1、考研数学一（线性代数）-试卷 37 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆。B.E-A 不可逆，E+A 可逆。C.E-A 可逆，E+A 可逆。D.E-A 可逆，E+A 不可逆。3.已知 A= （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。4.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，-1) T ，
2、 3 =(2，6，a，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。5.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价。B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵
3、 A 与 B 等价。6.已知 1 =(1，1，-1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中Ax=0 的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，-1，3) T 。B.(2，1，-3) T 。C.(2，2，-5) T 。D.(2，-2，6) T 。7.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值。B.至少是 A 的二重特征值。C.至多是 A 的二重特征值。D.一重、二重、三重特征值都有可能。9.设 A，B
4、均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A -1 B -1 。 正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。10.已知实二次型 f=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 正定，矩阵 A=(a ij ) 33 ，则( )（分数：2.00）A.A 是正定矩阵。B.A 是可逆矩阵。C.A 是不可逆矩阵。D.以上结论都不对。二、填空题(总题数：8，
5、分数：16.00)11.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.向量 =(1，-2，4) T 在基 1 =(1，2，4) T ， 2 =(1，-1，1) T ， 3 =(1，3，9) T 下的坐标是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A
6、是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，-1，1) T ，则特征值 2 对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设 =(1，0，1) T ，A= T ，若 B=(kE+A) * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_21.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag(1，1，1，8)，且 AB
7、A -1 =BA -1 +3E，求 B。（分数：2.00）_22.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_23.设线性方程组 （分数：2.00）_24.设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：2.00）_25.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= （分数：2.00）_26.设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T 。 ()将向量 =(1，1，3) T
8、用 1 ， 2 ， 3 线性表示； ()求 A n 。（分数：2.00）_27.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 37 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆。B.E-A 不可逆，E+A 可逆。C.E-A 可逆，E+A 可逆。 D.E-A
9、 可逆，E+A 不可逆。解析：解析：已知(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 3 =E，(E+A)(E-A+A 2 )=E+A 3 =E。 故 E-A，E+A 均可逆。故应选 C。3.已知 A= （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.1 或 3。 解析：解析：伴随矩阵秩的公式为 可见 r(A * )=1 r(A)=3。 对矩阵 A 作初等变换，有 若 a=3，则 A ，r(A)=3； 若 a=2，则 A ，r(A)=4； 若 a=1，则 A 4.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，-1) T ， 3 =(2，6，a，6) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，
10、那么 a=8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。 C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。解析：解析：n 个 n 维向量的线性相关性一般用行列式 1 ， 2 ， n 是否为零判断。 因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 5.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价。B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。 D
11、.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。解析：解析：将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，则有 ( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) 表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ -1 ，即( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n )Q -1 ，表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。 类似地，对于 PA=B，
12、将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。 下例可表明选项 C的命题不正确。 设 A= ，则 P、Q 均为可逆矩阵，且 6.已知 1 =(1，1，-1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中Ax=0 的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，-1，3) T 。B.(2，1，-3) T 。 C.(2，2，-5) T 。D.(2，-2，6) T 。解析：解析：如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项 A、D 均不是 Ax=0 的解。 由于 1 ， 2 是 Ax=0
13、的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1 ， 2 线性表示，也即方程组 x 1 1 +x 2 2 = 必有解，而 7.三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设方程组的系数矩阵为 A，对增广矩阵 作初等行变换，有 因为 r(A)=2，而 8.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值。B.至少是 A 的二重特征值。 C.至多是 A 的二重特征值。D.一重、二重、三重特征值都有可能。解析：解析：A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于等于特征值的重数。r(A)=1，即 R(
14、0E-A)=1，(0E-A)x=0 必有两个线性无关的特征向量，故 A=0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如 A=9.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A -1 B -1 。 正确的个数为( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。 解析：解析：因 A-B，可知存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，于是 P -1 A 2 P=B 2 ，P T A T (P T ) -1 =B T ，P -1 A -1 P=B -1 ， 故 A 2 B 2 ，A T B T ，A -1 B
15、 -1 。 又由于 A 可逆，可知 A -1 (AB)A=BA，即 ABBA。故正确的命题有四个，所以选 D。10.已知实二次型 f=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 正定，矩阵 A=(a ij ) 33 ，则( )（分数：2.00）A.A 是正定矩阵。B.A 是可逆矩阵。 C.A 是不可逆矩阵。D.以上结论都不对。解析：解析：f=(a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ) 2 +(a 21 x 1 +
16、a 22 x 2 +a 23 x 3 ) 2 +(a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ) 2 =x T A T Ax=(Ax) T (Ax)。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f0 的充要条件是 Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。所以选 B。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
17、）解析：解析：由(E-B -1 A) T B T X=E，得B(E-B -1 A) T X=E，即(B-A) T X=E，因此 X -1 =(B-A) T = 13.已知 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 2 -A=A(A-E)，且矩阵 A= 14.向量 =(1，-2，4) T 在基 1 =(1，2，4) T ， 2 =(1，-1，1) T ， 3 =(1，3，9) T 下的坐标是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标是(x 1 ，x 2 ，x 3
18、 ) T ，则由 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 可得线性方程组 解得 x 1 = ，x 3 =1，因此 在基 1 ， 2 ， 3 的坐标是 15.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n-2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 +k 1 ( 2 - 1 )+k 2 ( 3 - 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析： 1 ， 2 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2 - 1 ， 3 - 1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无
19、关。又 n-r(A)=2，故 2 - 1 ， 3 - 1 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1 +k 1 ( 2 - 1 )+k 2 ( 3 - 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数。16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。 由主对角元素的和等于所有特征值的和可知 1+2+3=3A，故 1 = 2 = 3 =2。17.设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如
20、果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =(1，2，1) T ， 2 =(1，-1，1) T ，则特征值 2 对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T ，t0）解析：解析：设所求的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 18.设 =(1，0，1) T ，A= T ，若 B=(kE+A) * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0 或 k-2）解析：解析：矩阵 A= T 的秩为 1，且 tr(A)=
21、T =2，故矩阵 A 的特征值是 2，0，0，从而矩阵kE+A 的特征值是 k+2，k，k。矩阵 B=(kE+A) * =kE+A(kE+A) -1 的特征值是 k 2 ，k(k+2)，k(k+2)。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k 2 0 且 k(k+2)0，解得 k0 或 k-2。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：数学归纳法。 以下用数学归纳法证明 D n =(n+1)a n 。 当 n=1 时，D 1 =2a，结论成立
22、。 当 n=2 时，D 2 = =3a 2 ，结论成立。 假设结论对小于 n 的情况成立，将 D n 按第一行展开，则有 D n =2aD n-1 - )解析：21.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag(1，1，1，8)，且 ABA -1 =BA -1 +3E，求 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 A * =AA -1 两端取行列式可得A * =A 4 A -1 =A 3 ，因为 A * =diag(1，1，1，8)，所以A * =8，即A=2。由 ABA -1 =BA -1 +3E 移项并提取公因式得，(A-E)BA -1 =3E，右乘 A 得(A-E)B=3A，左乘
23、 A -1 得(E-A -1 )B=3E。 由已求结果A=2，知 )解析：22.设向量组 a 1 ，a 2 线性无关，向量组 a 1 +b，a 2 +b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a 1 ，a 2 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 +b，a 2 +b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，使 k 1 (a 1 +b)+k 2 (a 2 +b)=0，则有(k 1 +k 2 )b=-k 2 a 1 -k 2 a 2 。 又因为 a 1 ，a 2 线性无关，若 k 1 a 1 +k 2 a 2 =0，则
24、 k 1 =k 2 =0，这与 k 1 ，k 2 不全为零矛盾，于是有 k 1 a 1 +k 2 a 2 0，(k 1 +k 2 )b0。 综上 k 1 +k 2 0，因此由(k 1 +k 2 )b=-ka 1 -k 2 a 2 得 b= )解析：23.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，-1，1，-1) T 代入方程组可得 =。对增广矩阵作初等行变换，可得 ()当 = 因为 r(A)= =24，所以方程组有无穷多解，其通解为 ( ，1，0，0) T +k 1 (1，-3，1，0) T +k 2 (-1，-2，0，2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数。 (
25、)当 因r(A)= )解析：24.设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 则 n-r(A)=4-2=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x 3 ，x 4 为自由变量，得 1 =(5，-3，1，0) T ， 2 =(-3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解系。 ()设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 +l 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 均是不全为 0 的常数。 由 k 1 1 +k 2 2 -l 1 1 -l 2 2 =0，得齐次
26、方程组 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 当a-1 时，方程组(3)的系数矩阵变为 。可知方程组(3)只有零 解，即 k 1 =k 2 =l 1 =l 2 =0，于是 =0，不合题意。 当 a=-1 时，方程组(3)系数矩阵变为 )解析：25.已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，得 解得 a=7，b=-2。 由矩阵 A 的特征多项式E-A= = 2 -4-5，得 A 的特征值是 1 =5， 2 =-1。它们也是矩阵 B 的特征值。 分别解齐次线性方程组(5E-A)x=0，(-E-A)x=0，可得到矩阵 A 的属于 1 =5， 2
27、=-1 的特征向量依次为 1 =(1，1) T ， 2 =(-2，1) T 。 分别解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0，可得到矩阵 B 的属于 1 =5， 2 =-1 的特征向量分别是 1 =(-7，1) T ， 2 =(-1，1) T 。 )解析：26.设三阶矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3 对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T 。 ()将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表示； ()求 A n 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 解得 x 1 =2，x 2 =-2，x 3 =1，故 =2 1 -2 2 + 3 。 ()A=2A 1 -2A 2 +A 3 ，则由题设条件可得 A n =2A n 1 -2A n 2 +A n 3 =2 1 -22 n 2 +3 n 3 = )解析：27.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩 C 1 ，使得 B 1 = 。同理，存在可逆矩 C 2 ，使得 B 2 = )解析：
