1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 108 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm3.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线
2、性表示4.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 15.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解
3、，则方程组 Ab 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ 6.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A.B.C.AD.A n17.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A 1 是正定矩阵8.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1，以下命题中正确的命
4、题个数为( )(1)AB；(2)A，B合同；(3)A，B 等价；(4)A=B（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 是三阶矩阵，且A=4，则( （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）填空项 1:_14.设 = （分数：2.00）填空项 1:_
5、三、解答题(总题数：13，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.计算行列式 （分数：2.00）_17.设 A= （分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=O证明：r(4EA)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_19.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_20.设三维向量空间的两组基 ，向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 （分数：2.00）_设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0
6、，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_21.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量，若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_设 A
7、，B 为 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA；（分数：2.00）_(2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，tr(A)=1，又 B= （分数：4.00）(1).求正交矩阵 Q，使得在正交变换 x=QY 下二次型化为标准形（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 108 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
8、题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析：显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)3.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示 B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示解析：解析：因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所
9、以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表示，选(A)4.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 解析：解析
10、：因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s 与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 等价，选(D)5.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 Ab 的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ 解析：解析：选(D)，因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0
11、 的两个线性无关解，也是基础解系，而 6.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A * 的一个特征值为( )（分数：2.00）A.B. C.AD.A n1解析：解析：因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A * AX=A * X，从而有 A * X= 7.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A 1 是正定矩阵 解析：解析：A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，
12、不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件8.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1，以下命题中正确的命题个数为( )(1)AB；(2)A，B合同；(3)A，B 等价；(4)A=B（分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为 A，B 的特征值为一 2，1，1，所以A=B=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：
13、解析：按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x 2 项的系数为 2310.设 A 是三阶矩阵，且A=4，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：( 11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 一 2E= ，12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 = =E 23 ，因为 E ij 1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 P 1 2009 P 2 1 =P 1 P 2 1 = 13.
14、设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：X=*(k 为任意常数)）解析：解析：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 = 3 一 1 =( 2 + 3 )一( 1 + 2 )= ，于是方程组的通解为 X= 14.设 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2，b=3；）解析：解析：由 A= 得三、解答题(总题数：13，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.计算行
15、列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+AE=A * +X 得 (AE)X=A * 一AE=A * 一 AA * =(EA)A * ， 因为EA=一 30，所以 EA 可逆，于是 X=一 A * ， 由A=6 得 X=一 6A 1 ， 得 A 1 = ，于是 X=一 6A 1 = )解析：18.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=O证明：r(4EA)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 一 2A 一 8E=O 得(4EA)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性
16、质得 r(4EA)+r(2E+A)n，又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4EA)+r(2E+A)=n)解析：19.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 1 ， n 为一个向量组，且 1 ， r (rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k r ，使得 k 1 1 +k r r =0，于是 k 1 1 +k r r +0 r1 +0 n =0，因为 k 1 ，k r ，0，0 不全为零，所以 1 ， n 线性相关)解析：20.设三维向量空间的两组基 ，向量 在
17、基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 ，所以有 =( 1 ， 2 ， 3 ) ，设向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则有 =( 1 ， 2 ， 3 ) ，于是( 1 ， 2 ， 3 ) =( 1 ， 2 ， 3 ) =( 1 ， 2 ， 3 ) 1 ( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分
18、数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一 4，3，a+1) T 线性相关，即 )解析：(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k 1 (1，一 2，1，2) T +k 2 (1，0，5，2) T +k 3 (一 1，2，
19、0，1) T (k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数)解析：21.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 为 AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质， =( 2 + 3 )一( 1 + 2 )= 3 一 1 = ， 所以方程组 AX=b 的通解为 )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA= )解析：23.设 A 是 n 阶矩阵，
20、 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量，若 A 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量?说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=X 得 A 2 X=A(AX)=A(X)=AX= 2 X 可知 2 是 A 2 的特征值，X 为特征向量，若 A 2 X=X，其中 A= ，A 2 =O，A 2 的特征值为 =0，取 X= ，显然 A 2 X=0X，但 AX= )解析：设 A，B 为 n 阶矩阵（分数：4.00）(1).是否有 ABBA；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般情况下，AB
21、与 BA 不相似，如 )解析：(2).若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A=n！0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有 P 1 ABP=BA，故ABBA)解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= 0 ，即 ，解得 0 =4，x=10，y=一 9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 = )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，tr(A)=1，又 B= （分数：4.00）(1).求正交矩阵 Q，使得在正交变换 x=QY 下二次型化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O 得 为 =0 的两个线性无关的特征向量，从而 =0 为至少二重特征值，又由 tr(A)=1 得 3 =1， 即 1 = 2 =0， 3 =1 令 3 =1 对应的特征向量为 3 = ， 因为 A T =A，所以 解得 3 =1 对应的线性无关的特征向量为 3 = ， 令 ，所求的正交矩阵为 Q= ， 且 X T AX )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Q T AQ= )解析：
