1、考研数学三-415 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 （分数：4.00）A.k=2，a=-2B.k=-2，a=-2C.k=2，a=2D.k=-2，a=22.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设函数 f(u)可导，且 y+z=xf(y 2 -z 2 )确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）AzBxCyD.
2、04.设级数 条件收敛， ，则_ A级数 都发散 B级数 都收敛 C级数 收敛， 发散 D级数 发散， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 （分数：4.00）A.A，B，CB.A，C，DC.B，DD.A，C6.设 1 ， 2 ， 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是_（分数：4.00）A.a1+a2，a2+a3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1D.1+2+3，21-32+223，31+52-537.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：4.00）A.随 1，2 的增加而增加B.随 1，2 的增加而减少C.与
3、 1，2 的取值无关D.随 1 的增加而增加，随 2 的增加而减少8.设总体 XN(0，1)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本， ， ，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 ，f 有一阶连续的偏导数，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.差分方程 （分数：4.00）13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 B+E=AB，A 的三个特征值为 3，-3，0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 ，且 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分
4、数：94.00)设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 （分数：10.00）(1).确定 a 的值，使得 g(x)为连续函数；（分数：5.00）_(2).求 g“(x)并讨论函数 g“(x)的连续性，（分数：5.00）_15.设区域 D 由曲线 y=-x 3 ，直线 x=1，y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_16.求幂级数 （分数：10.00）_设 a 1 =2， （分数：10.00）(1).证 （分数：5.00）_(2).证明级数 （分数：5.00）_已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点
5、的切线斜率为 0（分数：10.00）(1).求曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：5.00）_(2).计算 （分数：5.00）_设二次型 的矩阵合同于矩阵 （分数：11.00）(1).求常数 a；（分数：5.50）_(2).用正交变换化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准形（分数：5.50）_已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ； 又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分
6、数：5.50）_(2).如果齐次方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求出非零公共解（分数：5.50）_17.设随机变量 X，Y 相互独立同分布，且 XU(0，1)，令 Z=|X-Y|，试求随机变量 Z 的密度函数 （分数：11.00）_18.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本，令 （分数：11.00）_考研数学三-415 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 （分数：4.00）A.k=2，a=-2 B.k=-2，a=-2C.k=2，a=2D.k=-2，a=2解析：
7、解析 2.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 ，得 f“(0)=0，由极限保号定理，存在 0，当 0|x-0| 时， 3.设函数 f(u)可导，且 y+z=xf(y 2 -z 2 )确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：4.00）AzBxCy D.0解析：解析 ，得 得 4.设级数 条件收敛， ，则_ A级数 都发散 B级数 都收敛 C级数 收敛， 发散 D级数 发散，
8、 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 如果 与 都收敛，则由|u n |=a n +b n ，知 必收敛，排除 B； 又 a n -b n =u n ，若 收敛， 收敛，则 5.设 （分数：4.00）A.A，B，CB.A，C，D C.B，DD.A，C解析：解析 矩阵 C 为实对称矩阵，一定可以与对角矩阵相似矩阵 D 有 3 个不同的特征值，一定可以与对角矩阵相似，矩阵 B 有 3 个相同的特征值，且 B 不是对角矩阵，一定不能与对角矩阵相似，反证即可事实上，若存在可逆矩阵 P，使 于是 ，矛盾 至于矩阵 A，其特征值 1 = 2 = 2 ， 3 =5(单，重，重) 当 = 1 =
9、2 =2 时，由(A-2E)x=0， 6.设 1 ， 2 ， 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是_（分数：4.00）A.a1+a2，a2+a3，3-1B.1+2，2+3，1+22+3C.1+22，22+33，33+1 D.1+2+3，21-32+223，31+52-53解析：解析 而 7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：4.00）A.随 1，2 的增加而增加B.随 1，2 的增加而减少 C.与 1，2 的取值无关D.随 1 的增加而增加，随 2 的增加而减少解析：解析 相互独立的服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，所以 8.设总体
10、 XN(0，1)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体的简单随机样本， ， ，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 ，排除 A，B 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析 为奇函数， 所以 10.设 ，f 有一阶连续的偏导数，则 （分数：4.00）解析：解析 11. （分数：4.00）解析：6 解析 (如下图) 12.差分方程 （分数：4.00）解析： 解析 先解 (齐通)，C 为任意常数 再求 的特解， 令 代入原方程，得 需修正，再令 ，代入原方程，得 得 A=2， 13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 B+E=A
11、B，A 的三个特征值为 3，-3，0，则|B -1 +2E|= 1 （分数：4.00）解析：-8 解析 B+E=AB (A-E)B=E，即 A-E 与 B 互为逆矩阵 A 的特征值为 3，-3，0； A-E 的特征值为 2，-4，-1，即 B -1 的特征值为 2，-4，-1 B -1 +2E 的特征值为 4，-2，1 |B -1 +2E|=4(-2)1=-814.设随机变量 ，且 （分数：4.00）解析： 解析 P a b b d (X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1) XY 0 0 0 1 ，立即，得(X，Y)的联合分布律： 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设
12、 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 （分数：10.00）(1).确定 a 的值，使得 g(x)为连续函数；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 a=f“(0)时，g(x)在 x=0 处连续， (2).求 g“(x)并讨论函数 g“(x)的连续性，（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 当 x0 时， 当 x=0 时， 15.设区域 D 由曲线 y=-x 3 ，直线 x=1，y=1 围成，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 对于二重积分，若区域关于 x=0 对称，那么对变量 x，偶倍奇零；若区域关于 y=0 对称，那么对变量 y，偶倍奇零 用 y=x
13、3 (x0)分割区域，于是区域 D 可分为 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 四部分(如下图)，其中 D 1 ，D 2 关于 y 轴对称，D 3 ，D 4 关于 x 轴对称， 又被积函数 xycos(x 2 +y 2 )+1=xycos(x 2 +y 2 )+x，其中 xycos(x 2 +y 2 )既是 x 的奇函数，又是 y的奇函数x 当然是 x 的奇函数，因此 16.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 当|x|1 时，幂级数 收敛，且为绝对收敛； 当 x=1 时，级数为 且都收敛，所以幂级数 的收敛域为-1，1 综上所述， 其中，当 x=1 时，级数为 ，是因
14、为 其中 设 a 1 =2， （分数：10.00）(1).证 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 又 a n ，且以 1 为下界 存在， (2).证明级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由第一小题得 ，而对级数 收敛，由正项级数的比较审敛法，级数 已知曲线 y=f(x)(x0)是微分方程 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点的切线斜率为 0（分数：10.00）(1).求曲线 y=f(x)到 x 轴的最大距离；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由题设条件，f(x)是微分方程初值问题 当 x0 时的特解 先解 2y“+y“
15、-y=0 对应特征方程为 2r 2 +r-1=0， 由于原方程 2y“+y“-y=(4-6x)e kx ，k=-1 正好是特征方程的单根，于是设 2y“+y“-y=(4-6x)e -x 的特解为 y*=x(Ax+B)e -x ， 代入原方程，得 A=1，B=0，则 y*=x 2 e -x ， 由 y(0)=0，y“(0)=0得 C 1 =C 2 =0 y=f(x)=x 2 e -x (2).计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 设二次型 的矩阵合同于矩阵 （分数：11.00）(1).求常数 a；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 与 合同，由惯性定理，A 的两个特征值为正，
16、一个特征值为零 |A|= 1 2 3 =0 即 (2).用正交变换化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )为标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由 1 =0， 2 =4， 3 =9 由(A- 1 E)x=0，解得 ，k 1 0， 由(A- 2 E)x=0，解得 ，k 2 0， 由(A- 3 E)x=0，解得 ，k 3 0， 由于 1 ， 2 ， 3 互不相同，于是所对应的特征向量 ， 已天然正交，只需单位化 已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1 =(1，3，0，2) T ， 2 =(1，2，-1，3) T ； 又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是
17、 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，-3，1，a) T （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 记 C=( 1 ， 2 )，于是，由 AC=A( 1 ， 2 )=0，得 C T A T =0，那么 A T 的列向量是齐次线性方程组 C T x=0 的解向量，又 4-R(A)=2，R(A)=2 (2).如果齐次方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求出非零公共解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ， 既可由 1 ， 2 线性表示，又可以由 1 ， 2 线
18、性表示，故可设 =x 1 1 +x 2 2 =-x 3 1 -x 4 2 ， 于是 x 1 1 +x 2 2 +x 3 1 +x 4 2 =0 既有 当 a=0， 17.设随机变量 X，Y 相互独立同分布，且 XU(0，1)，令 Z=|X-Y|，试求随机变量 Z 的密度函数 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 F Z (z)=PZz =P|X-Y|z )如下图所示，z0，F Z (z)=0； )z1，F Z (z)=1； )0z1， 18.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体的简单随机样本，令 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由于 X 1 ，X 2 ，X n 独立且与 X 同分布，所以
