1、考研数学一-403 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 的值是_ A B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.有两个第一类间断点B.有一个第一类间断点，一个第二类间断点C.有两个第二类间断点D.没有间断点3.设直线 l： （分数：4.00）A.a=5，b=-2B.a=-5，b=2C.a=-5，b=-2D.a=5，b=24.设 D=(x，y)|0x1，0y1，则二重积分 的值为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设向量组 1 ， 2 ， m 和向量组 1 ， 2 ， t
2、的秩相同，则正确结论的个数是_ 两向量组等价； 两向量组不等价； 若 t=m，则两向量组等价； 若两向量组等价，则 t=m 若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， t 线性表示，则两向量组等价； 若 1 ， 2 ， t 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则两向量组等价（分数：4.00）A.5B.4C.3D.26. 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随
3、机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+bY 亦不相关，则_（分数：4.00）A.a-b=1B.a-b=0C.a+b=1D.a+b=08.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的一个样本，其中 2 未知，检验假设 H 0 ：= 0 ，H 1 ： 0 则选取的统计量及其拒绝域分别是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）10.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x -ye y =z
4、e z 所确定，则 du= 1 （分数：4.00）11.定积分 （分数：4.00）12.设 是由平 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 （分数：4.00）13.设 A 为 3 阶方阵，如果 A -1 的特征值是 1，2，3，则|A|的代数余子式 A 11 +A 22 +A 33 = 1 （分数：4.00）14.设 A 和 B 独立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，则 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，+)上可导，且当 xa 时，f“(x)k0(k 为常数)证明：如果 f(a)0，则方程 f(x)=0 在区间 （分数：10.0
5、0）_16.设 y 1 =x，y 2 =x+e 2x ，y 3 =x(1+e 2x )是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程 （分数：10.00）_17.设函数 y=f(x)有二阶导数，且 f“(x)0，f(0)=0，f“(0)=0，求 （分数：10.00）_18.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数 （分数：10.00）_19.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明： （分数：10.00）_20.设齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系为 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =
6、(1，2，-1，3) T Bx=0 的基础解系为 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解 （分数：11.00）_21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0y1，yxy+1上服从均匀分布，令 Z=X-Y，求：（分数：11.01）(1).X 与 Y 的边缘概率密度函数并判断随机变量 X 与 Y 的独立性；（分数：3.67）_(2).随机变量函数 Z 的概率密度函数；（分数：3.67）_(3).Cov(X，Y)（分数：3.67）_已知总体 X 的概率密度为 （
7、分数：11.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：5.50）_(2).判断这个估计量是否为 的无偏估计量（分数：5.50）_考研数学一-403 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 的值是_ A B1 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 求未定式的极限 解析 利用重要极限及极限运算法则可得结果 解： 2.设 （分数：4.00）A.有两个第一类间断点 B.有一个第一类间断点，一个第二类间断点C.有两个第二类间断点D.没有间断点解析：考点 函数间断点的判断 解析 先求出 f(x)的具体表达式，再用间断点的定义判
8、断即可 解： 在分段点 x=-1 处，因为 所以 x=-1 为第一类间断点(跳跃间断点) 在分段点 x=1 处，因为 3.设直线 l： （分数：4.00）A.a=5，b=-2B.a=-5，b=2C.a=-5，b=-2 D.a=5，b=2解析：考点 求平面方程 解析 先求出曲面过点(1，-2，5)的切平面，再将直线 L 代入即可得 a，b 的值 解：曲面 z=x 2 +y 2 在点(1，-2，5)处的法向量 n=2，-4，-1于是切平面方程为 2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0 即 2x-4y-z=5， (*) 又由直线 L： 4.设 D=(x，y)|0x1，0y1，则二重积分 的值为_
9、 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 二重积分计算 解析 先去掉被积函数的绝对值符号，再将二重积分化为二次积分进行计 解：如图所示，由于 从而有 故应选 C 5.设向量组 1 ， 2 ， m 和向量组 1 ， 2 ， t 的秩相同，则正确结论的个数是_ 两向量组等价； 两向量组不等价； 若 t=m，则两向量组等价； 若两向量组等价，则 t=m 若 1 ， 2 ， m 可由 1 ， 2 ， t 线性表示，则两向量组等价； 若 1 ， 2 ， t 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则两向量组等价（分数：4.00）A.5B.4C.3D.2 解析：考点 向量组的等价 解析
10、 利用向量组等价的定义和常用结论 解：若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立 反例：向量组()只含一个向量 ， 向量组()只含一个向量 6. 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 非齐次线性方程组解的结构 解析 根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可 解：根据线性方程组解的性质，可知 2 1 -( 2 + 3
11、 )=( 1 - 2 )+( 1 - 3 ) 是非齐次线性方程组 Ax=b 导出组 Ax=0 的一个解因为 r(A)=3，所以 Ax=0 的基础解系含 4-3=1 个解向量，而 2 1 -( 2 + 3 )=(2，3，4，5) T 0，故是 Ax=0 的一个基础解系因此 Ax=b 的通解为 1 +c(2 1 - 2 - 3 )=(1，2，3，4) T +c(2，3，4，5) T ， 即 C 正确 对于其他几个选项，A 项中 (1，1，1，1) T = 1 -( 2 + 3 )， B 项中 (0，1，2，3) T = 2 + 3 ， D 项中 (3，4，5，6) T =3 1 -2( 2 + 3
12、 )， 都不是 Ax=b 的导出组的解所以 A、B、D 均不正确 故应选 C7.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+bY 亦不相关，则_（分数：4.00）A.a-b=1B.a-b=0C.a+b=1D.a+b=0 解析：考点 考查正态分布以及不相关 解析 利用正态分布的数字特征以及不相关概念进行判断 解：XN(-1，2)，YN(1，2)，于是 D(X)=2，D(Y)=2 又 Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0 由协方差的性质有 Cov(aX+Y，X+bY) =aCov(X，X)+Cov(Y，X)+a
13、bCov(X，Y)+bCov(Y，Y) =aD(X)+bD(Y) =2a+2b=0 故 a+b=0 故应选 D8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的一个样本，其中 2 未知，检验假设 H 0 ：= 0 ，H 1 ： 0 则选取的统计量及其拒绝域分别是_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 考查正态总体参数检验 解析 利用正态总体对参数 进行检验的方法可得正确选择 解：正态总体当 2 未知检验 时，需用 t 检验 故应选 A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）解析： 考点 求渐近线 解析 直接用斜渐近线方
14、程公式进行计算即可 解：因为 故所求斜渐近线方程为 故应填 10.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x -ye y =ze z 所确定，则 du= 1 （分数：4.00）解析： 考点 多元函数全微分与隐函数求导法 解析 利用多元函数全微分公式与隐函数求导法即可得 解法一：设 F(x，y，z)=xe x -ye y -ze z ，则 F“ x =(x+1)e x ，F“ y =(y+1)e y ，F“ z =-(z+1)e z 故 而 所以 解法二：在 xe x -ye y =ze z 两边微分，得 e x dx+xe x dx-e y dy-ye y
15、dy=e z dz+ze z dz， 故出 由 u=f(x，y，z)，得 du=f“ x dx+f“ y dy+f“ z dz，因此 故应填 11.定积分 （分数：4.00）解析： 考点 定积分计算 解析 利用定积分的性质、换元积分法及恒等式： 解： 对于积分 代入上式，于是， 故应填 12.设 是由平 x+y+z=1 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 （分数：4.00）解析： 考点 三重积分计算 解析 在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算 解法一：利用轮换对称性，知 ，于是 解法二：直接计算 故应填 13.设 A 为 3 阶方阵，如果 A -1 的特征值是 1，2，3，则|A|的代数余
16、子式 A 11 +A 22 +A 33 = 1 （分数：4.00）解析：1 考点 代数余子式，属难点题型 解析 注意到 A 11 +A 22 +A 33 恰为伴随矩阵 A*的主对角线元素之和，即 A*的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出 A*的特征值即可 解：因为 A -1 的特征值为 1，2，3，所以|A -1 |=123=6，从而 又因为 ，所以 故 A*的特征值为 所以 14.设 A 和 B 独立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，则 （分数：4.00）解析： 考点 考查随机事件的概率 解析 利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果 解： 故应填 三、解答题(
17、总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在a，+)上可导，且当 xa 时，f“(x)k0(k 为常数)证明：如果 f(a)0，则方程 f(x)=0 在区间 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：先证根的存在性由题设知，f(x)在 上满足拉格朗日中值定理条件，故有 即 (因为 f(a)0，f“()k0)， 又 f(a)0，由零点定理知，方程 f(x)=0 在 内有实根 再由 f“(x)0(xa)且 f(x)在 xa 处连续知，f(x)在 上单调减少，故方程 f(x)=0 在 16.设 y 1 =x，y 2 =x+e 2x ，y 3 =x(1+e 2x )是二阶常系数线性非齐次方程
18、的解，求该微分方程的通解及该方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：设所求二阶常系数线性非齐次方程为 y“+a 1 y“+a 2 y=f(x)， (*) 对应的齐次方程为 y“+a 1 y“+a 2 y=0， (*) 由非齐次方程与齐次方程解的关系，可知 y 2 -y 1 =e 2x ，y 3 -y 1 =xe 2x 是方程(*)的解， 又因为 17.设函数 y=f(x)有二阶导数，且 f“(x)0，f(0)=0，f“(0)=0，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：曲线 y=f(x)在点 p(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)， 令 Y=0
19、，则有 ，由此 ，且有 由 f(x)在 x=0 处的二阶泰勒公式 得 因此 18.已知函数 f(x，y)=x+y+xy，曲线 C：x 2 +y 2 +xy=3，求 f(x，y)在曲线 C 上的最大方向导数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由条件知 f“ x (x，y)=1+y，f“ y (x，y)=1+x，于是梯度为 gradf(x，y)=f“ x i+f“ y j=(1+y)i+(1+x)j， 由梯度与方向导数 的关系，知 于是问题转化为求函数 在约束条件 C：x 2 +y 2 +xy=3 下的最大值 为计算方便可将问题转化为求函数 T(x，y)=H 2 (x，y)=(1+y)
20、 2 +(1+x) 2 在条件 C：x 2 +y 2 +xy=3 下的最大值，于是由拉格朗日乘法，令 F(x，y，)=(1+y) 2 +(1+x) 2 +(x 2 +y 2 +xy-3) 则 解得 于是得下列可疑点：A 1 (1，1)，A 2 (-1，-1)，A 3 (2，-1)，A 4 (-1，2) 所求最大值为 19.设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证：由于 同理，可得 其中 D=(x，y)|0x1,0y1 (*) 将(*)、(*)相加，并注意到假设及(x-y)f(x)-f(y)0， 故 20.设齐次线性方程组 Ax=0 的基础
21、解系为 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T Bx=0 的基础解系为 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：设非零公共解为 ，则 既可由 1 和 2 线性表示，也可由 1 和 2 线性表示 设 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 ，则 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 2 =0 当 a=0 时， 解得 21.已知矩阵 和 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解：因为 A，B 相似，所以
22、|A|=|B|，且 tr(A)=tr(B)， 即 解得 故 A 的两个特征值为-1，-1 但 因此 r(-E-A)=1，所以不能对角化 设 ，满足 P -1 AP=B，即有 AP=PB，从而 整理得 解得基础解系为 所以 ，k 1 ，k 2 为非零常数 令 所以可令 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0y1，yxy+1上服从均匀分布，令 Z=X-Y，求：（分数：11.01）(1).X 与 Y 的边缘概率密度函数并判断随机变量 X 与 Y 的独立性；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其联合概率密度函数为 若区域 D 表示为 D=(x，
23、y)|0x1，0yx(x，y)|1x2，x-1y1，则 X 的边缘概率密度函数为 若区域 D 表示为 D=(x，y)|0y1，yxy+1，则 Y 的边缘概率密度函数为 (2).随机变量函数 Z 的概率密度函数；（分数：3.67）_正确答案：()解析：将 D=(x，y)|0y1，yxy+1转化为 yOz 平面的区域，则 D“=(y，z)|0y1，y2+yy+1=(y，z)|0y1，0z1 于是由卷积公式可得随机变量函数 Z 的概率密度函数为 (3).Cov(X，Y)（分数：3.67）_正确答案：()解析：因为 所以 已知总体 X 的概率密度为 （分数：11.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：似然函数为 解得 ， 所以 的最大似然估计量为 (2).判断这个估计量是否为 的无偏估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析： 而 ， 所以 ， 故 是 的无偏估计量 考点 考查最大似然估计与无偏性 解析 先求参数 的最大似然估计量，再利用
