1、考研数学一-405 (1)及答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：103.00)1.设 （分数：3.00）_2.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：3.00）_3.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：3.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：3.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数
2、：1.50）_(2).存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：1.50）_4.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：3.00）_5.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：3.00）_6.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()-f()=f(2)-2f(1)（分数：3.00）_7.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0 （分数：3.00）_8.设 f(
3、x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：3.00）_9.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0 （分数：3.00）_10.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f“()0，f“()0 （分数：3.00）_11.设 ba0，证明： （分数：3.00）_12.设 f(x)在a，b上满足|f“(x
4、)|2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： |f“(a)|+|f“(b)|2(b-a)（分数：3.00）_13.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又|f“(x)|M，证明： （分数：3.00）_14.证明：当 x1 时， （分数：3.00）_15.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x) （分数：3.00）_16.证明：当 x0 时， （分数：3.00）_17.求 （分数：3.00）_18.设 PQ 为抛物线 （分数：3.00）_19.证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2 (1+x)x 2 （分数：3.00）_20.证明：当 0x1，证明：
5、 （分数：3.00）_21.设 ba0，证明： （分数：3.00）_22.当 时，证明： （分数：3.00）_23.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明 （分数：3.00）_24.证明方程 （分数：3.00）_25.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点 （分数：3.00）_26.设 （分数：3.00）_27.证明：当 x0 时， （分数：3.00）_28.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根 （分数：3.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明
6、：存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)= （分数：3.00）_30.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0 （分数：3.00）_设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= （分数：3.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：1.50）_(2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：1.50）_设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：3.00）(1).
7、存在 (1，2)，使得 （分数：1.50）_(2).存在 (1，2)，使得 （分数：1.50）_31.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数 （分数：4.00）_考研数学一-405 (1)答案解析(总分：103.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：103.00)1.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， ； 当 x=0 时， ， 故 因为 2.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=
8、(b-x) a f(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0，由 “(x)=(b-x) a-1 (b-x)f“(x)-af(x)得 (b-) a-1 (b-)f“()-af()且(b-) a-1 0，故 3.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 ， (x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，
9、b)使 “()=0，即 由于 g(b)=0 及 g“(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0， 从而就有 ，于是有 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：3.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -x2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=e -x2 f“(x)-2xf(x)且 e -x2 0，故 f“()=2f()(2).存在 (a，b)，使得 f“()+f()
10、=0（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=xf“(x)+f(x)，故 f“()+f()=04.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F“()=
11、0，而 F“(x)=f“(x)g(b)+f(a)g“(x)-f“(x)g(x)-f(x)g“(x)，所以 解析 这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 5.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0 而 “(x)= f(t)dt+(x-1)f(x)，故 f(t)dt+(-1)f()=0 解析 由 f(t)dt+(x-1)f(x)=0，得 f(t)dt+xf(x)-f(x)=0，从而 ，辅助函数
12、为 6.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()-f()=f(2)-2f(1)（分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 ， 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)-f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 “()=0， 而 ，故 f“()-f()=f(2)-2f(1) 解析 由 xf“(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得 ，从而 ，辅助函数为 7.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f“()+f“()=0 （分数：3.00）_正
13、确答案：()解析：证明 存在 ，使得 8.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=x 2 ，F“(x)=2x0(axb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 ，整理得 ，再由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 ，故 9.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由微分中值定理，存
14、在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 因为点 A，B，C 共线，所以 f“( 1 )=f“( 2 )， 又因为 d(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) 10.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且 f(x)在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f“()0，f“()0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在a，b上不恒为常数且 f(a)=f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=f(b)，不妨设 f(c)f(a)=f(b)， 由微分中值定理，存在 E(a，c)，(c，b)，使得
15、11.设 ba0，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 方法一 令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)-f(a)=f“()(b-a)= ， 其中 (a，b) 因为 0ab，所以 ，从而 ，即 方法二 等价于 b(lnb-lna)b-a，令 1 (x)=x(lnx-lna)-(x-a)， 1 (a)=0，“ 1 (x)=lnx-lna0(xa) 由 得 1 (x)0(xa)，而 ba，所以 1 (b)0，从而 ，同理可证 12.设 f(x)在a，b上满足|f“(x)|2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明： |f“(a)|+|f“(b)|2(b-a)（分数：3.0
16、0）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为 f(x)在a，b上的最小值，从而 f“(c)=0 由微分中值定理得 两式取绝对值得 13.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又|f“(x)|M，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由泰勒公式得 两式相减得 f“(x)= f“()x 2 -f“()(1-x) 2 ， 取绝对值得|f“(x)| x 2 +(1-x) 2 ， 因为 x 2 x，(1-x) 2 1-x,所以 x 2 +(1-x) 2 1，故 14.证明：当 x1 时， （分数：3.
17、00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，f(1)=2ln20， 因为 f“(x)=ln(1+x)+1-lnx-1=ln(1+ )0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln20 得当 x1 时，f(x)0，即 解析 当 x1 时， 15.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x) （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0； f“(x)=2x-ln 2 (1+x)-2ln(1+x)，f“(0)=0： 由 得 f“(x)0(x0)； 由
18、 16.证明：当 x0 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 ， 因为 ，所以 f(x)在(0，+)内为单调减函数， 又因为 ，所以 ，即 17.求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=(1-x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1， ，因为 y“(0)=10， ，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为18.设 PQ 为抛物线 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，因为 关于 y 轴对称，不妨设 a0 ，过 P 点的法线方程为 ， 设 ，因为 Q 在法线上，所以 ，解得 PQ 的长度的平方为 ， 由 得 为
19、唯一驻点，从而为最小点， 故 PQ 的最小距离为 19.证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2 (1+x)x 2 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0； f“(x)=2x-ln 2 (1+x)-2ln(1+x)，f“(0)=0； 由 得 f“(x)0(0x1)； 再由 20.证明：当 0x1，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)- arcsinx，f(0)=0， 由 得当 0x1 时，f(x)0，故 解析 21.设 ba0，证明： （分数：3.00）_正确答案
20、：()解析：证明 令 (x)=(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)，(a)=0， 由 ，再由 22.当 时，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x-sinx，f(0)=0， f“(x)=1-cosx0(0x )， 由 即当 时，sinxx； 令 g“(x)=-cosx0(0x )，即 g(x)在(0， )内上凸， 由 故当 时， 23.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 ， 因为 f(x)1，所以 ，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0 因为 “(x)=2-
21、f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 24.证明方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 ，令 ，令 ，得 x=e，因为 ，所以 为 f(x)的最大值，又因为=-，25.设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 f(x)的定义域为(0，+)， 由 f“(x)=lnx+1=0，得驻点为 ，由 ，得 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有唯一零点 ； (3)当 时
22、，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 与 26.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 ，所以 f(x)在(-，+)上单调增加 因为 ，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，则 y=f(x)在(-，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0，0)为 y=f(x)的拐点 因为 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)为奇函数 由 27.证明：当 x0 时， （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 由 28.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根
23、 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=arctanx-ax，由 ， 由 为 f(x)的最大点， 由 ，f(0)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于 29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)= （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=lnx， ， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 ， 即 ，整理得 f(b)-f(a)= 30.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“
24、()+f()g“()=0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=f(x)e g(x) ， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 “()=0， 因为 “(x)=e g(x) f“(x)+f(x)g“(x)且 e g(x) 0，所以 f“()+f()g“()=0设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= （分数：3.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 ，F“(x)=f(x)， f(t)dt=F(2)-F(0)=F“(c)
25、(2-0)=2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 ，即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )， 于是 f(0)=f(c)=f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (c，x 0 ) (2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 (x)=e -2x f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) 设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：3.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 令 h(x)=lnx， ，且 F“(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 (2).存在 (1，2)，使得 （分数：1.50）_正确答案：()解析：证明 由 得 f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得 f()=f()-f(1)=f“()(-1)，其中 1， 故 31.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数 （分数：4.00）_
