1、考研数学二-415 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点2.设 y=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=-1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则_（分数：4.00）A.a=1，b=-1，c=3B.a=0，b=-1，c=3C.a=-1，b=1，c=3D.a=1，b=1，c=33.设 ，其中
2、 F 为可微函数，则 （分数：4.00）A.z-xyB.z+xyC.z-2xyD.z+2xy4.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足 （分数：4.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值5.曲线 y=x 2 与 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为_. A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_（分数：4.00）A.y“-
3、y“-y“+y=0B.y“+y“-y“-y=0C.y“+2y“-y“-2y=0D.y“-2y“-y“+2y=07.设四阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 4 =2 1 - 2 + 3 ，则 r(A*)为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.38.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =3，对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 + 3 ， 2 - 3 ， 3 )，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10
4、.设 y=f(x)与 y=sin2x 在(0，0)处切线相同，其中 f(x)可导，则 （分数：4.00）11. （分数：4.00）12.由方程 （分数：4.00）13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）14.设矩阵 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，0f“(x)1，证明： （分数：10.00）_16.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小 （分数：10.00）_17.设 f(u)二阶连续可导，z=f(e
5、x siny)，且 （分数：9.00）_18.设 L： （分数：10.00）_19.已知微分方程 ，作变换 u=x 2 +y 2 ， （分数：11.00）_20.计算二重积分 ，其中区域 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 及曲线 （分数：11.00）_21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 （分数：11.00）_22.设 （分数：11.00）_设二次型 f(x 1 ，
6、x 2 ，x 3 )=X T AX 经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 化为标准形（分数：5.50）_考研数学二-415 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=
7、f(x)的拐点解析：解析 由 得 f“(0)=0，由极限保号性可知，存在 0，当|x| 时， 2.设 y=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=-1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则_（分数：4.00）A.a=1，b=-1，c=3B.a=0，b=-1，c=3 C.a=-1，b=1，c=3D.a=1，b=1，c=3解析：解析 y“=3x 2 +6ax+3b，y“=6x+6a，则有 3.设 ，其中 F 为可微函数，则 （分数：4.00）A.z-xyB.z+xy C.z-2xyD.z+2xy解析：解析 由 得 4.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，
8、在 D 内可偏导且满足 （分数：4.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到 B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值解析：解析 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0 ，y 0 )处取到，即 f(x 0 ，y 0 )=M0，此时 ，这与 5.曲线 y=x 2 与 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为_. A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 6.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2
9、=2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_（分数：4.00）A.y“-y“-y“+y=0 B.y“+y“-y“-y=0C.y“+2y“-y“-2y=0D.y“-2y“-y“+2y=0解析：解析 因为 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x 为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-1，其对应的特征方程为 (-1) 2 (+1)=0，即 3 - 2 -+1=0 则微分方程为 y“-y“-y“+y=0，选 A.7.设四阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 1 ， 2 ， 3 线性无关，
10、而 4 =2 1 - 2 + 3 ，则 r(A*)为_（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 由 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 4 =2 1 - 2 + 3 。得向量组的秩为 3，于是r(A)=3，故 r(A*)=1，选 B.8.设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =3，对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P 1 =( 1 + 3 ， 2 - 3 ， 3 )，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析：解析 10.设 y=f(x)与
11、y=sin2x 在(0，0)处切线相同，其中 f(x)可导，则 （分数：4.00）解析： 解析 由 y=f(x)与 y=sin2x 在(0，0)处切线相同得 f(0)=0，f“(0)=2 由 得 11. （分数：4.00）解析：10解析 12.由方程 （分数：4.00）解析： 解析 两边对 x 求偏导得 则 两边对 y 求偏导得 ， 则 ，于是 13.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）解析：x(1-cosx) 解析 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且 或 ，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 由 14.设矩阵 （分数：4.00）解析：0 或 4 解
12、析 由 得 1 =0， 2 =a， 3 =4 因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0 或 a=4 当 a=0 时，由 r(0E-A)=r(A)=2 得 1 = 2 =0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 合题意； 当 a=4 时， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，1上可导，且 f(0)=0，0f“(x)1，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 再令 ，h(0)=0，h“(x)=2f(x)1-f“(x) 由 f(0)=0，0f“(x)1 得 f(x)0(0x1)， 则 h“(x)=2f(x)1-
13、f“(x)0(0x1)， 由 得 h(x)0(0x1)，从而 “(x)0(0x1)， 再由 得 (x)0(0x1)， 于是 (1)0，即 16.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)，其中 a0，确定 a，b，c，使抛物线与 x 轴所围成的面积最小 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由抛物线 y=ax 2 +br+c 过点(0，0)及(1，2)得 c=0，a+b=2 或 b=2-a，c=0. 因为 a0，所以 b0，由 ax 2 +bx=0 得 x 1 =0， 17.设 f(u)二阶连续可导，z=f(e x siny)，且 （分数：9.00）_正确答案：()
14、解析：解 由 18.设 L： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 首先求切线与坐标轴围成的面积， 设 M(x，y)L，过点 M 的 L 的切线方程为 令 Y=0，得 ，切线与 x 轴的交点为 ； 令 X=0，得 ，切线与 y 轴交点为 ， 切线与椭圆围成的图形面积为 其次求最优解 方法一：设 令 由 ，得 =-1(=1 舍去)， 代入，得 ，再代入，得 于是最小面积为 方法二：由，得 ，x=-2y， 两式相除，得 ，或 ，代入，得 于是最小面积为 方法三：令 当 时所围成的面积的最小，且最小值为 19.已知微分方程 ，作变换 u=x 2 +y 2 ， （分数：11.00）_正确答案：
15、()解析：解 =lnz-(x+y)两边关于 x 求偏导得 =lnz-(x+y)两边关于 y 求偏导得 解得 代入原方程整理得 20.计算二重积分 ，其中区域 D 是由直线 x=-2，y=0，y=2 及曲线 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 设曲线 与 y 轴围成的平面区域为 D 0 ， 则 所以 21.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 （分数：11.00）_正确
16、答案：()解析：解 设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数， 因为 ，S=4r 2 ，所以 由题设得 ，即 ，其中 V 0 为燃烧前的体积 解得 ，再由条件 得 所以 22.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 X=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，矩阵方程化为 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )，即 当 a=1，b=2，c=-2 时，矩阵方程有解， 此时 方程组 A 1 = 1 的通解为 方程组 A 2 = 2 的通解为 方程组 A 3 = 3 的通解为 于是 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x
17、3 )=X T AX 经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 显然 A 的特征值为 1 =2， 2 =-1， 3 =-1，|A|=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1 =1， 2 =-2， 3 =-2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即 =(1，1，-1) T 是矩阵 A 的对应于特征值 1 =2 的特征向量 令 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 为矩阵 A 的对应于特征值 2 =-1， 3 =-1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T =0，即 x 1 +x 2 -x 3 =0，于是 2 =-1， 3 =-1 对应的线性无关的特征向量为 令 (2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 X=QY，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX 化为标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 令
