1、考研数学一（线性代数）-试卷 7 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )，B=( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9。B.6。C.3。D.1。3.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（分数：2.00）A.A+b 是对称矩阵。B.AB 是对称矩阵。C.A * +B * 是对称矩阵。D.A-2B
2、 是对称矩阵。4.设 A= （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =B。B.AP 2 P 1 =B。C.P 1 P 2 A=B。D.P 2 P 1 A=B。5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 若 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（分数
3、：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。6.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解。B.Ax= 必有唯一解。C.=0 仅有零解。D.=0 必有非零解。7.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则r(A)=r(n)；若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.
4、。8.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。C. 1 =0。D. 2 =0。9.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.必要而非充分条件。C.充分而非必要条件。D.既非充分也非必要条件。10.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩。B.A 与 B 有相同的特征值。C.A 与 B 有相同的特征向量。D.A 与
5、B 有相同的行列式。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_12.设方阵 A 满足 A 2 -A-2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=m，r( 1 ， 2 ， s ，)=m+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 1 =(6，-1，1) T 与 2 =(-7，
6、4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，
7、A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax-2A 2 x。 ()记P=(x，Ax，A 2 x)。求三阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ； ()计算行列式A+E。（分数：2.00）_21.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_22.设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示。 ()求 a 的值； ()将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_23.
8、设 A= （分数：2.00）_24.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数：2.00）_25.设矩阵 A= （分数：2.00）_26.已知矩阵 A= （分数：2.00）_27.已知 A= （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 7 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. 1 ， 2
9、 ， 3 ， 1 ， 2 均为四维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )，B=( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9。B.6。 C.3。D.1。解析：解析：由矩阵加法公式，得 A+B=( 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 )，结合行列式的性质有 A+B= 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2( 1 + 2 + 3 )， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ，- 3 ，-
10、1 ， 1 + 2 =2 2 ，- 3 ，- 1 ， 1 + 2 =2 1 ， 2 ， 2 ， 1 + 2 =2(A+B)=6。3.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是( )（分数：2.00）A.A+b 是对称矩阵。B.AB 是对称矩阵。 C.A * +B * 是对称矩阵。D.A-2B 是对称矩阵。解析：解析：由题设条件，则 (A+B) T =A T +B T =A+B，(Bk) T =kB T =kB， 所以有 (A-2B) T =A T -(2B T )=A-2B， 从而选项 A、D 是正确的。 首先来证明(A * ) T =(A T ) * ，即只需证明等式两边(i，j)位置元
11、素相等。(A * ) T 在位置(i，j)的元素等于 A * 在(j，i)位置的元素，且为元素 a ij 的代数余子式A ij 而矩阵(A T ) * 在(i，j)位置的元素等于 A T 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 a ij =a ij ，则该元素仍为元素 a ij 的代数余子式 A ij 。从而(A * ) T =(A T ) * =A * ，故 A * 为对称矩阵，同理，B * 也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项 C 是正确的。 因为(AB) T =B T A T =BA，从而选项 B 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件
12、是 AB=BA。 所以应选 B。4.设 A= （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =B。B.AP 2 P 1 =B。C.P 1 P 2 A=B。 D.P 2 P 1 A=B。解析：解析：由于对矩阵 A mn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A mn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P 2 与 P 1 ，因此选项 C 正确。5.已知 1 ， 2 ， 3
13、， 4 是三维非零列向量，则下列结论 若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 若 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 其中正确的个数是( )（分数：2.00）A.0。B.1。C.2。 D.3。解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 是三维非零列向量，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关。 若 1 ， 2 ， 3 线性无
14、关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，1，0) T ， 3 =(0，2，0) T ， 4 =(0，0，1) T ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，但 1 ， 2 ， 4 线性无关，可知结论错误。 由于 ( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )( 1 ， 2 ， 2 + 3 )( 1 ， 2 ， 3 )， ( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 所以 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r
15、( 1 ， 2 ， 3 )，r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 则当 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )时，可得 r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，因此 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示。可知结论正确。所以选 C。6.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解。B.Ax= 必有唯一解。C.=0 仅有零解。D.=0 必有非零解。 解析：解析：齐次线性方程必有解(零解)，则
16、选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B。又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知， 7.设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是Bx=0 的解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则r(A)=r(n)；若 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A.。B.。 C.。D.。解析：解析：由于线性方程组 Ax=0 和
17、Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以，显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。 下面证明，正确： 对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而 Ax=0 的有效方程的个数(即 r(A)必不少于 Bx=0 的有效方程的个数(即 r(B)，故 r(A)r(B)。 对于，由于 A，B为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即 n-r(A)=n-r(B)， 从而 r(A)=r(B)。8.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，
18、对应的特征向量分别为 1 ， 2 则 1 ，A( 1 + 2 )线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 0。B. 2 0。 C. 1 =0。D. 2 =0。解析：解析：令 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )=0，则(k 1 +k 2 1 ) 1 +k 2 2 2 =0。 因为 1 ， 2 线性无关，所以 k 1 +k 2 1 =0，且 k 2 2 =0。 当 2 0 时，显然有 k 1 =0，k 2 =0，此时 1 ，A( 1 + 2 )线性无关；反过来，若 1 ，A( 1 + 2 )线性无关，则必然有 2 0(否则， 1 与 A( 1 + 2 )= 1 1 线性相关
19、)，故应选 B。9.n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征值是 A 和 B 相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.必要而非充分条件。 C.充分而非必要条件。D.既非充分也非必要条件。解析：解析：由 AB，即存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=B，故 E-B=E-P -1 AP=P -1 (E-A)P =P -1 E-AP=E-A， 即 A 与 B 有相同的特征值。 但当 A，B 有相同特征值时，A与 B 不一定相似。例如 10.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（分数：2.00）A.A 与 B 有相同的秩。 B.A 与 B 有相同的特征值。C.A
20、 与 B 有相同的特征向量。D.A 与 B 有相同的行列式。解析：解析：合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=A-B，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，AB=A-B，则(A+E)(E-B)=E，因此12.设方阵 A 满足 A 2 -A-2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 2 -A-2E=O，可得(A+2E)(A-3E)=-4E
21、，于是有 (A+2E) -1 (A+2E)(A-3E)=-4(A+2E) -1 ， 因此 (A+2E) -1 = 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变换，则有14.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=m，r( 1 ， 2 ， s ，)=m+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：m+1）解析：解析：已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=m，表明向量 可以由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，但是 r(
22、 1 ， 2 ， s ，)=m+1，则表明向量 不能由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，因此通过对向量组 1 ， 2 ， s ， 作初等列变换，可得 ( 1 ， 2 ， s ，)=( 1 ， 2 ， s ，0，)，因此可得 r( 1 ， 2 ， s ，)=m+1。15.设 1 =(6，-1，1) T 与 2 =(-7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(6，-1，1) T +k(13，-5，-1) T ，k 为任意常数）解析：解析：一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r(A)= 3。另一方面由于
23、在系数矩阵 A 中存在二阶子式 所以一定有 r(A)2，因此必有 r(A)= 16.设 A 为二阶矩阵， 1 ， 2 为线性无关的二维列向量，A 1 =0，A 2 =2 1 + 2 ，则 A 的非零特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设条件，得 A( 1 ， 2 )=(A 1 ，A 2 )=( 1 ， 2 ) 记 P=( 1 ， 2 )，因 1 ， 2 线性无关，故 P=( 1 ， 2 )是可逆矩阵。由 AP= ，可得 P -1 AP= ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。 因为 17.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_
24、 （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 的特征方程 E-A= =(-1)( 2 -1)=0， 可得 A 的特征值是 =1(二重)，=-1。 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 -1 必有两个线性无关的特征向量，因此 r(E-A)=3-2=1，根据 18.已知正、负惯性指数均为 1 的二次型 f=x T Ax 通过合同变换 x=Py 化为 f=y T By，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：合同矩阵对应的二次型具有相同的规范形，所以由二次型 f=x T Ax 的正、负惯性指数均为1 可知，矩阵 B 的秩 r(B)=2，从而有A=-
25、(a-1) 2 (a+2)=0。 若 a=1，则 r(B)=1，不合题意，舍去。 若 a=-2，则由 E-B= 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax-2A 2 x。 ()记P=(x，Ax，A 2 x)。求三阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ； ()计算行列式A+E。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令等式 A=PBP -1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即 A(x，Ax，A 2 x)=(A
26、x，A 2 x，A 3 x)=(Ax，A 2 x，3Ax-2A 2 x) =(x，Ax，A 2 x) 所以 B= ()由()知AB，那么 A+EB+E，从而 A+E=B+E= )解析：21.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 r(A)=n 时，A0，则有A * =A n-1 0，从而 A * 可逆，即r(A * )=n。 (2)当 r(A)=n-1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n-1 阶子式不为零，即 A * 中至少有一个元素不为零，故 r(A * )1。 又因 r(A)=n-1 时，有A=0，且由
27、AA * =AE 知 AA * =O。根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A * )n， 把 r(A)=n-1 代入上式，得 r(A * )1。 综上所述，有 r(A * )=1。 (3)当 r(A)n-2 时，A 的所有 n-1 阶子式都为零，也就是 A * 的任一元素均为零，即 A * =O，从而r(A * )=0。)解析：22.设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示。 ()求 a 的值； ()将 1 ， 2 ， 3 由 1 ，
28、 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 1 ， 2 ， 3 不能由 1 ， 2 ， 3 表示，且由 1 ， 2 ， 3 =10，知 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以， 1 ， 2 ， 3 线性相关，即 1 ， 2 ， 3 = =a-5=0，解得 a=5。 ()本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )C。 所以 C=( 1 ， 2 ， 3 ) -1 ( 1 ， 2 ， 3 )= 因此( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为线性
29、方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r(A)= n。于是 A= =(+1)(-1) 2 =0。 解得 =1 或 =-1。 当 =1 时，r(A)=1， =2，此时线性方程组无解。 当 =-1 时， 若 a=-2，则 r(A)= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =-1，a=-2。 ()当=-1，a=-2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为 )解析：24.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
30、：由于 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有 A i =b(i=1，s)。 因为 k 1 +k 2 +k s =1，所以 Ax=A(k 1 1 +k 2 2 +k s s ) =k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =b(k 1 +k s )=b， 由此可见 x 也是方程组的解。)解析：25.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=-4，=y 是 A 的特征值。 因为 =-4 是 A 的特征值，所以 解得 x=4。 又因为相似矩阵的行列式相同， 所以 y=5。 当=5 时，解方程(A-5E)
31、x=0，得两个线性无关的特征向量 ，将它们正交化、单位化得： 当=-4 时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量 ，单位化得： )解析：26.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 =5 是矩阵 A 的特征值，则由 5E-A= =3(4-a 2 )=0， 可得a=2。 当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式 E-A= =(-2)(-5)(-1)， 矩阵 A 的特征值是1，2，5。 由(E-A)x=0 得基础解系 1 =(0，1，-1) T ；由(2E-A)x=0 得基础解系 2 =(1，0，0) T ；由(5E-A)x=0 得基础解系 3 =(0，1，1) T 。即矩阵
32、A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则 )解析：27.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()A T A= ，由 r(A T A)=2 可得 A T A= =(a+1) 2 (a 2 +3)=0， 所以 a=-1。 ()由()中结果，令矩阵 B= E-B= =(-2)(-6)=0， 解得矩阵 B 的特征值为 1 =0， 2 =2， 3 =6。 由( i E-B)x=0，得对应特征值 1 =0， 2 =2， 3 =6 的特征向量分别为 1 =(-1，-1，1) T ， 2 =(-1，1，0) T ， 3 =(1，1，2) T 。 将 1 ， 2 ， 3 单位化可得： 则正交变换 x=Qy 可将原二次型化为 )解析：
