1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 109 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 =( ，0，0， （分数：2.00）A.OB.一 EC.ED.E+ T 3.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=44.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1
2、 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关5.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关6.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 l， 2 =0， 3 =1，则下列结论不正确的是(
3、)（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量7.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a一 1，则 a= 1（分数：2.00）填空
4、项 1:_9.设 A 为三阶矩阵，且A=4，则( （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，故(A * ) * 1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_11.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.计算 D= （分数：2.00）_15.设四阶矩阵 B 满足( A * ) 1 BA 1 =2AB+E，且 A= （分数：2.00）_16.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.
5、00）_17.n 维列向量组 1 ， n1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n1 ，线性无关（分数：2.00）_18.设三维向量空间 R 3 中的向量 在基 1 =(1，2，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(3，2，1) T 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，且 y 1 =x 1 一 x 2 一 x 3 ，y 2 =一 x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 ，求从基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵（分数：2.00）_19.求方程组 （分
6、数：2.00）_20.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n 一 1) n1 =0，b= 1 + 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_设 为 n 维非零列向量，A=E （分
7、数：4.00）(1).证明：A 可逆并求 A 1 ；（分数：2.00）_(2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：2.00）_22.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 1 = ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 2 = （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 （分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )
8、=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 109 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 =( ，0，0， （分数：2.00）A.OB.一 EC.E D.E+ T 解析：解析：由 T = 3.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则(
9、 )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=1，所以 r(A)=41=3，选(C)4.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性无关解析：解析：因为一( 1 + 2 )+( 2 + 3 )一
10、( 3 + 4 )+( 4 + 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关； 因为( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0， 所以 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性相关； 因为( 1 + 2 )一( 2 + 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 4 ， 4 一 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 一 1 线性无关，选(C)5.向量组 1 ， 2 ，
11、 s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析：若向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)6.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 l， 2 =0， 3
12、=1，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值一 1，1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析：解析：由 1 =一 1， 2 =0， 3 =1 得A=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1 + 2 + 3 =tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一
13、定有此性质，选(C)7.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析：(A)不对，如 f=x 1 x 2 ，令 ，则 f=y 1 2 一 y 2 2 ；若令 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a一 1，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1
14、）解析：解析：由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一 1)=0 得 a=19.设 A 为三阶矩阵，且A=4，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =AA 1 =4A 1 得 10.设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，故(A * ) * 1 = 1(用 A * 表示)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =AA 1 得(A * ) * =A * (A * ) 1 =A n1 (AA 1 ) 1 =A n2 A，故(A * ) * 1 = 11.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
15、案：正确答案：a=一 1）解析：解析：因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是 r(A)3，即A=0，由A=3+2a 一 a 2 =0，得 a=一 1 或 a=3，当 a=3 时，因为 r(A)= =23，所以方程组有无穷多个解； 当 a=一 1 时， 12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 10）解析：解析：由EA= =( 一 1)( 一 2) 2 =0 得 1 =1， 2 = 3 =2，因为 A 可对角化，所以 r(2EA)=1，由 2EA= 三、解答题(总题数：15，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.
16、计算 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设四阶矩阵 B 满足( A * ) 1 BA 1 =2AB+E，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=O，故 r(A)+r(B 一 C)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=O，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的)解析：17.n 维列向量组 1 ， n1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n1 ，线性无关（分
17、数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 0 +k 1 1 +k n1 n1 =0，由 1 ， n1 与非零向量 正交及(，k 0 +k 1 1 +k n1 n1 )=0 得 k 0 (，)=0，因为 为非零向量，所以(，)= 2 0，于是 k 0 =0，故 k 1 1 +k n1 n1 =0，由 1 ， n1 线性无关得 k 1 =k n1 =0，于是 1 ， n1 ， 线性无关)解析：18.设三维向量空间 R 3 中的向量 在基 1 =(1，2，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(3，2，1) T 下的坐标为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，在基 1 ， 2 ，
18、3 下的坐标为(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，且 y 1 =x 1 一 x 2 一 x 3 ，y 2 =一 x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 ，求从基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =( 1 ， 2 ， 3 )X，=( 1 ， 2 ， 3 )Y，由 y 1 =x 1 x 2 一 x 3 ，y 2 =一 x 1 +x 2 ，y 3 =x 1 +2x 3 得 Y= X，由( 1 ， 2 ， 3 )X=( 1 ， 2 ， 3 )Y，得 ( 1 ， 2 ， 3 )X=( 1 ， 2 ， 3 )Y=( 1
19、， 2 ， 3 ) X， 于是( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ， 故从基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵为 )解析：19.求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ， 原方程组的同解方程组为 ， 故原方程组的通解为 )解析：20.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一： B=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )=( 1 ， 2 ， n ) ， 由 r
20、(A)=n 可知A0，而B= A =A1+(一 1) n1 ， 当 n为奇数时，B0，方程组 BX=0 只有零解； 当 n 为偶数时，B=0，方程组 BX=0 有非零解 方法二 BX=0 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关， 所以 )解析：设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n 一 1) n1 =0，b= 1
21、+ 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n 一 1，又 b= 1 + 2 + n ，所以 =n 一 1，即 r(A)= )解析：(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 +2 2 +(n 一 1) n1 =0，所以 1 +2 2 +(n 一 1) n1 +0 n =0， 即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n 一 1，0) T ， 又因为 b= 1 + 2 + n ，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) T ， 故方程组 AX=b
22、 的通解为k+=k(1，2，n 一 1，0) T +(1，1，1) T (k 为任意常数)解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 = 2 =2 及 1 + 2 + 3 =tr(A)=10 得 3 =6 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1， 由 2EA= 得 a=2，b=一 2 1 = 2 =2 代入(EA)X=O， 由 2EA 得 1 = 2 =2 对应的线性无关的特征向量为 ； 3 =6 代入(EA)X=O， 由 6EA= 得 3 =6 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 P= ，则 P 可逆，且 P 1 AP= )解析：设 为
23、 n 维非零列向量，A=E （分数：4.00）(1).证明：A 可逆并求 A 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 = )解析：(2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A=(E )解析：22.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 1 = ，属于特征值 2 = 3 =2 的特征向量为 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1 T 2 =一1+k=0 1 =8 对应的特征向量为 1 = 令
24、2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 3 = ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x 1 +x 2 +x 3 =0 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A * 的特征向量也是 A 的特征向量，由 得 因为A=一 1，所以 a=2，于是 a=2，b=一 3，c=2，= )解析：24.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， f(x
25、1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 =(x 1 +x 2 一 x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2 一 10x 3 2 ， 且 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =5 由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解， 故 为 1 = 2 =一 1 对应的线性无关解 令 3 = 为 3 =5 对应的特征向量， 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 f=X T AX )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Q T AQ= )解析：
