1、考研数学一-线性代数矩阵及答案解析(总分：76.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：23，分数：23.00)1.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 A 与 B 等价，则下列命题中不正确的是（分数：1.00）A.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=BB.若|A|0，则存在可逆矩阵 P，有 PB=EC.若 A 与 E 等价，则 B 可逆D.若|A|0，则|B|02.设 A=(aij)nn，则|A|=0 是|A *|=0 的（分数：1.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件3.设 A 是 n 阶方阵，且满足 A2=E，则下列结论
2、正确的是（分数：1.00）A.若 AE，则 A+E 不可逆B.A+E 可逆C.若 AE，则 A+E 可逆D.A-E 可逆4.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则下列结论存在可逆矩阵 P，使 PA=B 存在可逆矩阵 Q，使 AQ=B存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B 存在可逆矩阵 P，使 P-1ABP=BA中正确的个数是（分数：1.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.设 A 为 n 阶方阵，满足 A2=A，且 AE，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.A 为可逆矩阵B.A 为零矩阵C.A 为对称矩阵D.A 为不可逆矩阵6.设 A 为 3 阶方阵，将 A 的第 1 行与第 2 行
3、交换，再把第 2 行的 1 倍加到第 3 行，得矩阵 B，则满足 B=PA的可逆矩阵 P 为（分数：1.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为 n 阶埘称矩阵，则下列结论中不正确的是（分数：1.00）A.A+B 为对称矩阵B.对任意的矩阵 Pnn，P TAP 为对称矩阵C.AB 为对称矩阵D.若 A，B 可交换，则 AB 为对称矩阵8.设 A 是 3 阶矩阵且 （分数：1.00）A.B.C.D.9.下列结论正确的是（分数：1.00）A.若 A2=0，则 A=0B.若 A2=A，则 A=E 或 A=0C.若 AX=AY，且 A0，则 X=YD.若 AB=0，则 A，B 不一定是零矩阵10.设
4、A 为 n 阶可逆矩阵，A 的第 2 行乘以 2 为矩阵 B，则 A-1的( )为 B-1（分数：1.00）A.第 2 行乘以 2B.第 2 列乘以 2C.第 2 行乘以D.第 2 列乘以11.设 A 为 n 阶矩阵，A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则（分数：1.00）A.必有|A|=|B|B.必确|A|B|C.若|A|=0，则必有|B|=0D.若|A|0，则必有|B|012.设 A，B 均为 n 阶矩阵，则下列结论中正确的是（分数：1.00）A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(AB)k=AkBkC.|kAB|=k|A|*|B|D.) |(AB)k|=|A|k|B|k13.设 n
5、阶(n3)实矩阵 A=(aij)nn0，且 aij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式，则下列结论中不正确的是（分数：1.00）A.A 必为可逆矩阵B.A 必为反对称矩阵C.A 必为正交矩阵D.|A|=114.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（分数：1.00）A.()T-1=(-1)T(-1)TB.(+)-1=-1+-1C.(k)-1=(-1)k(k 为正整数)D.|k() -1|=k-n=|-1(k0，常数)15.已知 ，则（分数：1.00）A.B.C.D.16.若矩阵 （分数：1.00）A.B.C.D.17.设 A 为 n 阶矩
6、阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.(kA)T=kAT(k 为任意常数)B.(k 为任意非零常数)C.(A-1)-1T=(AT)-1-1D.(AT)T-1=(A-1)-1T18.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且(AB)2=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则下列结论错误的是（分数：1.00）A.()2=EB.-1=C.r() =r() D.-1=19.设矩阵 Amn 的秩为 r，则下列结论中正确的是（分数：1.00）A.A 中有一个 r+1 阶子式不等于零B.A 中任意一个 r 阶子式不等于零C.A 中任意一个 r-1 阶子式不等于零D.A 中有一个 r 阶子式不等于零20.设 A
7、为 n 阶可逆矩阵，则(AT)-1T-1=（分数：1.00）_21.设 A 为 mn 矩阵，若矩阵 C 与 n 阶单位阵等价，且 B=AC，则（分数：1.00）A.r()r()B.r()r()C.r()=r()D.r()=minm，n22.设 A 为 n 阶矩阵，且满足等式 A2=A，E 为 n 阶单位矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.r()+r(A-E)nB.r()+r(A-E)=nC.r()+r(A-E)nD.r()+r(A-E)不定23.设 A，B 为 n 阶方阵，且 AB=0，则下列结论A=0 或 B=0 A+B=0|A|=0 或|B|=0 |A|+|B|=0若 A0，则
8、B=0 BA=0(A-B)2=A2+B2 r（分数：1.00）A.+rB.n&C.D.二、填空题(总题数：13，分数：13.00)24.设 （分数：1.00）填空项 1:_25.设 A 是 n 阶方阵，满足 Am=E，其中 m 为正整数，将 A 中元素 aij 用其代数余子式 Aij 代替得到的矩阵记为 B，则 Bm=_（分数：1.00）填空项 1:_26. （分数：1.00）填空项 1:_27.设 =(1，0，-1)T，矩阵 A=T，n 为正整数，则 aE-An=_（分数：1.00）填空项 1:_28.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_29.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_30
9、.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_31.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_32.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_33.设 A 是 4 阶不可逆矩阵，则 r(A*)*)= 1（分数：1.00）填空项 1:_34.设 4 阶方阵 A 和 B 的伴随矩阵分别为 A*和 B*，r(A) =3，r(B) =4，则 r(A*B*)=_（分数：1.00）填空项 1:_35.设 A=(aij)nn 是 n 阶可逆矩阵，且 A 的每行元素之和均为常数 c，则 A-1 的每行元素之和为_（分数：1.00）填空项 1:_36.设 A，B，C，D 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，A 是
10、可逆矩阵，若分块矩阵（分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：40.00)（分数：5.01）(1).命题“若 A2=0，则 A=0”是否正确，若正确，证明之；若不正确，举例说明；（分数：1.67）_(2).设 A 是 2 阶矩阵，求满足 A2=0 的所有矩阵 A；（分数：1.67）_(3).证明：若 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A2=0，则 A=0（分数：1.67）_37.设 A 和 B 均为 n 阶方阵，且满足 A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B证明 AB=0（分数：5.00）_38.已知 （分数：5.00）_39.设有方阵 A 满足 A2-3A-10E=0，证明
11、：A 与 A-4E 都是可逆矩阵，并求它们的逆矩阵（分数：5.00）_设矩阵 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 j 列和第 k 列对换得矩阵 B；将 B 的第 j 行和第 k 行对换得矩阵 V（分数：5.00）(1).试用初等矩阵证明 C 是可逆矩阵；（分数：2.50）_(2).求 BC-1（分数：2.50）_40.求矩阵 X，使 AX+BA-1-A-1BX=0，其中矩阵 （分数：5.00）_41.已知矩阵 （分数：5.00）_42.设 ，矩阼 X 满足 AX+2B=BA+2X，且 （分数：5.00）_考研数学一-线性代数矩阵答案解析(总分：76.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总
12、题数：23，分数：23.00)1.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 A 与 B 等价，则下列命题中不正确的是（分数：1.00）A.存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=BB.若|A|0，则存在可逆矩阵 P，有 PB=EC.若 A 与 E 等价，则 B 可逆D.若|A|0，则|B|0 解析：分析 矩阵 A 与 B 等价，则 A 经过一系列初等变换可化为 B，即存在初等矩阵P1，P s；Q 1，Q 1，有PsP1AQ1Qt=B令 P=PsP1，Q=Q 1Qt，就有 PAQ=B，且 P，Q 都可逆，故(A)正确若|A|0，则 A 可逆，于是 B 也是可逆矩阵因此可仅用初等行变换将 B 化为单位矩阵，
13、即存存可逆矩阵P，使 PB=E，故(B)正确若 A 与 E 等价，又 A 与 B 等价，则 B 与 E 等价，因此 B 可逆，故(C)正确由排除法可知，本题应选(D)例如：设*，则 A 与 B 等价，且|A|0，但|B|02.设 A=(aij)nn，则|A|=0 是|A *|=0 的（分数：1.00）A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分条件也非必要条件解析：分析 根据伴随矩阵性质，有 AA*=|A|E若|A|=0，则由|A *|=|A|n-1得|A *|=0；反之，若|A *|=0，也可得到|A|=0，因此|A|=0 是|A *|=0 的充要条件，故选
14、(C)3.设 A 是 n 阶方阵，且满足 A2=E，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.若 AE，则 A+E 不可逆 B.A+E 可逆C.若 AE，则 A+E 可逆D.A-E 可逆解析：分析 判断方阵是甭可逆，除了其行列式是否为零外，还可看其是否满秩由本题条件 A2=E，有(A+E)(A-E)=0，即可由齐次线性方程组(A+E)x=0 的解的充分必要条件决定系数矩阵 A+E 的秩，从而得到A+E 是否可逆由已知 A2=E，有(A+E)(A-E)=0，即矩阵 A-E 的列向量都是齐次线性方程组(A+E)x=0 的解向量由于AE，所以 A-E 是非零矩阵，且 A-E 的列向量中至少有一个是非零
15、列向量因此，齐次线性方程组(A+E)x=0 有非零解，故有 r(A+E)n，进而可知 A+E 为不可逆矩阵故应选(A)4.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，则下列结论存在可逆矩阵 P，使 PA=B 存在可逆矩阵 Q，使 AQ=B存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B 存在可逆矩阵 P，使 P-1ABP=BA中正确的个数是（分数：1.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：分析 A，B 是 n 阶可逆阵，故有A-1A=B-1B=E两边左乘 B 得 BA -1A=B取 P=BA-1，得 PA=B，故成立又AA-1=BB-1=E两边右乘 B 得 AA-1B=B取 Q=A-1B，得 AQ=B
16、，故成立由AA-1=B-1B=E两边左乘 B 得 BAA-1=B，取 P=B，Q=A -1，得 PAQ=B，故成立又A-1ABA=BA取 P=A，则有 P-1ABP=BA，故成立综上分析，应选(D)5.设 A 为 n 阶方阵，满足 A2=A，且 AE，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.A 为可逆矩阵B.A 为零矩阵C.A 为对称矩阵D.A 为不可逆矩阵 解析：分析 由已知条件 A2=A，有 A(A-E)=0，看到这个关系式应该想到两点：(1)r(A)+r(A-E)n；(2)矩阵 A-E 的列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量再利用已知条件，由上述的某一点推出 r(A)是等于 n?
17、小于 n?还是为零?方法 1因 A(A-E)=0，故 r(A)+r(A-E)n，由题设 AE 可知 A-E 不是零矩阵，所以 r(A-E)1，于是r(A)n-r(A-E)n，故 A 为不可逆矩阵应选(D)方法 2因 A(A-E)=0，故矩阵 A-E 的列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量由于 AE，所以 A-E 必有非零列向量，即线性方程组 Ax=0 有非零解，则必有 r(A)n，故 A 为不可逆矩阵应选(D)6.设 A 为 3 阶方阵，将 A 的第 1 行与第 2 行交换，再把第 2 行的 1 倍加到第 3 行，得矩阵 B，则满足 B=PA的可逆矩阵 P 为（分数：1.00）A.B.
18、C.D. 解析：分析 本题可用矩阵的初等变换与初等矩阵以及它们的关系来判别由题设可得*故应选(D)7.设 A，B 为 n 阶埘称矩阵，则下列结论中不正确的是（分数：1.00）A.A+B 为对称矩阵B.对任意的矩阵 Pnn，P TAP 为对称矩阵C.AB 为对称矩阵 D.若 A，B 可交换，则 AB 为对称矩阵解析：分析 若 A，B 为对称矩阵，则 AT=A，B T=B于是(A+B)T=AT+BT=A+B，即 A+B 为对称矩阵，故(A)正确对任意的矩阵 Pnn，有(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，即 PTAP 为对称矩阵故(B)正确因为(AB) T=BTAT=BA，而 BA 未必等
19、于 AB，故(C)未必成立当 A，B 可交换时，可得(AB) T=BA=AB，故(D)正确综上分忻，应选(C)8.设 A 是 3 阶矩阵且 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：分析 方法一 A 3=aE，a0，|A| 3=|A|3=a3，|A|=a0，A 可逆，A *=|A|A-1，又 A3=AA2=aE，*，故*故应选(B)方法二*由 A*的定义，得*故应选(B)9.下列结论正确的是（分数：1.00）A.若 A2=0，则 A=0B.若 A2=A，则 A=E 或 A=0C.若 AX=AY，且 A0，则 X=YD.若 AB=0，则 A，B 不一定是零矩阵 解析：分析 (A)不对：例如*，而
20、 A 是非零矩阵(B)不对：例如*，但 A0，AE(C)也不对：例如*，则*，但 XY故由排除法可知，应选(D)10.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 的第 2 行乘以 2 为矩阵 B，则 A-1的( )为 B-1（分数：1.00）A.第 2 行乘以 2B.第 2 列乘以 2C.第 2 行乘以D.第 2 列乘以 解析：分析 本题讨论矩阵的初等变换与求逆之间的关系，可用初等矩阵与初等变换之间的联系求解由题意可知 B=P2(2)A，因此*由*，得 A-1的第 2 列乘以*为 B故应选(D)11.设 A 为 n 阶矩阵，A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则（分数：1.00）A.必有|A|=|B|B
21、.必确|A|B|C.若|A|=0，则必有|B|=0 D.若|A|0，则必有|B|0解析：分析 由于矩阵有三种形式的初等变换：将矩阵的某行(列)乘以一个非零常数；将矩阵的某两行(列)交换位置；将矩阵的某行(列)乘以一个非零常数后，加到另外一行(列)上去如果矩阵作了前两种初等变换，得剑的矩阵行列式的值可能与原矩阵行列式值是不同的但是，如果矩阵行列式的值为零，则经过初等变换后得到的矩阵行列式的值也是零这主要是由于初等变换不改变矩阵的秩故应选(C)12.设 A，B 均为 n 阶矩阵，则下列结论中正确的是（分数：1.00）A.(A+B)(A-B)=A2-B2B.(AB)k=AkBkC.|kAB|=k|A
22、|*|B|D.) |(AB)k|=|A|k|B|k 解析：分析 对于(A)：(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2，而 AB 未必等于 BA，故(A)不正确对于(B)：*，由于矩阵乘法不满足交换律，故(B)不正确对于(C)：|kAB|=kn|A|B|，故(C)不正确对于(D)：|(AB)k|=|(AB)(AB)(AB)|=|A|B|A|B|A|B|=|A|k|B|k，故(D)正确，应选(D)13.设 n 阶(n3)实矩阵 A=(aij)nn0，且 aij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij 是元素 aij 的代数余子式，则下列结论中不正确的是（分数：1.00）A.A 必为可逆矩阵
23、B.A 必为反对称矩阵 C.A 必为正交矩阵D.|A|=1解析：分析 由 aij=Aij(i，j=1，2，n)可知 A*=AT又由 AA*=|A|E，可得 AAT=|A|E由等式两边矩阵的主对角元素相等，有*由 A=(aij)nn0，可得|A|0在 AAT=|A|E 两边取行列式得|A|2=|A|n，于是有|A|=1，从而 AAT=E，因此结论(A)，(C)，(D)都是正确的，故排除(A)，(C)，(D)，只能选(B)事实上，若(B)成立，当 n 为奇数时，A 为奇数阶反对称矩阵，则|A|=0，与|A|0 矛盾，故(B)的结论是错误的14.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的
24、是（分数：1.00）A.()T-1=(-1)T(-1)TB.(+)-1=-1+-1 C.(k)-1=(-1)k(k 为正整数)D.|k() -1|=k-n=|-1(k0，常数)解析：分析 对于(A)：由可逆矩阵的性质，有(AB)T-1=(BTAT)-1=(AT)-1(BT)-1=(A-1)T(B-1)T，故(A)必成立对于(B)：若 A，B 都可逆，A+B 未必可逆例如，设*，则 A，B 都可逆，但*却不可逆故(B)不正确对于(C)：由于(Ak)-1=(AAA)-1=A-1A-1A-1=(A-1)k，故(C)正确对于(D)：由于*故(D)正确综上分析，应选(B)15.已知 ，则（分数：1.00
25、）A.B.C.D. 解析：分析 观察 A，B 易知，B 是先由 A 交换第 1，3 两行，再交换第 1，3 两列得到的矩阵，由初等变换与初等矩阵的关系可知 B=P3AP3，又知*，故*因此应选(D)16.若矩阵 （分数：1.00）A. B.C.D.解析：分析 本题可用矩阵的初等变换将 A 化为阶梯形矩阵，再分析 a 的取值与 r(A)的关系，从而确定选项利用矩阵的初等变换，得*可见当 a=0 时，r(A)=2；当 a=1 时，r(A)=3故选(A)17.设 A 为 n 阶矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.(kA)T=kAT(k 为任意常数)B.(k 为任意非零常数)C.(A-1)
26、-1T=(AT)-1-1D.(AT)T-1=(A-1)-1T 解析：分析 对于(A)：根据矩阵转置的性质，(kA)T=kAT，故(A)正确对于(B)：因为*，所以*故(B)正确对于(C)：由(A-1)-1T=AT 和(AT)-1-1=AT、可知(C)正确因此本题应选(D)实际上，(AT)T-1=A-1，(A-1)-1T=AT，但 A-1 一般不等于 AT，故(D)不正确18.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且(AB)2=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则下列结论错误的是（分数：1.00）A.()2=EB.-1= C.r() =r() D.-1=解析：分析 由题设(AB)2=ABAB=(ABA)
27、B=E，由于 A，B 均为 n 阶矩阵，由定义知矩阵 A，B 均是可逆矩阵，那么 A-1=BAB，r(A)=r(B)所以(C)，(D)正确又(BA)2=(BA)(BA)=(BAB)A=A(BAB)=(AB)2=E，故(A)正确由排除法可知，应选(B)事实上，由(AB)2=E 一般推不出 AB=E，所以(B)是错误的例如取矩阵*，则有*，但 ABE19.设矩阵 Amn 的秩为 r，则下列结论中正确的是（分数：1.00）A.A 中有一个 r+1 阶子式不等于零B.A 中任意一个 r 阶子式不等于零C.A 中任意一个 r-1 阶子式不等于零D.A 中有一个 r 阶子式不等于零 解析：分析 根据矩阵的
28、秩的定义，若 r(A)=r，则 A 中有一个 r 阶子式不等于零，而任意的 r+1 阶子式都等于零，故应选(D)20.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则(AT)-1T-1=（分数：1.00）_解析：分析 因为(AT)-1=(A-1)T，(AT)T=A，(A-1)-1=A，所以(AT)-1T-1=(A-1)TT-1=A-121.设 A 为 mn 矩阵，若矩阵 C 与 n 阶单位阵等价，且 B=AC，则（分数：1.00）A.r()r()B.r()r()C.r()=r() D.r()=minm，n解析：分析 因为 C 与 n 阶单位阵等价，所以 C 是 n 阶可逆阵于是 r(B)=r(AC)=r(A)，
29、故应选(C)22.设 A 为 n 阶矩阵，且满足等式 A2=A，E 为 n 阶单位矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.r()+r(A-E)nB.r()+r(A-E)=n C.r()+r(A-E)nD.r()+r(A-E)不定解析：分析 由题设 A2=A 得 A(A-E)=0，故 r(A)+r(A-E)n 由于r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)rA+(E-A)=r(E)=n，可见 r(A)+r(A-E)=n，故应选(B)23.设 A，B 为 n 阶方阵，且 AB=0，则下列结论A=0 或 B=0 A+B=0|A|=0 或|B|=0 |A|+|B|=0若 A0，则 B=0 B
30、A=0(A-B)2=A2+B2 r（分数：1.00）A.+rB.n&C. D.解析：分析 由 AB=0 不能得到 A=0 或 B=0，故不成立例如：*而*也不成立例如：取 A=E(E 为 n 阶单位阵)，B=0，则 AB=0，而 A+B=E0成立因为 A，B 都是 n 阶方阵，取其行列式有|AB|=|A|B|，故由 AB=0 得|AB|=0，从而|A|，|B|之一必为零不成立例如：A=E，B=0，|A|=1，|B|=0，从而|A|+|B|=10不成立例如：*，显然 AB=0，但 A0，B0，故不成立、不成立一股来说，ABBA，如上例，AB=0，但*，所以、不成立显然是成立的综上分析，应选(C)
31、二、填空题(总题数：13，分数：13.00)24.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 设*，若 A，B 可交换，则 AB=BA，而*由 AB=BA 得*解得 x4=0，x 7=0，x 8=0；x 1=x5=x9，x 2=x6令 x 1=x5=x9=a，x 2=x6=b，x 3=c，则所求矩阵*25.设 A 是 n 阶方阵，满足 Am=E，其中 m 为正整数，将 A 中元素 aij 用其代数余子式 Aij 代替得到的矩阵记为 B，则 Bm=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：E）解析：分析 由 Am=AAm-1=E 可知 A 为可逆矩阵，于是 A*=|A
32、|A-1，且|A|m=|Am|=1又由题设有*，故Bm=(A*)Tm=|A|(A-1)Tm=|A|m(Am)T-1=|A|m(ET)-1=E26. （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1)n-1A）解析：分析 此题为求方阵的幂 An，可先求出 A2，A3，最后归纳得出 An也可利用 A 的特点用矩阵相乘的性质来求方法 1记方阵为 A，且 A 的各列元素成比例，故可将 A 表示为列向量与行向量的乘积记*，则*于是*由于*所以 An=(-1)n-1T=(-1)n-1T=(-1)n-1A方法 2记*由 A2=(-1)A，得A3=(-1)A2=(-1)2A，An=(-1)n-1A27.设
33、 =(1，0，-1)T，矩阵 A=T，n 为正整数，则 aE-An=_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于*An=(T)(T)(T)=(T)(T)(T)T=2n-1T=2n-1A所以*28.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 直接计算可得*又 A3=A2A=22A，于是当 n=2k(k0)时，An=A2k=(A2)k=(22E)k=2nE；当 n=2k+1(k0)时，An=A2k+1=A2kA=(22E)kA=2n-1A，即 *29.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 将 A 分块为*，其中*，则
34、*由此可得*30.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：分析 方法一 矩阵 A0，A 中有非零元素，所以必有一阶子式不等于零，可得 r(A)1容易看出，A 中有二阶子式(取第一、二行，第一、二列)*所以 r(A)2又 A 的所有三阶子式*于是 A 中不等于零的子式的最高阶数为 2，由秩的定义可知 r(A)=2方法一 对矩阵 A 施以初等行变换化为阶梯形矩阵：*由此可得 r(A)=231.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：分析 对 A 施以初等行变换，有*所以，当 a1 且 b2 时，r(A)=4；当 a=1 且 b=2 时，r(A)=2
35、；当 a=1 且 b2 或 a1，b=2 时，r(A)=332.设矩阵 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：分析 对矩阵 A 施以初等行变换，有*由此可知 r(A)=2 时，t=-333.设 A 是 4 阶不可逆矩阵，则 r(A*)*)= 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 根据伴随矩阵的秩的结果知*，由于 A 是 4 阶不可逆矩阵，所以 r(A)3，从而 r(A*)=1 或 0，故 r(A*)*)=034.设 4 阶方阵 A 和 B 的伴随矩阵分别为 A*和 B*，r(A) =3，r(B) =4，则 r(A*B*)=_（分数：1.00）填空项
36、 1:_ （正确答案：1）解析：分析 由 r(A)=3 可得 r(A*)=1，由 r(B)=4 可得 r(B*)=4，B*是可逆矩阵，故r(A*B*)=r(A*)=135.设 A=(aij)nn 是 n 阶可逆矩阵，且 A 的每行元素之和均为常数 c，则 A-1 的每行元素之和为_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 因为 A 的每行元素之和均为常数 c，即有 ai1+ai2+ain=c(i=1，2，n)，从而因为 A 可逆，所以 c0(否则若 c=0，上式左乘 A-1 即得(1，1，1)T=(0，0，0)T，矛盾)上式左乘 A-1 可得*故 A-1 的每行元素之和为*
37、36.设 A，B，C，D 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵，若分块矩阵（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于*于是*三、解答题(总题数：8，分数：40.00)（分数：5.01）(1).命题“若 A2=0，则 A=0”是否正确，若正确，证明之；若不正确，举例说明；（分数：1.67）_正确答案：(若 A=0，必有 A2=0反之，若 A2=0，则不一定有 A=0这是因为矩阵乘法没有消去律举一个二阶矩阵作为反例：设*，则有*这就说明了满足 A2=0 的矩阵并不一定是零矩阵，非零矩阵的幂也可能是零矩阵)解析：(2).设 A 是 2 阶矩阵，求满足 A2
38、=0 的所有矩阵 A；（分数：1.67）_正确答案：(若 A=0，显然有 A2=0若 A 可逆，显然 A20，只需考虑 A 不可逆，即|A|=0，设*，则*=ad-bc=0，即*不妨设*，则*由 A0，可推出 a+kb=0由此可知，满足 A2=0 的所有二阶矩阵为零矩阵和满足条件 a+kb=0 的二阶非零矩阵*将 a=-kb 代入，得到*其中 b，k 是任意常数)解析：(3).证明：若 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A2=0，则 A=0（分数：1.67）_正确答案：(利用实对称矩阵的定义及矩阵乘积，证明 A 的每个元素皆为 0，即得 A=0令 A=(aij)nn 因为 A 是实对称矩阵，所以
39、aijR(实数集合)，且 AT=A由题设 A2=0，故 AAT=0，即*于是*因为 aij(i，j=1，2，n)为实数故 aij=0(i，j=1，2，n)所以 A=0)解析：37.设 A 和 B 均为 n 阶方阵，且满足 A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B证明 AB=0（分数：5.00）_正确答案：(由于(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A+AB+BA+B，从而利用(A+B)2=A+B 得AB+BA=0上式分别左乘 A 和右乘 A，得A2B+ABA=AB+ABA=0 ABA+BA2=ABA+BA=0两式相减得 AB=BA，代入式有 2AB=0，故 AB=0)解析：38.已知 （分数：5.00）_正确答案：(对 AA*=|A|E 两边取行列式得|A|A|*=|A|4，于是*即|A|=-3，故*又因为*，其中*，可求得*故由 AA*=|A|E 得*)解析：39.设有方阵 A 满足 A2-3A-10E=0，证明：A 与 A-4E 都是可逆矩阵，并求它们的逆矩阵（分数：5.00）_正确答案：(由 A2-3A-10E=0，可得*则有*，所以|A|0，A 为可
