1、考研数学一-274 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，-1) T ， 3 =(2，6，a，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的（分数：3.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件2.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是 A.存在全为零的一组数 k1，k 2，k s，使 k1+k2 2+ksas=0 B.存在不全为零的一组数 k1，k 2，k
2、s，使 k1 1+k2 2+ks s0 C.对于任何一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有 k1 1+k2 2+ks s0 D. 1， 2， s中任意两个向量线性无关（分数：3.00）A.B.C.D.3.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：3.00）A.1，2，s 均不是零向量B.1，2，s 中任意 s-1 个向量都线性无关C.向量组 1，2，s，s+1 线性无关D.1，2，s 中每一个向量都不能由其余 s-1 个向量线性表出4.设向量组(I): 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 =(a 31 ，a
3、 32 ，a 33 )；向量组(): 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 (a 21 ，a 22 ，a 23 ，a24)， 3 (a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 )，则正确的命题是 A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()相关 （分数：3.00）A.B.C.D.5.设向量组()： 1 ， 2 ， s ；向量组()： 1 ， 2 ， s ， s+1 ， s+t ，则正确命题是 A()无关 ()无关 B()无关 ()相关 C()相关 ()相关 D()无关 （分数：3.00）A.B.C.D.6.设 A= 1 ， 2 ， n ，
4、B= 1 ， 2 ， n ，AB= 1 ， 2 ， n 都是 n阶矩阵，记向量组() 1 ， 2 ， n () 1 ， 2 ， n () 1 ， 2 ， n 若向量组()线性相关，则（分数：3.00）A.()、()均线性相关B.()或()中至少有一个线性相关C.()一定线性相关D.()一定线性相关7.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则（分数：3.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关8.已知 n 维
5、向量 1 ， 2 ， s 线性无关，那么可能线性相关的 1 ， 2 ， s 是（分数：3.00）A.把 i(i=1，2，s)中第 1 个分量与第 n 个分量互换为 iB.把 i(i=1，2，s)中第 1 个分量改为相反数是 iC.把 i(i=1，2，s)中第 1 个分量改为 0 得到 iD.把 i(i=1，2，s)的第 1 个与第 2 个分量之间添加分量 0 为 i9.已知 n 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么向量组 a 1 +b 2 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 1 线性无关的充分必要条件是（分数：3.00）A.a0，b=0B.abC.a-bD.a=b010.设 1 ， 2
6、， 3 ， 4 是三维非零向量，则正确命题是（分数：3.00）A.如果 1，2 线性相关，3，4 线性相关，则 1+3，2+4 线性相关B.如果 1，2，3 线性无关，则 1+4，2+4，3+4 线性无关C.如果 4 不能用 1，2，3 线性表出，则 1，2，3 一定线性相关D.如果 4 能由 1，2，3 线性表出，则 1，2，3 一定线性无关11.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有（分数：3.00）A.1，1，1 线性无关B.1，2，2 线性无关C.2，3，1，2 线性相关D.1，2，3
7、，1+2 线性相关12.设矩阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 经初等行变换变为矩阵 B= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关则（分数：3.00）A.4 不能由 1，2，3 线性表示B.4 可由 1，2，3 线性表示，但表法不唯一C.4 可由 1，2，3 线性表示，且表法唯一D.4 能否由 1，2，3 线性表示不能确定13.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（分数：3.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组
8、等价C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价14.如果向量组 1 ， 2 ， s 的秩为 r，则下列命题中正确的是（分数：3.00）A.向量组中任意 r-1 个向量都线性无关B.向量组中任意 r 个向量都线性无关C.向量组中任意 r-1 个向量都线性相关D.向量组中任意 r+1 个向量都线性相关15.向量组 1 =(1，3，5，-1) T ， 1 =(2，-1，-3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T
9、的极大线性无关组是（分数：3.00）A.1，2，5B.1，3，5C.2，3，4D.3，4，516.已知两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 与() 1 ， 2 ， s ， s+1 ， s+t 若向量组的秩 r()=p，r()=q，则下列条件中不能判定()是()的极大线性无关组的是（分数：3.00）A.p=q，()可由()线性表出B.s=q，()与()是等价向量组C.p=q，()线性无关D.p=q=s17.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 2 + 3 + 4 ， 2 = 2 - 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1
10、 + 2 + 3 则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=（分数：3.00）A.1B.2C.3D.418.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 和() 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维非零列向量若 1 ， 2 ， 3 线性无关且和每个 j (j=1，2，3，4)都正交，则秩 r()+r()=（分数：3.50）A.3B.4C.5D.条件不够不能确定19.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与向量组()等价的向量组是（分数：3.50）A.1+2，2+3，3+4，4+1B.1+2，2+30，3+4C.1+2，2-3，3+4，4-1D.1，1+2，2+3，3+4，4-
11、120.某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为 （分数：3.50）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个21.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 A=b 的两个不同的解，那么 1 - 2 ，3 1 -2 2 ， ， （分数：3.50）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个22.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=6 的三个不同的解，那么下列向量 1 - 2 ， 1 + 2 -2 3 ， （分数：3.50）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个23.已知 1 =(1，1，-1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中Ax=
12、0 的解向量是 A.(1，-1，3) T B.(2，1，-3) T C.(2，2，-5) T D.(2，-2，6) T（分数：3.50）A.B.C.D.24.设齐次线性方程组 （分数：3.50）A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=025.设 A 是 mn 矩阵，A T 是 A 的转置，若 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A T x=0 的基础解系，则秩 r(A)=（分数：3.50）AtB.n-tC.m-tD.n-m26.要使 1 =(2，1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为 A B C D （分数：3.50
13、）A.B.C.D.27.a=1 是齐次方程组 （分数：3.50）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分又非必要条件28.已知 1 ， 2 是 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的 2 个不同的解，若秩 r(A)=n-1，则 Ax=0 的通解是（分数：3.50）A.k1B.k2C.k(1+2)D.k(1-2)29.设 （分数：3.50）A.3B.5C.3 或-5D.5 或-330.设 Ax=b 有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，0，1) T +k 2 (-1，3，2) T +(0，1，-1) T 则下列向量中不是 Ax=b 的解向量的是 A. 1=(
14、3，-5，-4) T B. 2=(0，4，2) T C. 3=(3，-2，-1) T D. 4=(3，1，-4) T（分数：3.50）A.B.C.D.31.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 都是四维列向量，A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，非齐次线性方程组 Ax= s 有通解 k+=k(1，-1，2，0) T +(2，1，0，1) T ，则下列关系式中不正确的是（分数：3.50）A.21+2+4-5=0B.5-4-23-31=0C.1-2+23-5=0D.5-4+43-32=0考研数学一-274 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100
15、.00)1.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，-1) T ， 3 =(2，6，a，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的（分数：3.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析 n 个 n 维向量线性相关的判定一般用行列式| 1 ， 2 ， n |=0 较方便 2.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是 A.存在全为零的一组数 k1，k 2，k s，使 k1+k2 2+ksas=0 B.存在不全为零的一组数 k1，k 2，k s，使 k1
16、1+k2 2+ks s0 C.对于任何一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有 k1 1+k2 2+ks s0 D. 1， 2， s中任意两个向量线性无关（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 C 选项是线性无关的等价定义A 选项中当 k 1 ，k s 全为零时，对任何一组向量其线性组合必都是零，从而这并不能判断 1 ， 2 ， s 的线性无关性 B 线性相关的定义是存在一组不全为零的数，使线性组合为零那么它的相反的描述应该是对任意一组不全为零的数，其线性组合必不为零，即 C 选项而不能只有一组不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，例： 1 =(1，0，0) T ， 2 =
17、(0，1，0) T ， 3 =(1，1，0) T 由于 3 = 1 + 2 ，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，但是 1 + 2 + 3 0，从而 B 只是必要条件不是充分条件 D 选项也只是必要条件，例如前述向量组 1 ， 2 ， 3 中任意两个向量均线性无关，但 1 ， 2 ， 3 线性相关3.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：3.00）A.1，2，s 均不是零向量B.1，2，s 中任意 s-1 个向量都线性无关C.向量组 1，2，s，s+1 线性无关D.1，2，s 中每一个向量都不能由其余 s-1 个向量线性表出 解析：解析 必要性(反证法) 如果 i =k
18、 1 1 +k i-1 i-1 +k i+1 i+1 +k s s 则 k 1 1 +k i-1 i-1 - i +k i+1 i+1 +k s s =0 因为 k 1 ，k i-1 ，-1，k i+1 ，k s 不全为 0于是 1 ， 2 ， s 线性相关矛盾 充分性(反证法) 如果 1 ， 2 ， s 的线性相关，则有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s 使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，不妨设 k s 0，则有 (k 1 1 +k 2 2 +k s-1 s-1 )矛盾 注意 A、B 都是必要条件，不是充分条件 例如 (1，0)，(0，1)，(1，1) 由 1 ， 2
19、 ， s ， s+1 线性无关 1 ， 2 ， s 线性无关，但由 1 ， 2 ， s 线性无关 4.设向量组(I): 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组(): 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 (a 21 ，a 22 ，a 23 ，a24)， 3 (a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 )，则正确的命题是 A()相关 ()相关 B()无关 ()无关 C()无关 ()无关 D()相关 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 A、C
20、 两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就全正确，要错误就全错误按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以 A、C 均谬误其实亦可考查下面的句子： 1 =(1，0，0)， 2 =(0，1，0)， 3 =(0，0，0)与 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)， 3 =(0，0，0，1) 显然 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 )=3即当 1 ， 2 ， 3 线性相关时，其延伸组 1 ， 2 ， 3 可以线性无关所以 A、C 错误 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，即有不全为 0 的 x 1 ，x 2 ，x 3 使 x 1 1 +x 2 2 +x
21、 3 3 =0，即 有非零解，那么齐次方程组 5.设向量组()： 1 ， 2 ， s ；向量组()： 1 ， 2 ， s ， s+1 ， s+t ，则正确命题是 A()无关 ()无关 B()无关 ()相关 C()相关 ()相关 D()无关 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ，则 1 ， 2 线性无关 当 3 =(1，2，0) T 时， 1 ， 2 ， 3 线性相关；当 3 =(0，0，1) T 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关 可知当()线性无关时，()既可能线性无关亦可能线性相关，所以 A、B 均错误C 是 A 的逆
22、否命题，当然是错误的6.设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，AB= 1 ， 2 ， n 都是 n阶矩阵，记向量组() 1 ， 2 ， n () 1 ， 2 ， n () 1 ， 2 ， n 若向量组()线性相关，则（分数：3.00）A.()、()均线性相关B.()或()中至少有一个线性相关 C.()一定线性相关D.()一定线性相关解析：解析 ()线性相关 |AB|=0 7.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则（分数：3.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组
23、线性无关，B 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关解析：解析 因为 AB=E 是 m 阶矩阵，所以 r(AB)=m 那么 r(A)r(AB)=m，又因 r(A)m，故 r(A)=m 于是 A 的行秩=r(A)=m，所以 A 的行向量组线性无关 同理，B 的列秩=r(B)=m，所以 B 的列向量组线性无关8.已知 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，那么可能线性相关的 1 ， 2 ， s 是（分数：3.00）A.把 i(i=1，2，s)中第 1 个分量与第 n 个分量互换为 iB.把 i(i=1，2，s)中第 1 个分量改为相反数是 iC.把 i(i=1，
24、2，s)中第 1 个分量改为 0 得到 i D.把 i(i=1，2，s)的第 1 个与第 2 个分量之间添加分量 0 为 i解析：解析 利用经过初等变换矩阵的秩不变，以及 r(A)=A 列秩=A 行秩的三秩相等定理易见 A、B 就是对矩阵 ( 1 ， 2 ， s )( 1 ， 2 ， s )分别作了一次变换由于 1 ， 2 ， s 线性无关，知秩 r( 1 ， 2 ， s )=s，从而秩 r( 1 ， 2 ， s )=s所以 A、B 必无关 因为低维向量无关，那么延伸之高维向量必无关，所以 D 必无关 只有 C 有可能线性相关例如 1 =(1，2，1)， 2 =(3，4，2)无关但 1 =(0
25、，2，1)， 2 =(0，4，2)线性相关9.已知 n 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么向量组 a 1 +b 2 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 1 线性无关的充分必要条件是（分数：3.00）A.a0，b=0B.abC.a-b D.a=b0解析：解析 AD 都是 a 1 +b 2 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 1 线性无关的充分条件，记 1 =a 1 +b 2 ， 2 =a 2 +b 3 ， 3 =a 3 +b 1 则( 1 ， 2 ， 3 )=(a 1 +b 2 ，a 2 +b 3 ，a 3 +b 1 ) 由于 r( 1 ， 2 ， 3 )=3 故 1 ， 2 ， 3 线
26、性无关 r( 1 ， 2 ， 3 )=3 或者，(用定义法) 设 k 1 (a 1 +b 2 )+k 2 (a 2 +b 3 )+k 3 (a 3 +b 1 )=0 即(k 1 a+k 3 b) 1 +(k 1 b+k 2 a) 2 +(k 2 b+k 3 a) 3 =0 由 1 ， 2 ， 3 线性无关，有 故 a 1 +b 2 ，a 2 +b 3 ，a 3 +a 1 线性无关 10.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零向量，则正确命题是（分数：3.00）A.如果 1，2 线性相关，3，4 线性相关，则 1+3，2+4 线性相关B.如果 1，2，3 线性无关，则 1+4，2+4，3+4
27、 线性无关C.如果 4 不能用 1，2，3 线性表出，则 1，2，3 一定线性相关 D.如果 4 能由 1，2，3 线性表出，则 1，2，3 一定线性无关解析：解析 如果 1 =(1，0，0)， 2 =(2，0，0)， 3 =(0，0，2)， 4 =(0，0，3)，则 1 + 3 =(1，0，2)， 2 + 2 =(2，0，3)线性无关A 错误 对于 B 只要取 4 =- 1 ，D 考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(2，0，0)，(1，1，0)即可 至于 C，因为四个三维向量必线性相关，如若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，现 4 不能被线
28、性表出，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关11.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有（分数：3.00）A.1，1，1 线性无关B.1，2，2 线性无关 C.2，3，1，2 线性相关D.1，2，3，1+2 线性相关解析：解析 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关， 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表不知 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关，故 B 为正确答案 取 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1
29、，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T ， 1 = 1 ，知 A 与 C 选项错误 关于选项 D，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误12.设矩阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 经初等行变换变为矩阵 B= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关则（分数：3.00）A.4 不能由 1，2，3 线性表示B.4
30、可由 1，2，3 线性表示，但表法不唯一C.4 可由 1，2，3 线性表示，且表法唯一 D.4 能否由 1，2，3 线性表示不能确定解析：解析 A 经过初等行变换变为 B，Ax= 1 ， 2 ， 3 ， 4 x=0 和 Bx= 1 ， 2 ， 3 ， 4 x=0 是同解方程组，已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关Ax=0 有非零解 13.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（分数：3.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与
31、 B 的行(列)向量组等价 D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价解析：解析 将等式 B-AQ 中的 A，B 按列分块，A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，则有 表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列，由于 Q 可逆，从而有 A=BQ -1 ，即 1 ， 2 ， n = 1 ， 2 ， n Q -1 ，表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，从而这两个向量组等价，故 A 选项的命题正确 类似地，对于 PA=B，将 A
32、 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确 若 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵 A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)故选项 D 正确，由排除法，应选 C 下例可表明选项(C)的命题不正确 例： 设 则 P，Q 均为可逆矩阵，且 14.如果向量组 1 ， 2 ， s 的秩为 r，则下列命题中正确的是（分数：3.00）A.向量组中任意 r-1 个向量都线性无关B.向量组中任意 r 个向量都线性无关C.向量组中任意 r-1 个向量都线性相关D.向量组中任意 r+
33、1 个向量都线性相关 解析：解析 按向量组秩的定义 r( 1 ， 2 ， s )=r 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组有 r 个向量 15.向量组 1 =(1，3，5，-1) T ， 1 =(2，-1，-3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是（分数：3.00）A.1，2，5B.1，3，5C.2，3，4 D.3，4，5解析：解析 列向量作行变换，有 可见秩 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=3因为三阶子式 16.已知两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s 与() 1 ， 2 ， s
34、 ， s+1 ， s+t 若向量组的秩 r()=p，r()=q，则下列条件中不能判定()是()的极大线性无关组的是（分数：3.00）A.p=q，()可由()线性表出 B.s=q，()与()是等价向量组C.p=q，()线性无关D.p=q=s解析：解析 仅 r()=r()及()可由()线性表出，并不能保证()线性无关因而 A 不能判定 向量组()与()等价，知 r()=r()，由于 r()=s，故 r()=r( 1 ， 2 ， s )=s，得 1 ， 2 ， s 线性无关，又能表示()中每个向量，因此 B 正确即知 D 亦正确 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， s ， s+1 ， s+t
35、 )表明 s+1 ， s+t 都可由 1 ， 2 ， s 线性表出，故()可由()线性表出，()又线性无关，那么()是极大无关组，从而 C 正确17.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 = 1 + 2 + 3 + 4 ， 2 = 2 - 4 ， 3 = 3 + 4 ， 4 = 2 + 3 ， 5 =2 1 + 2 + 3 则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=（分数：3.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 将表出关系合并成矩阵形式有 因四个四维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，故| 1 ， 2 ， 3 ， 4 |0A= 1 ， 2 ，
36、 3 ， 4 是可逆矩阵，故有 r(C)=r(AC)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 18.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 和() 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维非零列向量若 1 ， 2 ， 3 线性无关且和每个 j (j=1，2，3，4)都正交，则秩 r()+r()=（分数：3.50）A.3B.4 C.5D.条件不够不能确定解析：解析 由 1 ， 2 ， 3 线性无关，知秩 r()=3，由 j 非零知 r()1 记 19.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与向量组()等价的向量组是（分数：3.50）A.1+2，2+3，3+4，4+1B.1+2，
37、2+30，3+4C.1+2，2-3，3+4，4-1D.1，1+2，2+3，3+4，4-1 解析：解析 两向量组等价 可以相互表出 两向量组等价 20.某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为 （分数：3.50）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析 因为系数矩阵的秩 r(A)=3，有 n-r(A)=5-3=2，故应当有 2 个自由变量 由于去掉 x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，因为其秩与 r(A)不相等，故 x 4 ，x 5 不是自由变量同理，x 3 ，x 5 不能是自由变量 而 x 1 ，x 5 与 x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 与 21.已知
38、 1 ， 2 是非齐次线性方程组 A=b 的两个不同的解，那么 1 - 2 ，3 1 -2 2 ， ， （分数：3.50）A.4 个B.3 个 C.2 个D.1 个解析：解析 由于 A 1 =b，A 2 =b，那么 A(3 1 -2 2 )=3A 1 -2A 2 =3b-2b=b， 可知 3 1 -2 2 ， 22.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=6 的三个不同的解，那么下列向量 1 - 2 ， 1 + 2 -2 3 ， （分数：3.50）A.4 个 B.3 个C.2 个D.1 个解析：解析 由 A 1 =b(i=1，2，3)有 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b
39、-b=0 A( 1 + 2 -2 3 )=A 1 +A 2 -A 3 -b+b-2b=0 A( 1 -3 2 +2 3 )-A 1 =3A 2 +2A 3 =b-3b+2b=0 所以， 1 - 2 ， 1 + 2 -2 3 ， 23.已知 1 =(1，1，-1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中Ax=0 的解向量是 A.(1，-1，3) T B.(2，1，-3) T C.(2，2，-5) T D.(2，-2，6) T（分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 如果 A 是 Ax=0 的解，则 D 必是 Ax=0 的解因此 A、D 均不是
40、Ax=0 的解 由于 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系，那么 1 ， 2 可表示 Ax=0 的任何一个解 ，亦即方程组 x 1 1 +x 2 2 =，必有解因为 24.设齐次线性方程组 （分数：3.50）A.A1y=0B.A2y=0 C.A3y=0D.A4y=0解析：解析 A 是 34 矩阵，由 Ax=0 的通解知 n-r(A)=1，即 r(A)=3 记 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )则即 1 +3 3 -2 4 =0 即( 1 ， 3 ， 4 ) 即 A 2 y=0 有非 0 解 故应选 B 关于 A：若 A 1 y=0 有非零解，设为(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T 即有
41、( 2 ， 3 ， 4 ) 25.设 A 是 mn 矩阵，A T 是 A 的转置，若 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A T x=0 的基础解系，则秩 r(A)=（分数：3.50）AtB.n-tC.m-t D.n-m解析：解析 由于 A 是 mn 矩阵，知 A T 是，nm 矩阵，那么 A T r=0 是 n 个方程 m 个未知数的齐次线性方程组，从而 m-r(A T )=t又因 r(A)=r(A T )，所以 r(A)=m-f，即应当选 C26.要使 1 =(2，1，1) T ， 2 =(1，-2，-1) T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为 A B C D （分数
42、：3.50）A.B. C.D.解析：解析 因为 1 、 2 线性无关，所以 Ax=0 至少有两个线性无关的解，故 n-r(A)2 即 r(A)3-2=1 因此排除 A、C 对于 B 和 D，因为 2 不是方程组 D 的解，因此排除 D27.a=1 是齐次方程组 （分数：3.50）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分又非必要条件解析：解析 Ax=0 是三个未知数三个方程的齐次线性方程组，Ax=0 有非零解的充分必要条件是行列式|A|=0，由于 28.已知 1 ， 2 是 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的 2 个不同的解，若秩 r(A)=n-1，则 Ax=0 的
43、通解是（分数：3.50）A.k1B.k2C.k(1+2)D.k(1-2) 解析：解析 由 n-r(A)=n-(n-1)=1，故 Ax=0 的通解形式为 k，0因为 1 或 2 。有可能是零解，所以不能保证 A 或 B 一定是通解 由于 1 + 2 有可能为 0，所以不能保证 C 一定是通解 因为 1 2 肯定有 1 - 2 0，因此 1 - 2 必是 Ax=0 的非零解，所以 D 正确29.设 （分数：3.50）A.3B.5C.3 或-5 D.5 或-3解析：解析 因为齐次方程组 Ax=0 有非零解，且其任一解均可以由 线性表出，说明 Ax=0 的基础解系只有一个向量因此 r(A)=3-1=2对矩阵 A 作初等变换有 30.设 Ax=b 有通解 k 1 1 +k 2 2 +=k 1 (1，0，1) T +k 2 (-1，3，2)
