1、考研数学三-415 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.求微分方程 （分数：4.00）_2.求微分方程 （分数：4.00）_3.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解 （分数：4.00）_4.设 （分数：4.00）_5.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解 （分数：4.00）_6.设当 x0 时，f(x)满足 （分数：4.00）_7.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：4.00）_8.求微分方程
2、 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解 （分数：4.00）_9.求微分方程 y“-y“-6y=0 的通解 （分数：4.00）_10.求微分方程 y“+4y“+4y=0 的通解 （分数：4.00）_11.求微分方程 y“-y“+2y=0 的通解 （分数：4.00）_12.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，求该微分方程 （分数：4.00）_13.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解 （分数：4.00）_14.求 y“-2y“-e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1
3、的特解 （分数：4.00）_15.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解 （分数：4.00）_16.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解 （分数：4.00）_17.求微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=2x-1 的通解 （分数：4.00）_18.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v| t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问t 为多少时此质点的速度为 （分数：4.00）_19.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x) （分数：4.00）_20.设曲线
4、L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：4.00）_21.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行 （分数：4.00）_22.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：8.00）_23.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)=f(x)=a(
5、x-1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x) （分数：8.00）_考研数学三-415 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.求微分方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 2.求微分方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x+y=u，则 于是有 变量分离得 3.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 把 y=e x 代入微分
6、方程 xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe -x -x，原方程化为 y“+(e -x -1)y=1，则 y=1e (e-x-1)dx +Ce -(e-x-1)dx =Ce x+e-x +e x ， 将 y(ln2)=0 代入 y=Ce x+e-x +ex 中得 故特解为 4.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 两边对 x 求导，得 两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=e x ，其通解为 在 中，令 x=0 得f(0)=1，在 中，令 x=0 得 f“(0)=1，于是有 5.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 6.设当 x
7、0 时，f(x)满足 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 由 7.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 代入方程得 解得 由 y“(0)=1 得 C 1 =1，于是 8.求微分方程 yy“=y“ 2 满足初始条件 y(0)=y“(0)=1 的特解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 y“=p，则 代入原方程得 当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由 解得 由 y(0)=y“(0)=1 得 C 1 =1，于是 9.求微分方程 y“-y“-6y=0 的通解
8、 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 -6=0，特征值为 1 =-2， 2 =3，则原方程的通解为 y=C 1 e -2x +C 2 e 3x 10.求微分方程 y“+4y“+4y=0 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =-2，则原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x 11.求微分方程 y“-y“+2y=0 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 -+2=0，特征值为 则原方程的通解为 12.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2
9、e -x -3e 2x 为特解，求该微分方程 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =-1， 2 =2，特征方程为(+1)(-2)=0 即 2 -2=0，所求的微分方程为 y“-y“-2y=013.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +2-3=0，特征值为 1 =1， 2 =-3，则 y“+2y“-3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -3x
10、 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+b)e x ，代入原方程得 所以原方程的通解为 14.求 y“-2y“-e 2x =0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=1 的特解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 原方程可化为 y“-2y“=e 2x ，特征方程为 r 2 -2r=0，其对应的齐次线性微分方程的通解为y=C 1 +C 2 e 2x 令原方程的特解为 y*=Axe 2x ，代入原方程得 从而原方程的通解为 15.求微分方程 y“+4y“+4y=e ax 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +4+4=0，特征值为 1 = 2 =-2，原方程
11、对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x (1)当 a-2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ae ax ，代入原方程得 则原方程的通解为 (2)当 a=-2 时，因为 a=-2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 (x)=Ax 2 e -2x ，代入原方程得 则原方程的通解为 16.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =-i， 2 =i， 方程 y“+y=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y
12、=x 2 +3，特解为 y 1 =x 2 +1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 原方程的特解为 则原方程的通解为 17.求微分方程 x 2 y“-2xy“+2y=2x-1 的通解 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x=e t ，则 原方程化为 的通解为 y=C1e t +C 2 e 2t ，令 的特解为y0(t)=ate t 代入 得 a=-2，显然 的特解为 所以方程 的通解为 原方程的通解为 18.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v| t=0 =v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问t 为多少时此质点的速度为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：
13、解 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 则有解此微分方程得 v(t)=v 0 e -t 由 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 19.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 20.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y“(X
14、-x) 令 X=0，则 Y=y-xy“，故 A 点的坐标为(0，y-xy“) 由|MA|=|OA|，得 因为曲线经过点 所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 21.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 令 Y=0，得 X=x+yy“，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 即 yy“=1+y“ 2 令 y“=p，则 则有 或者
15、两边积分得 由 y(1)=1，y“(1)=0 得 C 1 =0，所以 变量分离得 两边积分得 由 y(1)=1 得 所以 即 两式相加得 22.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 由 r(0)=r 0 ， 得 C 0 =r 0 ， 于是 23.设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f“(x)=f(x)=a(x-1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x) （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 由 f“(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)=a(x-1)e -1dx dx+Ce -dx =Ce x -ax， 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=e x -ax 由 得 a=3，因为
