1、2014 年广西省南宁市中考真题数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，其中只有一是正确的 . 1.(3 分 )如果水位升高 3m 时水位变化记作 +3m，那么水位下降 3m 时水位变化记作 ( ) A. -3m B. 3m C. 6m D. -6m 解析 ：因为上升记为 +，所以下降记为 -，所以水位下降 3m 时水位变化记作 -3m. 答案： A. 2.(3 分 )下列图形中，是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是轴对称图形，故 A 选项错误； B、不是轴对称图形，故 B 选项错误； C、不是轴对称图形，故
2、 C 选项错误； D、是轴对称图形，故 D 选项正确 . 答案： D. 3.(3 分 )南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为 267000 平方米，其中数据 267000 用科学记数法表示为 ( ) A. 26.710 4 B. 2.6710 4 C. 2.6710 5 D. 0.26710 6 解析 ： 267 000=2.6710 5. 答案： C. 4.(3 分 )要使二次根式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ( ) A. x 2 B. x2 C. x -2 D. x -2 解析 ： 二次根式 在实数范围内有意义， x+20 ，解得： x -2， 则
3、实数 x 的取值范围是： x -2. 答案： D. 5.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a2 a3=a6 B. (x2)3=x6 C. m6m 2=m3 D. 6a-4a=2 解析 ： A、 a2 a3=a5a 6，故 A 选项错误； B、 (x2)3=x6，故 B 选项正确； C、 m6m 2=m4m 3，故 C 选项错误； D、 6a-4a=2a2 ，故 D 选项错误 . 答案： B. 6.(3分 )在直径为 200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图 .若油面的宽 AB=160cm，则油的最大深度为 ( ) A. 40cm B. 60cm C. 80cm D. 100c
4、m 解析 ： 连接 OA，过点 O 作 OEAB ，交 AB 于点 M， 直径为 200cm， AB=160cm， OA=OE=100cm ， AM=80cm， OM= = =60cm， ME=OE -OM=100-60=40cm. 答案： A. 7.(3 分 )数据 1， 2， 4， 0， 5， 3， 5 的中位数和众数分别是 ( ) A. 3 和 2 B. 3 和 3 C. 0 和 5 D. 3 和 5 解析 ： 把所有数据从小到大排列： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 5，位置处于中间的是 3，故中位数为 3；出现次数最多的是 3 和 5，故众数为 3 和 5， 答案： D. 8.(
5、3 分 )如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为 AB，再以 AB 的中点 O 为顶点，把平角AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以 O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 ( ) A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 解析 ： 平角 AOB 三等分， O=60 ， 90 -60=30 ， 剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是 30 的等腰三角形， 再沿另一折痕展开得到有一个角是 30 的直角三角形，最后沿折痕 AB展开得到等边三角形，即正三角形 . 答案： A. 9.(3 分 )“ 黄金 1 号 ” 玉
6、米种子的价格为 5 元 /千克，如果一次购买 2 千克以上的种子，超过 2 千克部分的种子价格打 6 折，设购买种子数量为 x 千克，付款金额为 y元，则 y与 x的函数关系的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 可知 2 千克以下付款金额为 y 元随购买种子数量为 x 千克增大而增大， 超过 2 千克的部分打 6 折， y 仍随 x 的增大而增大，不过增加的幅度低一点， 答案： B. 10.(3 分 )如图，已知二次函数 y=-x2+2x，当 -1 x a 时， y 随 x 的增大而增大，则实数 a的取值范围是 ( ) A. a 1 B. -1 a1 C. a 0 D. -1
7、 a 2 解析 ： 二次函数 y=-x2+2x 的对称轴为直线 x=1， -1 x a 时， y 随 x 的增大而增大， a1 ， -1 a1 . 答案： B. 11.(3 分 )如图，在 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，延长 BC 到点 F，使 CF： BC=1： 2，连接 DF，EC.若 AB=5， AD=8， sinB= ，则 DF 的长等于 ( ) A. B. C. D. 2 解析 ： 如图，在 ABCD 中， B=D ， AB=CD=5， ADBC ，且 AD=BC=8. E 是 AD 的中点， DE= AD. 又 CF ： BC=1： 2， DE=CF ，且 DECF ，
8、四边形 CFDE 是平行四边形 .CE=DF . 过点 C 作 CHAD 于点 H. 又 sinB= ， sinCDH= = = ， CH=4 . 在 RtCDH 中，由勾股定理得到： DH= =3，则 EH=4-3=1， 在 RtCEH 中，由勾股定理得到： EC= = = ，则 DF=EC= . 答案： C. 12.(3 分 )已知点 A 在双曲线 y=- 上，点 B 在直线 y=x-4上，且 A， B两点关于 y轴对称 .设点 A 的坐标为 (m， n)，则 + 的值是 ( ) A. -10 B. -8 C. 6 D. 4 解析 ： 点 A 的坐标为 (m， n)， A、 B 两点关于
9、y 轴对称， B (-m， n)， 点 A 在双曲线 y=- 上，点 B 在直线 y=x-4 上， n= - -m-4=n，即 mn=-2， m+n=-4， 原式 = = =-10. 答案： A. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 ) 13.(3 分 )比较大小： -5 3(填，或 =). 解析 ： -5 是负数， 3 是正数； -5 3； 答案： . 14.(3 分 )如图，已知直线 ab ， 1=120 ，则 2 的度数是 . 解析 ： 1=120 ， 3=180 -120=60 ， ab ， 2=3=60 ， 答案： 60. 15.(3 分 )分解因式： 2a2
10、-6a= . 解析 ： 2a2-6a=2a(a-3). 答案： 2a(a-3). 16.(3 分 )第 45 届世界体操锦标赛将于 2014 年 10 月 3 日至 12 日在南宁隆重举行，届时某校将从小记者团内负责体育赛事报道的 3 名同学 (2男 1 女 )中任选 2 名前往采访，那么选出的 2 名同学恰好是一男一女的概率是 . 解析 ： 列表得： 所有等可能的情况有 6 种，其中选出的 2 名同学恰好是一男一女的情况有 4 种，则 P= = ， 答案： 17.(3 分 )如图，一渔船由西往东航行，在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60 的方向，前进 20海里到达 B 点，此时，测得海岛
11、 C 位于北偏东 30 的方向，则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD等于 海里 . 解析 ： 根据题意可知 CAD=30 ， CBD=60 ， CBD=CAD+ACB ， CAD=30=ACB ， AB=BC=20 海里， 在 RtCBD 中， BDC=90 ， DBC=60 ， sinDBC= ， sin60= ， CD=12sin60=20 =10 海里， 答案： 10 . 18.(3 分 )如图， ABC 是等腰直角三角形， AC=BC=a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与AC， BC 相切于点 E， F，与 AB 分别交于点 G， H，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交
12、于点 D，则CD 的长为 . 解析 ： 如图，连接 OE、 OF， 由切线的性质可得 OE=OF=O 的半径， OEC=OFC=C=90 ， OECF 是正方形， 由 ABC 的面积可知 ACBC= ACOE+ BCOF ， OE=OF= a=EC=CF， BF=BC-CF=0.5a， GH=2OE=a， 由切割线定理可得 BF2=BH BG， a2=BH(BH+a)， BH= a 或 BH= a(舍去 )， OEDB ， OE=OH， OEHBDH ， = ， BH=BD ， CD=BC+BD=a+ a= a. 答案： a. 三、解答题： (本大题共 2 小题，每小题满分 12 分，共 12
13、 分 )要求写出解答过程 .如果运算结果含有根号，请保留根号 . 19.(6 分 )计算： (-1)2-4sin45+| -3|+ . 解析 ： 本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 =1-2 +3+2 =4. 20.(6 分 )解方程： - =1. 解析 ： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案： 去分母得： x(x+2)-2=x2-4， 去括号得： x2+2x-2=x2-4， 解得： x=-1， 经检验 x=-1 是分式
14、方程的解 . 四、解答题： (本大题共 2 小题，每小题满分 16 分，共 16 分 )要求写出解答过程 .如果运算结果含有根号，请保留根号 . 21.(8 分 )如图， ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1， 1)， B(4， 2)， C(3， 4). (1)请画出 ABC 向左平移 5 个单位长度后得到的 A 1B1C1； (2)请画出 ABC 关于原点对称的 A 2B2C2； (3)在 x 轴上求作一点 P，使 PAB 的周长最小，请画出 PAB ，并直接写出 P 的坐标 . 解析 ： (1)根据网格结构找出点 A、 B、 C 平移后的对应点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可
15、； (2)根据网格结构找出点 A、 B、 C 关于原点的对称点 A2、 B2、 C2的位置，然后顺次连接即可； (3)找出点 A 关于 x 轴的对称点 A ，连接 AB 与 x 轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点 P 的位置，然后连接 AP、 BP 并根据图象写出点 P 的坐标即可 . 答案： (1)A 1B1C1如图所示； (2)A 2B2C2如图所示； (3)PAB 如图所示， P(2， 0). 22.(8 分 )考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试 .某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为 “ 最适合自己的考前减压方式 ” 的调查活动，
16、学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类 .学校收集整理数据后，绘制了图 1 和图 2 两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： (1)这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ (2)请补全条形统计图； (3)请计算扇形统计图中 “ 享受美食 ” 所对应扇形的圆心角的度数； (4)根据调查结果，估计该校九年级 500 名学生中采用 “ 听音乐 ” 来减压方式的人数 . 解析 ： (1)利用 “ 流谈心 ” 的人数除以所占的百分比计算即可得解； (2)用总人数乘以 “ 体育活动 ” 所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可； (3)用 360 乘以
17、 “ 享受美食 ” 所占的百分比计算即可得解； (4)用总人数乘以 “ 听音乐 ” 所占的百分比计算即可得解 . 答案： (1)一共抽查的学生： 816%=50 人； (2)参加 “ 体育活动 ” 的人数为： 5030%=15 ， 补全统计图如图所示： (3)“ 享受美食 ” 所对应扇形的圆心角的度数为： 360 =72 ； (4)该校九年级 500 名学生中采用 “ 听音乐 ” 来减压方式的人数为： 500 =120 人 . 五、解答题： (本大题满分 8 分 )要求写出解答过程 .如果运算结果含有根号，请保留根号 . 23.(8 分 )如图， ABFC ， D 是 AB 上一点， DF 交
18、 AC 于点 E， DE=FE，分别延长 FD和 CB交于点 G. (1)求证： ADECFE ； (2)若 GB=2， BC=4， BD=1，求 AB 的长 . 解析 ： (1)由平行线的性质可得： A=FCE ，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明： ADECFE ； (2)由 ABFC ，可证明 GBDFCF ，根据给出的已知数据可求出 CF 的长，即 AD 的长，进而可求出 AB 的长 . 答案： (1)ABFC ， A=FCE ， 在 ADE 和 CFE 中， ， ADECFE (AAS)； (2)ABFC ， GBDFCF ， GB ： GC=BD： CF， GB=2
19、， BC=4， BD=1， 2 ： 6=1： CF， CF=3 ， AD=CF ， AB=AD+BD=4 . 六、解答题： (本大题满分 10 分 )要求写出解答过程 .如果运算结果含有根号，请保留根号 . 24.(10 分 )“ 保护好环境，拒绝冒黑烟 ” .某市公交公司将淘汰某一条线路上 “ 冒黑烟 ” 较严重的公交车，计划购买 A 型和 B 型两种环保节能公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A 型公交车 2 辆， B 型公交车 1 辆，共需 350 万元 . (1)求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？ (2)预计
20、在该线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100万人次 .若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不 超过 1200 万元，且确保这 10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 解析 ： (1)设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y万元，根据 “A 型公交车 1 辆， B 型公交车 2 辆，共需 400 万元； A型公交车 2辆， B 型公交车 1 辆，共需 350万元 ” 列出方程组解决问题； (2)设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车
21、 (10-a)辆，由 “ 购买 A型和 B型公交车的总费用不超过 1200万元 ” 和 “10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680万人次 ” 列 出不等式组探讨得出答案即可 . 答案： (1)设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y万元，由题意得 ，解得 答：设购买 A 型公交车每辆需 100 万元，购买 B 型公交车每辆需 150万元 . (2)设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车 (10-a)辆， 由题意得 ，解得： 6a8 ，所以 a=6， 7， 8； 则 (10-a)=4， 3， 2； 三种方案： 购买 A 型公交车 6 辆，则 B 型公交
22、车 4辆： 1006+1504=1200 万元； 购买 A 型公交车 7 辆，则 B 型公交车 3辆： 1007+1503=1150 万元； 购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2辆： 1008+1502=1100 万元； 购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2辆费用最少，最少总费用为 1100万元 . 七、解答题： (本大题满分 10 分 )要求写出解答过程 .如果运算结果含有根号，请保留根号 . 25.(10分 )如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E是边 BC上一点，点 F在射线 CM上， AEF=90 ，AE=EF，过点 F 作射线 BC 的垂线，垂足为 H，连
23、接 AC. (1)试判断 BE 与 FH 的数量关系，并说明理由； (2)求证： ACF=90 ； (3)连接 AF，过 A、 E、 F 三点作圆，如图 2，若 EC=4， CEF=15 ，求 的长 . 解析 ： (1)利用 ABEEHF 求证 BE=FH， (2)由 BE=FH， AB=EH，推出 CH=FH，得到 HCF=45 ，由四边形 ABCD是正方形，所以 ACB=45 ，得出 ACF=90 ， (3)作 CPEF 于 P，利用相似三角形 CPEFHE ，求出 EF，利用公式求出 的长 . 答案： (1)BE=FH. 证明： AEF=90 ， ABC=90 ， HEF+AEB=90
24、， BAE+AEB=90 ， HEF=BAE ， 在 ABE 和 EHF 中， ， ABEEHF (AAS)BE=FH . (2)由 (1)得 BE=FH， AB=EH， BC=AB ， BE=CH ， CH=FH ， HCF=45 ， 四边形 ABCD 是正方形， ACB=45 ， ACF=180 -HCF -ACB=90 . (3)由 (2)知 HCF=45 ， CF= FH. CFE=HCF -CEF=45 -15=30 . 如图 2，过点 C 作 CPEF 于 P，则 CP= CF= FH. CEP=FEH ， CPE=FHE=90 ， CPEFHE . ，即 ， EF=4 . AEF
25、 为等腰直角三角形， AF=8 . 取 AF 中点 O，连接 OE，则 OE=OA=4， AOE=90 ， 的弧长为： =2 . 八、解答题： (本大题满分 10 分 )要求写出解答过程 .如果运算结果含有根号，请保留根号 . 26.(10 分 )在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+(k-1)x-k 与直线 y=kx+1 交于 A， B两点，点A 在点 B 的左侧 . (1)如图 1，当 k=1 时，直接写出 A， B 两点的坐标； (2)在 (1)的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 AB 下方，试求出 ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； (3)如图 2，抛物线 y=x
26、2+(k-1)x-k(k 0)与 x 轴交于点 C、 D 两点 (点 C 在点 D 的左侧 )，在直线 y=kx+1 上是否存在唯一一点 Q，使得 OQC=90 ？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)当 k=1 时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点 A、 B 的坐标； (2)如答图 2，作辅助线，求出 ABP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点 P 的坐标； (3)“ 存在唯一一点 Q，使得 OQC=90” 的含义是，以 OC为直径的圆与直线 AB相切于点 Q，由圆周角定理可知，此时 OQC=90 且点 Q 为唯一 .以此为基础，构造相
27、似三角形，利用比例式列出方程，求得 k 的值 . 答案： (1)当 k=1 时，抛物线解析式为 y=x2-1，直线解析式为 y=x+1. 联立两个解析式，得： x2-1=x+1，解得： x=-1 或 x=2， 当 x=-1 时， y=x+1=0；当 x=2 时， y=x+1=3， A (-1， 0)， B(2， 3). (2)设 P(x， x2-1). 如答图 2 所示，过点 P 作 PFy 轴，交直线 AB于点 F，则 F(x， x+1). PF=y F-yP=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2. SABP =SPFA +SPFB = PF(xF-xA)+ PF(xB-xF)= PF(
28、xB-xA)= PF SABP= (-x2+x+2)=- (x- )2+ 当 x= 时， yP=x2-1=- .ABP 面积最大值为 ，此时点 P 坐标为 ( ， - ). (3)设直线 AB： y=kx+1与 x 轴、 y 轴分别交于点 E、 F，则 E(- ， 0)， F(0， 1)， OE= ， OF=1. 在 RtEOF 中，由勾股定理得： EF= = . 令 y=x2+(k-1)x-k=0，即 (x+k)(x-1)=0，解得： x=-k 或 x=1.C (-k， 0)， OC=k. 假设存在唯一一点 Q，使得 OQC=90 ，如答图 3 所示， 则以 OC 为直径的圆与直线 AB 相切于点 Q，根据圆周角定理，此时 OQC=90 . 设点 N 为 OC 中点，连接 NQ，则 NQEF ， NQ=CN=ON= .EN=OE -ON= - . NEQ=FEO ， EQN=EOF=90 ， EQNEOF ， ，即： ，解得： k= ， k 0， k= . 存在唯一一点 Q，使得 OQC=90 ，此时 k= .
