1、考研数学一（常微分方程）-试卷 4 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.方程(3+2y)xdx+(x 2 -2)dy=0 的类型是 ( )（分数：2.00）A.只属于可分离变量型B.属于齐次型方程C.只属于全微分方程D.兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程4.微分方程 y“+2y“+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b
2、 为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e -x +be xD.axe -x +be x5.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）A.e x in 2B.e 2x ln2C.e x +ln2D.e 2x +ln26.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce -f(x)B.y=f(x)+1+Ce -f(x)C.y=f(x)-C+Ce -f(x)D.y=f(x)-1+Ce -f(x)7.方程 y (4) -2y“-3y“=e -3x -2e -x +x 的特
3、解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe -3x +bxe -x +cx 3B.ae -3x +bxe -x +cx+dC.ae -3x +bxe -x +cx 3 +dx 2D.axe -3x +be -x +cx 3 +dx8.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e -x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y“-2y“+y=e 2xB.y“-y“-2y=xe xC.y“-y“-2y=e x -2xe xD.y“-y=e 2x二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.以 y=co
4、s2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程(1-x 2 )y-xy“=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y“-2y“=x 2 +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.特征根为 r 1 =0， （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_16.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的
5、三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.求微分方程 （分数：2.00）_19.求微分方程 y“+2y“+2y=2e -x cos 2 （分数：2.00）_20.求方程 （分数：2.00）_21.求 y“-y=e x 的通解（分数：2.00）_22.设函数 f(u)有连续的一阶导数 f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_23.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(z-2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_24.利用变换 y=f(e x )求微
6、分方程 y“-(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_25.用 x=e l 化简微分方程 （分数：2.00）_26.求解 （分数：2.00）_27.求解微分方程 （分数：2.00）_设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：4.00）(1).试求曲线 L 的方程；（分数：2.00）_(2).求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_28.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y
7、=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线，上述两直线与 z 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_29.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2，2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 （分数：2.00）_考研数学一（常微分方程）-试卷 4 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
8、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：特征方程 r 2 +r+1=0，特征根为，r 1,2 = 是特征根，所以特解的形式为 3.方程(3+2y)xdx+(x 2 -2)dy=0 的类型是 ( )（分数：2.00）A.只属于可分离变量型B.属于齐次型方程C.只属于全微分方程D.兼属可分离变量型、一阶线性方程和全微分方程 解析：解析：原方程关于 x 和 y 不齐次但极易分离变量，也可化为 y 的一阶线性方程又满足全微分方程条件 P“ y =2x=Q“ x
9、 故选项(A)，(B)，(C)均不正确，而(D)正确4.微分方程 y“+2y“+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e -x +be x D.axe -x +be x解析：解析：特征方程为 r 2 +2r+1=0，r=-1 为二重特征根，而 5.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）A.e x in 2B.e 2x ln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：原方程求导得 f“(x)=2f(x)，即 6.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(
10、x)的通解是( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce -f(x)B.y=f(x)+1+Ce -f(x)C.y=f(x)-C+Ce -f(x)D.y=f(x)-1+Ce -f(x) 解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得 y=e -f“(x)dx C+f(x)f“(x)e f“(x)dx =e -f(x) C+f(x)de f(x) =Ce -f(x) +f(x)-1，其中 C 为任意常数7.方程 y (4) -2y“-3y“=e -3x -2e -x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe -3x +bxe -x +cx 3B.ae -3x
11、 +bxe -x +cx+dC.ae -3x +bxe -x +cx 3 +dx 2 D.axe -3x +be -x +cx 3 +dx解析：解析：特征方程 r 2 (r 2 -2r-3)=0，特征根为 r 1 =3，r 2 =-1，r 3 =r 4 =0，对于 f 1 =e， 1 =-3 非特征根，y* 1 =ae -3x ；对于 f 2 =-2e -x ， 2 =-1 是特征根，y* 2 =bxe -x ；对于 f 3 =x， 3 =0 是二重特征根，y* 3 =x 2 (cx+d)，所以特解 y*=y* 1 +y* 2 +y* 3 =ae -3x +bxe -x +cx 3 +dx 2
12、8.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e -x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y“-2y“+y=e 2xB.y“-y“-2y=xe xC.y“-y“-2y=e x -2xe x D.y“-y=e 2x解析：解析：非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y 1 -y 2 =e 2x -e -x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e -x ，故特征根 r 1 =2，r 2 =-1对应齐次线性方程为 y“-y“-2y=0 再由特解 y*=xe x 知非齐次项 f(x)=y*“-y
13、*“-2y*=e x -2xe x ，于是所求方程为 y“-y“-2y=e x -2xe x二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.以 y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+4y=0）解析：解析：由特解 y=cos2x+sin2x 知特征根为 r 1,2 =2i，特征方程是 r 2 +4=0，其对应方程即y“+4y=010.微分方程(1-x 2 )y-xy“=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原方程化为 积分得通
14、解 由初值 y(1)=1 解出 C=11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.微分方程 y“-2y“=x 2 +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*=x(Ax 2 +Bx+C)+Dxe 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 -2r=0，特征根 r 1 =0，r 2 =2 对 f 1 =x 2 +1， 1 =0 是特征根，所以y* 1 =x(Ax 2 +Bx+C) 对 f 2 =e 2x ， 2 =2 也是特征根，故有 y* 2 =Dxe 2x 从而 y*如
15、上13.特征根为 r 1 =0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：特征方程为 即 r 3 -r 2 + 14.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx+2，其中 C 为任意常数）解析：解析：将所给方程两边同乘以 x，得 令 u=tx，则上式变为 两边对 x 求导得15.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 x 5 +C 2 x 3 +C 3 x 2 +C 4 x+C 5 ，其中C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 ，C 5 为任意常数）解析：解析：令 u= 则方程降阶为 u 的一阶方程16
16、.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“-3y“=0）解析：解析：由特解 y=7e 3x +2x 知特征根为 r 1 =3，r 2 =r 3 =0(二重根)特征方程为 r 3 -3r 2 =0，相应齐次线性方程即为 y“-3y“=0三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是 y“=f(y，y“)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可 令 y“=p，有 ，原方程化为 以下进行讨论
17、y0 显然是原方程的一个解以下设 y0，于是式可改写为 当 C 1 0 时，由式得 当 C 1 =0 时，由式得 x+C 2 =-y -1 ； 当 C 1 0 时，由式得x+C 2 = )解析：19.求微分方程 y“+2y“+2y=2e -x cos 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应先用三角公式将自由项写成 e -x +e -x cosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 y=(C 1 cosx+C 2 sinx)e -x 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e -x - ，e -x cosx，分别考虑 y“+2y“+2y=e -x ， 与 y“+
18、2y“+2y=e -x cosx 对于，令 y* 1 =Ae -x ， 代入可求得 A=1，从而得 y* 1 =e -x 对于，令 y* 2 =xe -x (Bcosx+Csinx)， 代入可求得 B=0，C= 由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y* 1 +y* 2 =e -x (C 1 cosx+C 2 sinx)+e -x + )解析：20.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为欧拉方程，按解欧拉方程的办法解之 设 x0，令 x=e t ，有 t=lnx，经计算化原方程为 得通解为 设 x0，令 x=-u，原方程化为 y 关于 u 的方程 合并两种情形得原方程的通解为
19、)解析：21.求 y“-y=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(-，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e x 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 y“-y=e x ， 求得通解 当 x0 时，方程为 y“-y=e -x ， 求得通解 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y“(x)也连续，据此，有 )解析：22.设函数 f(u)有连续的一阶导数 f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将
20、 z= 代入式，注意到厂中的变元实际是一元 ，所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程 代入题中式，得 f“(u)(1-u 2 )+2f(u)=u-u 3 ， 其中 f(u)=u，当 u1 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在 u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解 再以 f(2)=1 代入，得 C=-3，从而得 )解析：23.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(z-2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 z=z(u，v)，u-x-2y，v=x+3y 代入式
21、，得到 z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之 它可以看成一个常微分方程(其中视 v 为常数)，解得， 其中 (v)为具有连续导数的 v 的任意函数再由 )解析：24.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“-(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=e x ，y=f(t) y“=f“(t).e x =tf“(t)， y“=tf“(t)“ x =e x f“(t)+tf“(t).e x =tf“(t)+t 2 f“(t)，代入方程得 t 2 f“(t)+tf“(t)-(2t+1)tf“(t)+t 2
22、 f(t)=t 3 ，即f“(t)-2f“(t)+f(t)=t 解得 f(t)=(C+C 2 t)e t +t+2，所以 y“-(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解为 y=(C 1 +C 2 e x ) )解析：25.用 x=e l 化简微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题 )解析：26.求解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“+2y“+5y=0 )解析：27.求解微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：欲求解的方程是欧拉方程，令 1+
23、x=e t ，则由复合函数的求导法则有 把它们代入原方程，则原方程化为常系数线性齐次微分方程 )解析：设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：4.00）(1).试求曲线 L 的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Y-Y=y“(X-x)令 X=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 y-xy“ 由题设知 由 L 经过点 于是 L 方程为 )解析：(2).求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小（分数：2.00
24、）_正确答案：(正确答案：设第一象限内曲线 y= -x 2 在点 P(x，y)处的切线方程为 令 S“(x)=0，解得 当 0x 内的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线为 Y= 即 )解析：28.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线，上述两直线与 z 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)上点 P(x，y
25、)处的切线方程为 Y-y=y“(x)(X-x)，它与 x 轴的交点为 N 由于 y“(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 两边对 x 求导得 ，即 yy“=(y“) 2 令p=y“，则上述方程可化为 )解析：29.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2，2)处的切线斜率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，有 y(0)=1，y“(0)=0，y(2)=2，y“(2)=1， 又 即 (因为曲线向上凹，所以，y“0) 令 y“=p，y“=pp“，有 代入 y(0)=1，y“(0)=0，y(2)=2，y“(2)=1，得k=2，C=0，有 代入 y(0)=1，C 1 =0，即 )解析：
