B.2C.3D.4考研数学一-262 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.有以下命题：设 （分数：3.00
11、）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 举反例说明，均错，例如 则 均不 ，但 故，不正确 若取 f(x)=0，则 ，故也不正确 按题设，易知 不 (否则，若 ，则 2.设 ，则下列命题中不正确的是 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 1 易知，两个正无穷大量之和与之积均是正无穷大量，即 A、D 正确又正无穷大量与有界量之和仍为正无穷大量，即 C 也正确因此，B 不正确选 B 解析 2 我们知道，当 A=0 时， 3.下列叙述正确的是 A如果 f(x)在 x 0 某邻域内无界，则 B如果 ，则 f(x)在 x 0 某邻域内无界 C 不存在，则 D如果 ，则 （分数：
12、3.00）A.B. C.D.解析：解析 1 因为 ，所以，对于任意 M0，存在 0，当 0|x-x 0 | 时，|f(x)|M由此可得 f(x)在 x 0 的某邻域内无界，因此选 B 解析 2 举反例说明 A、C、D 均不成立 设 ，令 ， ，则 x n 0，y n 0 (n) f(x)在 x=0 邻域无界，但 x0 时 f(x)不是无穷大量也说明 不 此例说明 A，C 不正确 若令 f(x)=0(常数函数)，则 ，但 4.设有下列命题 数列x n 收敛(即 极限 )，则 x n 有界 数列极限 其中 l 为某个确定的正整数 数列 数列极限 （分数：3.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解
13、析 若极限 ，则 x n 有界这是我们应熟悉的基本定理，即正确关于，的正确性从直观上理解即可 x n :x 1 ，x 2 ，x 3 ，x n ， x n+l :x 1+l ，x 2+l ，x 3+l ，x n+l ， x n 中去掉前 l 项即 x n+l x 2n-1 :x 1 ，x 3 ，x 5 ，x 2n-1 ， x 2n :x 2 ，x 4 ，x 6 ，x 2n ， 它们一起涵盖了 x n 的所有项。 命题是错的例如 x n =n， ，但 (不 5.设 x n z n y n ，且 ，则 （分数：3.00）A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在 D.一定不存在解析：解析
14、由 x n z n y n 0z n -x n y n -x n 又因 但不保证 存在例如， 取 ，此时有，x n z n y n 且 6.下列命题中正确的是 A若 ，当 0|x-x 0 | 时 f(x)g(x) B若 使得当 0|x-x 0 | 时有 f(x)g(x)且 ， 均 ，则 A 0 B 0 C若 0，当 0|x-x 0 | 时 D若 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 D 正确D 正是极限的不等式性质中所述的结论A 的错误在于由 7. ，则当 x1 时有 A B C D 不存在，且 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 其中 8.若 ，则 为 A0 B3 C
15、（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 1 因为 又 所以 选 C 解析 2 对 sin3x 2 用泰勒公式由 令 t=3x 2 得 于是 9. A0 B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 先作如下变形 解析 1 用洛必达法则求这个极限 其中 选 D 解析 2 用泰勒公式求这个极限 相减得 因此 10.已知 （分数：3.00）A.a=-4，b=2B.a=4，b=-2 C.a=3，b=-2D.a=-3，b=2解析：解析 将已知条件改写成 即 I 1 =5-a 其中 解析 1 用泰勒公式： 令 t=-x，得 bx-2ln(1-x)= =(b+2)x+x 2 +o(x
16、2 ) 选 B 解析 2 用洛必达法则 11.下列各题计算过程中正确无误的是 A数列极限 B C 不存在 D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 1 A 是错的因为 n 是正整数，对数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则 B 是错的因为 已不是未定式，不能用洛必达法则 C 也是错的用洛必达法则求 型极限 时，若 不存在，也不为，则法则失效，不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的因此选 D 解析 2 D 是正确的 用洛必达法则求 型极 时， 若 (有限数)，则 若 ，则 12.设 x0 时 ax 2 +bx+c-cosx 是比 x 2 高阶无穷小，其中 a,b,c 为常数，则 A
17、 ，b=0，c=1 B ，b=0，c=0 C ，b=0，c=1 D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 1 由题意得 得 c=1 又因为 所以 b=0， 因此选 C 解析 2 因 (x0)，于是 因此， 13.当 x0 时下列无穷小中阶数最高的是 A(1+x) x2 -1 Be x4-2x -1 C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 逐一分析它们的阶 A(考察等价无穷小) (1+x) x2 -1ln(1+x) x2 -1+1=x 2 ln(1+x)x 3 (x0)， (1+x) x2 -1 是 x 的 3 阶无穷小。 B(考察等价无穷小) e x4-2x -1x
18、4 -2x-2x(x0) e x4-2x -1 是 x 的 1 阶无穷小 C(待定阶数法) 是 x 的 6 阶无穷小 D(待定阶数法或泰勒公式法) 是 x 的 2 阶无穷小 或用泰勒公式已知 14.设 xa 时 f(x)与 g(x)分别是 x-a 的 n 阶与 m 阶无穷小，则下列命题 f(x)g(x)是 x-a 的 n+m 阶无穷小 若 nm，则 是 x-a 的 n-m 阶无穷小 若 nm，则 f(x)+g(x)是 x-a 的 n 阶无穷小 若 f(x)连续，则 （分数：3.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 此类问题要逐一分析，按无穷小阶的定义： f(x)g(x)是(x-a)的 n
19、+m 阶无穷小； 又，若 nm， 是(x-a)的 n-m 阶无穷小； 因此，正确再考察 由此得，当 nm 时 f(x)+g(x)是 x-a 的 n 阶无穷小 当 n=m 时 f(x)+g(x)是 x-a 的 n 阶(A+B0)或高于 n 阶(A+B=0)的无穷小 例如，x0 时，sinx 与-x 均是 x 的一阶无穷小，但 即 sinx+(-x)是 x 的三阶无穷小； 因此不正确 最后考察 0 15.以下极限等式(若右端极限存在，则左端极限存在且相等)成立的个数是 (1)设 且 f 1 (x)f 2 (x)(xa)， ，则 (2)设 ，f i (x)0，(0|x-a|)，i=1，2，且 f 1
20、 (x)f 2 (x)，g 1 (x)g 2 (x)(xa)，则 (3)设 =0(i=1，2)， ，f 1 (x)f 2 (x)，g 1 (x)g 2 (xa)又 ，则 （分数：3.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析 要逐一分析我们证明(1)，(2)，(3)成立 关于(1) 其中 这里 ln(1+f i (x)f i (x) (xa，i=1,2) 关于(2) 关于(3)可直接证明:f 1 (x)-g 1 (x)f 2 (x)-g 2 (x) (xa) 因此 16.设 （分数：3.00）A.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0 与 x=1 都是 f(x)的第二类间断
21、点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点 D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点解析：解析 是 f(x)的第一类间断点 又 17.设数列极限函数 （分数：3.00）A.I=(-，+)，J=(-，+)B.I=(-1，+)，J=(-1，1)(1，+) C.I=(-1，+)，J=(-1，+)D.I=(-1，1)，J=(-1，1)解析：解析 |x|1 时， x=1 时 x1 时 x-1 时 ， 因为 x=-1 时 无定义 因此，f(x)在 x-1 无定义 18.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间
22、断，则在点 x 0 处必定间断的函数是 A.f(x)sinx B.f(x)+sinx C.f2(x) D.|f(x)|（分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 1 若 f(x)+sinx 在 x=x 0 连续 f(x)=(f(x)+sinx)-sinx 在 x=x 0 连续，与已知矛盾因此 f(x)+sinx 在 x 0 必间断，选 B 解析 2 举反例说明 A，C，D 不对 设 则 f(x)在 x=0 间断， f(x)sinx=0( x)在 x=0 连续 若设 在 x=0 间断，但 f 2 (x)=1( x)，|f(x)|=1( 19.“f(x)在 x 0 点连续”是|f(x)|在 x
23、 0 点连续的（分数：3.50）A.充分条件，但不是必要条件 B.必要条件，但不是充分条件C.充分必要条件D.既不是充分，也不是必要条件解析：解析 由“若 ，则 ”可得“如果 ，则 ”因此，f(x)在 x 0 连续，则|f(x)|在 x 0 连续，但|f(x)|在 x 0 处连续，f(x)在 x 0 处不一定连续 如 20.函数 （分数：3.50）A.x=1 为第一类间断点，x=-1 为第二类间断点B.x=1 均为第一类间断点 C.x=1 为第二类间断点，x=-1 为第一类间断点D.x=1 均为第二类间断点解析：解析 分别就|x|=1，|x|1，|x|1 时求极限 ，得出 f(x)的分段表达式
24、： 在|x|=1 处，因 21.下列命题 (x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )连续，则 f(x)在 x=x 0 连续 (x)在 x=x 0 连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )不连续，则 f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )连续，则 f(x)在 x=x 0 不连续 (x)在 x=x 0 不连续，f(u)在 u=u 0 =(x 0 )不连续，则 f(x)在 x=x 0 可能连续 中正确的个数是（分数：3.50）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 在复合函数连续性问题的结论中，只有一个结论是确定
25、的，即结论是正确的，其余情形则结论不确定，因而，是错误的，而是正确的因此选 B22.设 f(x)在a，+)连续，则 （分数：3.50）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：解析 由 x 0 a 当 xx 0 ，+)时 f(x)有界，又 f(x)在a，x 0 连续 f(x)在a，x 0 有界因此 f(x)在a，+)有界 若 f(x)在a，+)有界，可以有 23.设 f(x)在a，+)连续，则“ x 0 a，+)有 且 （分数：3.50）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析 若 x n a，+)使得 ，则 f
26、(x)在a，+)无界 若 f(x)在a，+)有界，即|f(x)|M(xa，+) |f(x n )IM 与 =矛盾 若 f(x)在a，+)无界 对 自然数 n，f(x)在n，+)无界 x 0 n，+)， 24.下列函数在1，+)无界的是 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 1 直接指出某函数在1，+)无界取 x n =n 2 2 ， ，对于 C C 中f(x)在1，+)无界 解析 2 指出三个函数在1，+)有界 对于 A，B，D 中 f(x)均在1，+)连续，又 A 有界 在1，+)有界 在1，+)有界，即 B 在1，+)有界 25.设 a 是实数， （分数：3.50
27、）A.a-1 B.-1a0C.0a1D.a1解析：解析 显然，f“=(1)=0 由右导数定义 26.设 （分数：3.50）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导 D.可导解析：解析 先分别考察左、右可导性 显然，f(0)=0 在 x=0 右连续) 27.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=f(0)=0，f(x)0，又设 u=u(x)是曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，则 A1 B2 C （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 任取 x 0 0，则曲线 y=f(x)在 x 0 处的切线方程为 y-f(x 0 )=f“(x 0 )(x-x
28、 0 )，令 y=0得它在 x 轴上截距为： 因此，曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线在 x 轴上的截距为 (x0)，下求 方法 1 由于 于是 方法 2 直接用洛必达法则求这个 型极限 因此选 B 方法 3 用泰勒公式 xf“(x)=xf“(0)+f“(0)x+0(x) =f“(0)x 2 +o(x 2 )(x0) 代入得 28.设存在常数 K0 使得 |f(x 2 )-f(x 1 )|K|x 2 -x 1 | 2 ( x 1 ，x 2 (a，b)则 Af(x)在(a，b)有间断点 Bf(x)在(a，b)连续，但有不可导点 Cf(x)在(a，b)可导，f(x) （分数：3.50）A.
29、B.C.D. 解析：解析 对 x，x 0 (a，b)有 令 29.设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述： (1)若 f(x)g(x)，则 f(x)g(x) (2)若 f(x)g(x)则 f(x)g(x) 则（分数：3.50）A.(1)、(2)都正确B.(1)、(2)都不正确 C.(1)正确，但(2)不正确D.(2)正确，但(1)不正确解析：解析 考虑例 1：f(x)=e -x ，g(x)=-e -x ，显然 f(x)g(x)，但 f“(x)=-e -x ，g“(x)=e -x ，此时 f“(x)g“(x)，所以(1)不正确 考虑例 2：f(x)=-e -x ，g(x)=
30、e -x ，f“(x)=e -x ，g“(x)=-e -x ，f“(x)g“(x)，但 f(x)g(x)所以(2)不正确因此选 B30.设 f(x)是以 3 为周期的可导函数且 f“(4)=1，则 （分数：3.50）A.5B.3C.9 D.7解析：解析 f“(x)也以 3 为周期 f“(1)=f“(4)，我们可由 f“(1)可得极限值 I 31.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是 x 0 (a，b)，若 f“(x 0 )0，则 x0 时 dy x=x0 与 x 是同阶无穷小 df(x)只与 x(a，b)有关 y=f(x+x)-f(x)，则 dyy x0 时，dy-y 是 x 的高阶无穷小（分数：3.50）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 要逐一分析因为 x0 时 dy 丨 x=0 与 x 是同阶无穷小，正确 df(x)=f“(x)x，df(x)与 x(a，b)及 x 有关，故不正确当 y=f(x)为一次函数：f(x)=ax+b，
