1、考研数学一-415 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：18.00)1.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：1.00）2.设 ，其中 f 可导，则 （分数：1.00）3. （分数：1.00）4.设 ，则 （分数：1.00）5.设 ，则 （分数：1.00）6.设 f(x，y)满足 （分数：1.00）7. ，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：1.00）8.设 ，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）9.设 ，则 （分数：1.00）10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，x
2、yz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：1.00）11.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1 （分数：1.00）12.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z= 确定的函数，则 （分数：1.00）13.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：1.00）14.由方程 （分数：1.00）15.设 f(x，y，z)=e z yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：1.00）16.曲线 （分数：1.00）17.曲面 z=1-x 2 -y 2 上与平面 x+y-z+3=0
3、平行的切平面为 1 （分数：1.00）18.设 f(x，y)可微，且 f“ 1 (-1，3)=-2，f“ 2 (-1，3)=1，令 （分数：1.00）二、选择题(总题数：7，分数：7.00)19.设 （分数：1.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导20.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：1.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值21.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）A.f“2+xf“11+(
4、x+z)f“12+xzf“22B.xf“12+xzf“22C.f“2+xf“12+xzf“22D.xzf“2222.设 f“ x (x 0 ，y 0 )，f“ y (x 0 ，y 0 )都存在，则_ Af(x，y)在(x o ，y o )处连续 B Cf(x，y)在(x o ，y o )处可微 D （分数：1.00）A.B.C.D.23.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是_（分数：1.00）A.f(x0，y)在 y=y0 处导数为零B.f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零D.f(x0，y)在 y=y
5、0 处导数不存在24.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z-4=0 平行的切线有_（分数：1.00）A.只有一条B.只有两条C.至少有三条D.不存在25.在(0，1)处的梯度为_ （分数：1.00）AiB.-iCjD.-j三、解答题(总题数：19，分数：75.00)26.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_27.求函数 沿 （分数：4.00）_28.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续 （分数：4.00）_29.设 （分数：4.00）_30.讨论 （分数：4.00）_31.讨论 （分数：4.00）_32.设 z=yf(x 2
6、 -y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：4.00）_33.设 z=e x2+y2 sinxy，求 （分数：4.00）_34.设 ，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：4.00）_35.设 ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：4.00）_36.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_37.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：4.00）_38.设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：4.00）_39.设 z=fx+(x-y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导
7、，求 （分数：4.00）_40.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明： （分数：4.00）_41.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：4.00）_42.设 z=f(x，y)由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 确定，求 dz （分数：4.00）_43.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 与 e z -xz=0 确定，求 （分数：4.00）_44.设 f(x+y，x-
8、y)=x 2 -y 2 + ，求 f(u，v)，并求 （分数：3.00）_考研数学一-415 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：18.00)1.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：1.00）解析：解析 z=f(x+y，y+z，z+x)两边求 x 求偏导得 ，解得 2.设 ，其中 f 可导，则 （分数：1.00）解析：z+xy 解析 ， 则 3. （分数：1.00）解析：解析 4.设 ，则 （分数：1.00）解析：解析 5.设 ，则 （分数：1.00）解析：解析 6.设 f(x，y)满足 （分数：1.00
9、）解析：y 2 +xy+1 解析 由 因为 f“ y (x，0)=x，所以 1 (x)=x，即 ， 再由 7. ，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：1.00）解析：解析 8.设 ，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）解析：解析 9.设 ，则 （分数：1.00）解析： 解析 ， 则 10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：1.00）解析： 解析 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)两边对 x 求偏导得 ，于是 11.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1 （分数：1.00）解
10、析： 解析 方法一 z+e z =xy 2 两边对 x 求偏导得 ，解得 ； z+e z =xy 2 两边对 y 求偏导得 ，解得 ， 则 方法二 z+e z =xy 2 两边求微分得 d(z+e z )=d(xy 2 )，即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy， 解得 12.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z= 确定的函数，则 （分数：1.00）解析： 解析 将 代入 e 2yz +x+y 2 +z= 中得 z=0， e 2yz +x+y 2 +z= 两边求微分得 2e 2yz (zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将 x= ，y= ，z=0 代入得
11、13.设 y=y(x)由 确定，则 （分数：1.00）解析：e-1 解析 当 x=0 时，y=1， 两边对 x 求导，得 ，将 x=0，y=1 代入得 14.由方程 （分数：1.00）解析： 解析 两边求微分得 把(1，0，-1)代入上式得 dz=dx- 15.设 f(x，y，z)=e z yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，-1)= 1 （分数：1.00）解析：1 解析 ，x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得 ，将 x=0，y=1，z=-1 代入得 16.曲线 （分数：1.00）解析： 解析 曲线 绕 y 轴一周所得的
12、旋转曲面为 4x 2 +9y 2 +4z 2 =25，n=8x，18y，8z (0，-1，2) =0，-18，16，所求的单位法向量为 17.曲面 z=1-x 2 -y 2 上与平面 x+y-z+3=0 平行的切平面为 1 （分数：1.00）解析：zx+2y-2z+3=0 解析 设切点坐标为 ，则 n=2x 0 ，2y 0 ，1/1，1，-1， 解得切点坐标为 ，切平面方程为 18.设 f(x，y)可微，且 f“ 1 (-1，3)=-2，f“ 2 (-1，3)=1，令 （分数：1.00）解析：-7dx+3dy 解析 ， 则 二、选择题(总题数：7，分数：7.00)19.设 （分数：1.00）A
13、.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导 C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导解析：解析 因为 不存在，所以 f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导； 因为 20.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：1.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值解析：解析 因为 ，所以由极限的保号性，存在 0，当 时， 因为当 时，|x|+y 2 0，所以当 0 21.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：1.00）A.f“2+xf“11+(x+z)f“12+xzf“2
14、2B.xf“12+xzf“22C.f“2+xf“12+xzf“22 D.xzf“22解析：解析 22.设 f“ x (x 0 ，y 0 )，f“ y (x 0 ，y 0 )都存在，则_ Af(x，y)在(x o ，y o )处连续 B Cf(x，y)在(x o ，y o )处可微 D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A 不对； 函数 在(0，0)处可偏导，但 不存在，B 不对；f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条件，C 不对，应选 D事实上由 存在得 23.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取
15、得极小值，则下列结论正确的是_（分数：1.00）A.f(x0，y)在 y=y0 处导数为零 B.f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零C.f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零D.f(x0，y)在 y=y0 处导数不存在解析：解析 可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则有 f“ x (x 0 ，y 0 )=0，f“ y (x 0 y 0 )=0，于是 f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零，选 A24.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z-4=0 平行的切线有_（分数：1.00）A.只有一条B.只有两条 C.至少有三
16、条D.不存在解析：解析 T=1，-2t，3t 2 ，平面的法向量为 n=1，2，1，令 1-4t+3t 2 =0，解得 t=1， 25.在(0，1)处的梯度为_ （分数：1.00）Ai B.-iCjD.-j解析：解析 由 三、解答题(总题数：19，分数：75.00)26.设 u=x yz ，求 du （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ， 由 u=e yzlnx 得 ， ， 故 27.求函数 沿 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 的梯度为 l=x，z，y， 梯度的方向余弦为 又 故所求的方向导数为 28.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续 （分数：4.00）_
17、正确答案：()解析：解 设 ，显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但 不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导 设 因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0 因为 ，所以 29.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 不存在，故函数 f(x，y)在点(0，0)处不连续 因为 30.讨论 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，且 ，所以 ，即函数 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 ，所以 f“ x (0，0)=0，根据对
18、称性得 f“ y (0，0)=0，即函数 f(x，y)在(0，0)处可偏导 z-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y=f(x，y)-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y= ， 因为 31.讨论 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 ，所以 f“ x (0，0)=0，由对称性得 f“ y (0，0)=0，即函数 f(x，y)在点(0，0)处可偏导 z-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y=f(x，y)-f“ x (0,，0)x-f“ y (0，0)y= ， 因为 ，且 32.设 z=yf(x 2 -y 2
19、)，其中 f 可导，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 ，则 33.设 z=e x2+y2 sinxy，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 34.设 ，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 35.设 ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 故 36.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 则 37.设 z=fxg(y)，x-y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 3
20、8.设 z=z(x，y)由 xyz=x+y+z 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 F=xyz-x-y-z， 则 方法二 xyz=x+y+z 两边对 x 求偏导得 ，解得 ， 故 39.设 z=fx+(x-y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 z=fx+(x-y)，y两边对 y 求偏导得 ， 40.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 两边对 x 求偏导得 ，解得 ，则 两边对 y 求
21、偏导得 ，解得，则 ，所以41.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 及 ，解得 ，于是 42.设 z=f(x，y)由方程 z-y-x+xe z-y-x =0 确定，求 dz （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 对 z-y-x-xe z-y-x =0 两边求微分，得 dz-dy-dx+e z-y-x dx+xe z-y-x (dz-dy-dx)=0， 解得 43.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0 与 e z -xz=0 确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 ，方程 e xy -y=0 两边对 x 求导得 ，解得 ； 方程 e z -xz=0 两边对 x 求导得 ，解得 ， 则 44.设 f(x+y，x-y)=x 2 -y 2 + ，求 f(u，v)，并求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 从而 ， 于是
