1、考研数学一-406 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在区间0，1上连续，且 0f(x)1，又设 ，则级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与具体的 f(x)有关3.设 g(x)在(-，+)内存在二阶导数，且 g“(x)0令 f(x)=g(x)+g(-x)，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f“(x)0B.f“(x)0C.f“(x)与 x 同号D.f“(x)与 x 反号4.设 f(x)连续且 f(x)0， （分数：4.00）A
2、.f(x)sinxB.f(x)cosxC.f(x)(sinx+cosx)D.f(x)5.设 A 是 4 阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_ A.Ax=0；A 2x=0 B.A2x=0；A 3x=0 C.A3x=0；A 4x=0 D.A4x=0；A 5x=0（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.ad-bc0B.b，c 同号C.b=cD.b，c 异号7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 ，若 PXY （分数：4.00）A.12B.12C.12D.128.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 ，X 2 均服从 N(0，1)，PX 3 =-
3、1= ，则 Y=X 1 +X 2 X 3 的密度函数 f Y (y)为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）10.微分方程 （分数：4.00）11.设 ，则 （分数：4.00）12.函数 f(x，y)=3+9x-6y+4x 2 -5y 2 +2xy+x 3 +2xy 2 -y 3 在点(1，-1)展开至 n=2 的泰勒公式为f(x，y)= 1+R 2 ，其中余项 R 2 = 2 （分数：4.00）13.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 （分数：4.00）14.设随机事件 A，B 满足 （分数
4、：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 D 为曲线 y=x 3 与直线 y=x 围成的两块区域，求二重积分 （分数：10.00）_16.将函数 （分数：10.00）_设微分方程 xy“+2y=2(e x -1)（分数：10.00）(1).求上述微分方程的通解，并求 存在的那个解(将该解记为 y 0 (x)，以及极限值 （分数：5.00）_(2).补充定义使 y 0 (x)在 x=0 处连续，求 y“ 0 (x)，并请证明无论 x0 还是 x=0，y“ 0 (x)均连续，并请写出 y“ 0 (x)的表达式（分数：5.00）_17.设 x0,证明： （分数：10.00）_1
5、8.设点 M(，)是椭球面 上第一卦限中的点，S 是该椭球面在点 M 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧求点(，)使曲面积分 （分数：10.00）_19.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，已知 E m +AB 可逆 ()验证 E n +BA 可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A； ()设 （分数：11.00）_(1).设 （分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_设 X 和 Y 的联合密度函数为 （分数：11.00）(1).求 Z=Y-X 的密度函数；（分数：5.50）_(2).求数学期望 E(X+Y)（分数：5.50）_设总
6、体 X 的概率分布为 （分数：11.00）(1).试利用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 （分数：5.50）_(2).设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X(其未知参数 为上一小题中确定的 )的简单随机样本，当 n 充分大时，取值为 2 的样本个数 N 满足 （分数：5.50）_考研数学一-406 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 作积分变量代换 u=x-t， 而 则原极限 2.设 f(x)在区间0，1上连续，且 0
7、f(x)1，又设 ，则级数 （分数：4.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与具体的 f(x)有关解析：解析 由于 0f(x)1 且 f(x)连续，所以 且 所以 发散，并且由莱布尼茨判别法知，交错级数 收敛，所以 3.设 g(x)在(-，+)内存在二阶导数，且 g“(x)0令 f(x)=g(x)+g(-x)，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f“(x)0B.f“(x)0C.f“(x)与 x 同号D.f“(x)与 x 反号 解析：解析 由 f(x)=g(x)+g(-x)，有 f“(x)=g“(x)-g“(-x)，f“(x)=g“(x)+g“(-x)0，f“(0)=0再由拉格朗
8、日中值定理有 f“(x)=f“(0)+xf“()=xf“()，所以 f“(x)与 x 反号，选 D4.设 f(x)连续且 f(x)0， （分数：4.00）A.f(x)sinxB.f(x)cosxC.f(x)(sinx+cosx)D.f(x) 解析：解析 作积分变量变换 x-t=u，再用三角公式，有 5.设 A 是 4 阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是_ A.Ax=0；A 2x=0 B.A2x=0；A 3x=0 C.A3x=0；A 4x=0 D.A4x=0；A 5x=0（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 法一 显然，若 A i x=0，两边左乘 A，得 A i+1 x=0，i
9、=1，2，3，4反之，若 A i+1 x=0，是否有 A i x=0 呢? 取 则 取 1 =(0，0，0，1) T ，有 A 4 x=0，但 A 3 x0C 不成立 取 2 =(0，0，1，0) T ，有 A 3 x=0，但 A 2 x0B 不成立 取 3 =(0，1，0，0) T ，有 A 2 x=0，但 Ax0A 不成立 由排除法，应选(D) 法二 证明 D 成立由法一易知 ，现证 用反证法设 A 5 x=0，但 A 4 x0因 x，Ax，A 2 x，A 3 x，A 4 x，5 个 4 维向量必线性相关，故存在不全为零的数 k 0 ，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 ，使得 k 0
10、x+k 1 Ax+k 2 A 2 x+k 3 A 3 x+k 4 A 4 x=0 (*) (*)式两边左乘 A 4 ，得 因 A 4 x0，则 k 0 =0将 k 0 =0 代入(*)式，得 k 1 Ax+k 2 A 2 x+k 3 A 3 x+k 4 A 4 x=0 (*) 同理可证得 k 1 =0，k 2 =0，k 3 =0，k 4 =0这和已知 5 个 4 维向量线性相关矛盾故 A 5 x=0 A 4 x=0故 6.设 （分数：4.00）A.ad-bc0B.b，c 同号C.b=cD.b，c 异号 解析：解析 对 C，当 b=c 时，A 是实对称矩阵 ，故 C 是充分条件 由 A 的特征值
11、，看什么条件下 A 相似于对角矩阵 对 A，当 ad-bc0 时，由(*)式可知，(a+d) 2 -4(ad-bc)0 A 有两个不同的特征值 故 A 是充分条件 对 B，当 b，c 同正或同负时，由(*)式可知，(a-d) 2 +4bc0 A 有两个不同的特征值 故 B 是充分条件 对 D，当 b，c 异号时，由(*)式知，因 bc0，当(a-d) 2 +4bc=0 时，会有二重特征值例： ，异号，有 1 = 2 =0，但 r(0E-A)=1，线性无关的特征向量只有一个， 7.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 ，若 PXY （分数：4.00）A.12 B.12C.12D.12解析：解析
12、由于 ，故 于是 可知 ，由于 单调不减，则 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 ，X 2 均服从 N(0，1)，PX 3 =-1= ，则 Y=X 1 +X 2 X 3 的密度函数 f Y (y)为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 X 1 ，X 2 相互独立，且均服从 N(0，1)，则 X 1 -X 2 ，X 1 +X 2 均服从 N(0，2)，故 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）解析：0 解析 10.微分方程 （分数：4.00）解析：x=y 2 +y 解析 将 x 看成未知函数，写成 ，
13、即 此为 x 对 y 的一阶线性微分方程， 又因 y| x=2 =10，由公式得 11.设 ，则 （分数：4.00）解析： 解析 取对数化为 n 项之和 所以 12.函数 f(x，y)=3+9x-6y+4x 2 -5y 2 +2xy+x 3 +2xy 2 -y 3 在点(1，-1)展开至 n=2 的泰勒公式为f(x，y)= 1+R 2 ，其中余项 R 2 = 2 （分数：4.00）解析： 解析 x 0 =1，y 0 =-1，则 所以 f(x，y)在点(1，-1)处的 2 阶泰勒公式为 2 阶泰勒公式的余项 13.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 （分数：4.00）解析： 解
14、析 由题设，AB=A-B，(A+E)B=A+E-E，(A+E)(E-B)=E，则 14.设随机事件 A，B 满足 （分数：4.00）解析： 解析 由 ，可得 P(A)=P(B)又由 可得 A，B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=P(A) 2 =P(B) 2 因此 ，得 同理， 故 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 D 为曲线 y=x 3 与直线 y=x 围成的两块区域，求二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 区域 D 如图所示，第一象限部分记为 D 1 ，第三象限部分记为 D 2 ，于是 令 x=-t，则第 2 个积分与第 1 个积分可合并，第
15、 3 个积分与第 6 个积分相抵消，第 4 个积分与第 5 个积分相抵消于是 16.将函数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 展开成(x-2)的幂级数，所以令 x-2=u，即 x=u+2 来考虑较方便 于是 变换为 将 “(u)展开成 u 的幂级数 两边从 u=0 到 u=u 作定积分，得 于是得到 (u)的展开式 当 u=-1 时右边级数收敛，有 于是将(*)式两边令 u-1 + 取极限，得 而左边 所以成立 ，即(*)式成立范围可大到-1u设微分方程 xy“+2y=2(e x -1)（分数：10.00）(1).求上述微分方程的通解，并求 存在的那个解(将该解记为 y 0 (x)
16、，以及极限值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时，原方程化为 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解 其中 C 为任意常数由上述表达式可知，并不是对于任何常数 C， 都存在，存在的必要条件 是 ，即 C=2 当 C=2 时，对应的 y(x)记为 (2).补充定义使 y 0 (x)在 x=0 处连续，求 y“ 0 (x)，并请证明无论 x0 还是 x=0，y“ 0 (x)均连续，并请写出 y“ 0 (x)的表达式（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 令 而当 x0 时， 所以 y“ 0 (x)在 x=0 处连续又显然，y“ 0 (x)在 x0 处也连续，故无论 x0 还
17、是 x=0， 17.设 x0,证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 先证明当 0x1 时， 令 ，有 F(1)=0 记 ，有 ，所以当 0x1 时，“(x)0从而知，当 0x1 时，(x)0，即有 F“(x)0因 F“(1)=0，所以当 0x1 时，F“(x)0又因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0，从而知当0x1 时， 上式中令 ，故知当 1u+时， 又当 x=1 时， ，所以当 0x+时，有 18.设点 M(，)是椭球面 上第一卦限中的点，S 是该椭球面在点 M 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧求点(，)使曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()
18、解析：解 曲面 上点 M(，)处的法向量为 ，切平面方程是 化简即得 该切平面被三坐标面截得的三角形在 xOy 平面上的投影区域为 从而 所以 求 I 的最小值等价于求 =，0a，0b，0c 的最大值，约束条件是 由拉格朗日乘数法得 显然，当 =a 或 =0 时， 最小，故当 时， 最大，I 的最小值为 19.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，已知 E m +AB 可逆 ()验证 E n +BA 可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A； ()设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：证 在不存在歧义的情况下，简化记号，省略 E 的下标 m，n
19、 ()因(E+BA)E-B(E+AB) -1 A =E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A =E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E， 故 E+BA 可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A () 由()知 E+AB 可逆，则 E+BA 可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A， 反之若 E+BA 可逆，则 E+AB 可逆，且(E+AB) -1 =E-A(E+AB) -1 B 因为 E+BA=E+(b 1 ，b 2 ，b 3 )(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T =E+a 1 b 1 +a 2 b 2
20、+a 3 b 3 =E+0=E， 故 E+BA 可逆，(E+BA) -1 =E 故 W=E+AB 可逆，且 W -1 =E-A(E+BA) -1 B=E-(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T E(b 1 ，b 2 ，b 3 ) (1).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 将 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )用配方法化为标准形，得 令 即 得 f 的标准形为 所作的可逆线性变换为 X=Cy，其中 A 对应的二次型的规范形为 (2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由上一小题知， 是 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )的对应矩阵，即 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )
21、=x T Ax 令 x=Cy，其中 ，得 f=x T Ax=y T C T ACy=y T Ey， 故 C T AC=E，A=(C -1 ) T C -1 =D T D，其中 D=C -1 由 故 设 X 和 Y 的联合密度函数为 （分数：11.00）(1).求 Z=Y-X 的密度函数；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 法一 分布函数法 当 z0 时，f(x，y)的非零区域与(x，y)|y-xz的交集为图(a)中的阴影部分， 当 z0 时，f(x，y)的非零区域与(x，y)|y-xz的交集为图(b)中的阴影部分， 故 法二 密度函数法 ，如图(c)所示， 当 z 当 z0 时， 故 (2).求数学期望 E(X+Y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设总体 X 的概率分布为 （分数：11.00）(1).试利用总体 X 的简单随机样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令 则 的矩估计量为 样本均值 所以 的矩估计值 (2).设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X(其未知参数 为上一小题中确定的 )的简单随机样本，当 n 充分大时，取值为 2 的样本个数 N 满足 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由题设知 ，由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得 ，所以
