1、考研数学一-415 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是以 4 为周期的连续函数，且 f“(1)=-1， 则 =_ A （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在1，+)上连续可导，且广义积分 均收敛，则 （分数：4.00）A.1B.0C.+D.-13.设 z=f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处的全增量为 z，若 z=f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微，则在(x 0 ，y 0 )处_（分数：4.00）A.z=dzB.z=f“xx+f“yyC.x=f“xdx+f“ydyD.z=dz+( 为高阶无穷
2、小)4. 的值等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 是 45 的矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列命题错误的是_ A齐次方程组 A T x=0 只有零解 B齐次方程组 A T Ax=0 必有无穷多解 C b，方程组 A T x=b 总有唯一解 D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 为 n 阶反对称矩阵，即 A=-A T ，则对任意 n 维列向量 x，x T Ax_（分数：4.00）A.0B.0C.=0D.大小不确定7.设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为 则下列式子正确的是_ AX=Y BPX=Y=0 C
3、 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 XE(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=_ A.1 B.1+e-1 C.1-e-1 D.e-1（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）10.设 f(t)连续， （分数：4.00）11.微分方程 满足初值条件 （分数：4.00）12.已知 D 是长方形域：axb，0y1，且 则 （分数：4.00）13.设矩阵 （分数：4.00）14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X k )=k 2 ，k=1，2，则 E(aX+b) 2 = 1 （分数：4.00）三、解答
4、题(总题数：9，分数：94.00)15.设 计算 （分数：10.00）_16.设由 （分数：10.00）_17.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0，求 （分数：10.00）_18.将 （分数：10.00）_19.设 f(x)在(-，+)内有连续的导函数，求 其中 L 为从点 （分数：10.00）_20.设 x 1 -x 2 =a 1 ，x 2 -x 3 =a 2 ，x 3 -x 4 =a 3 ，x 4 -x 5 =a 4 ，x 5 -x 1 =a 5 证明：这个方程组有解的充分必要条件是 （分数：11.00）_设二次型 （分数：11.00）(1).写出 f 的矩阵 A；（分数：2.
5、75）_(2).求 f 的秩；（分数：2.75）_(3).写出 A -1 的特征值；（分数：2.75）_(4).用正交变换化二次型为标准形（分数：2.75）_21.N 个人同乘一辆长途汽车，沿途有 n 个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车设每个人在任一站下车是等可能的，求停车次数的数学期望 （分数：11.00）_设分子速度总体 X 服从马克斯威尔(Maxwell)分布 （分数：11.00）(1).求出 的矩估计量和极大似然估计量；（分数：5.50）_(2).指出哪个是无偏估计量(说明理由)（分数：5.50）_考研数学一-415 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一
6、、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是以 4 为周期的连续函数，且 f“(1)=-1， 则 =_ A （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知 F“(x)是以 4 为周期的可导函数，且 F“(x)=f(x)，F“(1)=-1，则有 2.设 f(x)在1，+)上连续可导，且广义积分 均收敛，则 （分数：4.00）A.1B.0 C.+D.-1解析：解析 对 有 由题设知 其中 a 是一个常数 又因为 收敛，且存在极限 必有极限值 a=0，即 3.设 z=f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处的全增量为 z，若 z=f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微，则在
7、(x 0 ，y 0 )处_（分数：4.00）A.z=dzB.z=f“xx+f“yyC.x=f“xdx+f“ydyD.z=dz+( 为高阶无穷小) 解析：解析 由二元函数在一点可微的定义可知应选 D4. 的值等于_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用极坐标计算此二重积分，有 5.线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 是 45 的矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列命题错误的是_ A齐次方程组 A T x=0 只有零解 B齐次方程组 A T Ax=0 必有无穷多解 C b，方程组 A T x=b 总有唯一解 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析
8、因为矩阵的秩 r(A)=行秩=列秩，现 A 的行向量组线性无关，得 r(A)=4. A T 是 54 矩阵，r(A T )=r(A)=4，A T 的列向量线性无关，故 A T x=0 只有零解，A 正确 由于 A T A 是 5 阶矩阵，r(A T A)r(A)=45，故|A T A|=0，因此 A T Ax=0 必有无穷多解，B 亦正确 对 A 按列分块，记 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )， i 是 4 维列向量，由于 r(A)=4，A 中有4 个列向量线性无关，不妨设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，那么 b 与 5 均可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，从而
9、 b 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性表出且表示法不唯一，即D 正确6.设 A 为 n 阶反对称矩阵，即 A=-A T ，则对任意 n 维列向量 x，x T Ax_（分数：4.00）A.0B.0C.=0 D.大小不确定解析：解析 由 X T Ax=(x T Ax) T =x T A T x 及同时有 x T Ax=x T (-A T )x， 得 2x T Ax=x T (A T -A T )x=0.故应选取 C7.设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为 则下列式子正确的是_ AX=Y BPX=Y=0 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 8.设随机变量 XE
10、(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=_ A.1 B.1+e-1 C.1-e-1 D.e-1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 如果先求 Y 的概率密度 f Y (y)计算量会很大，不如直接使用公式 其中 f(x)为指数分布的 X 的概率密度 所以 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）解析：a=1，b=-2解析 10.设 f(t)连续， （分数：4.00）解析：2f(0)解析 11.微分方程 满足初值条件 （分数：4.00）解析： 解析 原方程化为 得通解 由 解得 C=-1，从而 12.已知 D 是长方形域：axb，0y1，且 则 （分数
11、：4.00）解析：2 解析 由于 D 为长方形域，故由二重积分的计算法有 所以 13.设矩阵 （分数：4.00）解析： 解析 因 且|ABC|=|D|，故 则 14.设随机变量 X 服从区间a，b上的均匀分布，E(X k )=k 2 ，k=1，2，则 E(aX+b) 2 = 1 （分数：4.00）解析：16 解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：先画积分区域，D=(x，y)|x|+|y|2的图形如下图： 记 D 1 =(x，y)|x|+|y|1，D 2 =(x，y)|1|x|+|y|2，则有 其中 D 1 与 D 2 关于 x
12、，y 轴都对称，再记 D 11 =(x，y)|0x+y1，x0，y0，D 12 =(x，y)|1x+y2，x0，y0，被积函数 x 2 与 既是 x 又是 y 的偶函数，由区域对称性和被积函数的奇偶性有 对式中 采用极坐标，令 则 x+y=1 化为 于是 所以 16.设由 （分数：10.00）_正确答案：()解析：如图所示， 由 S“(t)=0 解出唯一驻点 ，因此 为极小值又 ，所以 S(t)最大值为 1，最小值为 17.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：这是“ ”型未定式，用洛必达法则 最后一个极限虽是“ ”型，但因 f“(x)未
13、必存在，故不能再用洛必达法则，而须改用其他方法 18.将 （分数：10.00）_正确答案：()解析：为利用熟知的幂级数展开式 我们对原表达式进行变换，即得 为求其收敛域仍可回到原来的两个幂级数，即 及 由于前者的收敛半径为 1，后者为 2，所以前一个级数的收敛区间就是它们公共的收敛区间注意到 x=2 时，前一级数变为妻 级数收敛；x=0时，变为 19.设 f(x)在(-，+)内有连续的导函数，求 其中 L 为从点 （分数：10.00）_正确答案：()解析： 又 对 I 2 有 P(x，y)=yf(xy)，Q(x，y)=xf(xy) 因此积分与路径无关，选取由 A 点到 B 点的双曲线弧段 L
14、1 ：xy=2 作为积分路径，则 故 20.设 x 1 -x 2 =a 1 ，x 2 -x 3 =a 2 ，x 3 -x 4 =a 3 ，x 4 -x 5 =a 4 ，x 5 -x 1 =a 5 证明：这个方程组有解的充分必要条件是 （分数：11.00）_正确答案：()解析： 知， 故方程组有解的充分必要条件是 由同解方程组 得一般解 设二次型 （分数：11.00）(1).写出 f 的矩阵 A；（分数：2.75）_正确答案：()解析：(2).求 f 的秩；（分数：2.75）_正确答案：()解析：由于|A|0，所以 r(A)=3，从而 f 的秩是 3.(3).写出 A -1 的特征值；（分数：2
15、.75）_正确答案：()解析：令|E-A|=0，得 A 的特征值 1 =1， 2 =3， 3 =7，从而 A -1 的特征值是 1， ， (4).用正交变换化二次型为标准形（分数：2.75）_正确答案：()解析：令(E-A)x=0，得属于 1 =1 的特征向量为 1 =(-1，1，1) T ； 令(3E-A)x=0，得属于 2 =3 的特征向量为 2 =(1，1，0) T ； 令(7E-A)x=0，得对应于 3 =7 的特征向量为 3 =(1，-1，2) T 由于 1 ， 2 ， 3 互异，从而 1 ， 2 ， 3 彼此正交 令 i=1，2，3，得 正交矩阵 所求正交变换为 x=Qy，即 经正
16、交变换 x=Qy，二次型化为标准形： 21.N 个人同乘一辆长途汽车，沿途有 n 个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车设每个人在任一站下车是等可能的，求停车次数的数学期望 （分数：11.00）_正确答案：()解析：设随机变量 X i 表示第 i 个车站的停车次数(i=1，2，n) 则 易知 X i 服从下列分布 于是，沿途停车次数的数学期望为 设分子速度总体 X 服从马克斯威尔(Maxwell)分布 （分数：11.00）(1).求出 的矩估计量和极大似然估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：求矩估计量： 求极大似然估计量： (2).指出哪个是无偏估计量(说明理由)（分数：5.50）_正确答案：()解析：矩估计量为无偏估计量，因为
