1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 105 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1C.A(A+B) 1 BD.(A+B) 13.则 m，n 可取( ) （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=24.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性
2、无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆5.设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=sB.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B
3、)=n6.与矩阵 A= 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|BA|=4，则|EAB T |= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：
4、|A|0（分数：2.00）_13.设 是 n 维单位列向量，A=E T 证明：r(A)n（分数：2.00）_14.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_15.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ； () 1 ， 2 ， 3 ， 4 ； () 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4 证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4（分数：2.00）_16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由
5、1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：4.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：2.00）_(2).设 1 = （分数：2.00）_17.设向量组 1 ， 2 ， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_18.设 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 （分数：2.00）_19.证明：r(A)=r(A T A)（分数
6、：2.00）_20.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r(0rn)求|5E+A|（分数：2.00）_设矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：2.00）_(2).判断 A 可否对角化（分数：2.00）_设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A= （
7、分数：2.00）_23.设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_24.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 105 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析
8、：2.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1C.A(A+B) 1 B D.(A+B) 1解析：解析：A(A+B) 1 B(A 1 +B 1 )=(A+B)A 1 1 (BA 1 +E)=(BA 1 +E) 1 (BA 1 +E)=E，所以选(C)3.则 m，n 可取( ) （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析：解析：P 1 m AP 2 n 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1 4.下列命题正确的是( )（
9、分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆 解析：解析：(A 1 ，A 2 ，A n )=A( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以矩阵( 1 ，
10、2 ， n )可逆，于是 r(A 1 ，A 2 ，A n )=r(A)，而A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选(D)5.设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=s B.r(A)=mC.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析：设 r(A)=s，显然方程组 BX=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组 BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选(A)6.与矩阵 A=
11、 相似的矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|BA|=4，则|EAB T |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：|A|0 8.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：|A|=3，A * =|A|A 1 =3A 1 ，则(A * )
12、1 B=ABA+2A 2 化为13AB=ABA+2A 2 ，注意到 A 可逆，得13B=BA+2A 或B=3BA+6A，则 B=6A(E+3A) 1 ， 则 B=6A(E+3A) 1 9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为|A * |=|A| 2 =4，且|A|0，所以|A|=2，又 AA * =|A|E=2E，所以 A 1 =12A * ，从而 A 1 的特征值为12，1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为2，1，1，于是 a 11 +a 22 +a 33 =21+1=210.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_
13、（正确答案：正确答案：4）解析：解析：由|EA| 三、解答题(总题数：17，分数：38.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：|A|0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 |A|=a k1 A k1 +a k2 A k2 +a kn A kn =a k1 2 +a k2 2 +a kn 2 0)解析：13.设 是 n 维单位列向量，A=E T 证明：r(A)n（分数：
14、2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E T )(E T )=E2 T + T T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 A(EA)=O 得 r(A)+r(EA)n，又由 r(A)+r(EA)rA+(EA)=r(E)=n，得 r(A)+r(EA)=n因为 EA= T O，所以 r(EA)=r( T )=r()=1，故 r(A)=n1n)解析：14.设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， s )，因为 AB=O，所以 B 的列向量组 1 ， 2 ， s 为
15、方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为nr(A)，所以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)+r(B)n)解析：15.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ； () 1 ， 2 ， 3 ， 4 ； () 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4 证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组()的秩为 3，所以 1 ， 2 ， 3 线性无关，又因为向量组
16、()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示因为向量组()的秩为 4，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，故向量 5 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 线性无关，于是向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 4 的秩为 4)解析：16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， 2 ， n 线性无关，对任
17、意的 n 维向量 ，因为 1 ， 2 ， n ， 一定线性相关，所以 可由 1 ， 2 ， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示 反之，设任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示， 取 e 1 )解析：设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：4.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 1 ， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 ，使得 k
18、1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0，或 k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 l 2 2 令 =k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 l 2 2 ，因为 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关，所以 k 1 ，k 2 及 l 1 ，l 2 都不全为零，所以 0)解析：(2).设 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 1 +k 2 2 +l 1 1 +l 2 2 =0， A=( 1 ， 2 ， 1 ， 2 ) )解析：17.设向量组 1 ， 2 ， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数
19、：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， n1 与 1 ， 2 正交，所以 A 1 =0，A 2 =0，即 1 ， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1 ， 2 线性相关)解析：18.设 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的基础解系为 )解析：19.证明：r(A)=r(A T A)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只需证明 AX=0 与 A T AX=0 为同解方程组即可 若 AX 0
20、=0，则 A T AX 0 =0 反之，若 A T AX 0 =0，则 X 0 T A T AX 0 =0 (AX 0 ) T (AX 0 )=0 )解析：20.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 =A，r(A)=r(0rn)求|5E+A|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =A A(EA)=O r(A)+r(EA)=n )解析：设矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 a，b 及 对应的 A * 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A= 1 ，则有 |A|=12，设 A 的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 )解析
21、：(2).判断 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2EA )解析：设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 + 2 + 3 0， 由 A( 1 + 2 + 3 )=2( 1 + 2 + 3 )，得 A 的一个特征值为 1 =2； 又由 A( 1 2 )=( 1 2 )，A( 2 3 )=( 2 3 )，得 A 的另一个特征值为
22、2 =1 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 2 与 2 3 也线性无关，所以 2 =1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，1，1)解析：(2).判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 2 ， 2 3 为属于二重特征值1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA| =0，得 1 = 2 =1， 3 =2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(EA)=1， 即 a=1，故 A 由 =1 时，由(EA)X=0，得 1
23、由 =2 时，由(2EA)X=0，得 3 = 令 P=( 1 ， 2 ， 3 ) 两边n 次幂得 P 1 A n P )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|EA| =(+a1)(a)(a1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1 =1a， 2 =a， 3 =1+a (1)当 1aa，1a1+a，a1+a，即 a0 且 a12 时，因为矩阵 A有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1 =1a 时，由(1a)EAC=0 得 1 = ； 2 =a 时，由(aEA)X=0 得 2 = ； 3 =1+a 时，由(1+a)EAX=0 得 3 )解析：23.设 A 为 mn
24、阶实矩阵，且 r(A)=n证明：A T A 的特征值全大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 A T A 为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的 X0， X T (A T A)X=(AX) T (AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0所以 (AX) T (AX)= T = 2 0，即二次型 X T (A T A)X 是正定二次型A T A 为正定矩阵，所以 A T A 的特征值全大于零)解析：24.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=y 1
25、2 +y 2 2 +4y 3 2 ，求参数 a，b 及正交矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 的矩阵形式为 f=X T AX 所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4 而|EA|= 3 (a+4) 2 +(4ab 2 +2)+(3a2b+2b 2 +2)，所以有 3 (a+4) 2 +(4ab 2 +2)+(3a2b+2b 2 +2)=(1) 2 (4)， 解得 a=2，b=1当 1 = 2 =1 时，由(EA)X=0 得 1 3 =4 时，由(4EA)X=0 得 3 = 显然 1 ， 2 ， 3 两两正交，单位化为 )解析：
