1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 115 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 A （分数：2.00）A.a1 时，必有 r(B)1B.a1 时，必有 r(B)2C.a1 时，必有 r(B)1D.a1 时，必有 r(B)23.设矩阵 B （分数：2.00）A.4B.5C.6D.7二、填空题(总题数：10，分数：20.00)4.设 A （分数：2.00）填空项 1:_5.设 A 是 3 阶矩阵且A ，则( （分数：2.00）填空项 1:_6.已知 1 ，
2、 2 ， 3 ， 4 是 3 维列向量，矩阵 A( 1 ， 2 ，2 3 4 2 )，B( 3 ， 2 ， 1 )，C( 1 2 2 ，2 2 3 4 ， 4 3 1 )，若B5，C40，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_7.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，2，又 BA 3 5A 2 ，则B4E 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 2A 3 A 2 2A0，若秩 r(A)r，则行列式A3E 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 A 是 3 阶非零矩阵，若矩阵 B （分数：2.0
3、0）填空项 1:_11.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且 ABB -1 A -1 ，则 r(EAB)r(EAB) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.()设 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A0，B 2 B0，证明 1 必是矩阵 A 与 B 的特征值；()若 ABBA0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值 1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关（分数：2.00）
4、_16.A （分数：2.00）_17.设 A （分数：2.00）_18.已知 AE T ，其中 ， （分数：2.00）_19.设 A 是 n 阶反对称矩阵， ()证明对任何 n 维列向量 ，恒有 T A0； ()设 A 还是实矩阵，证明对任何非零实数 c，矩阵 AcE 恒可逆（分数：2.00）_20.设 是 n 维列向量，已知 T 阶矩阵 AE T ，其中 E 为 n 阶单位矩阵，证明矩阵 A 不可逆（分数：2.00）_21.设 1 (0，1，0) T ， 2 (1，0，1) T ， 3 (0，1，1) T 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值依次为 2，2，1求 A 和 A n （分数：
5、2.00）_22.已知向量组() 1 (1，3，0，5) T ， 2 (1，2，1，4) T ， 3 (1，1，2，3) T 与向量组() 1 (1，3，6，1) T ， 2 (a，0，b，2) T 等价，求 a，b 的值（分数：2.00）_23.设 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，而 1 ， 2 ， s ， 线性相关，证明 可以由 1 ， 2 ， s 线性表出且表示方法唯一（分数：2.00）_24.已知 A 是 n 阶非零矩阵，且 A 中各行元素对应成比例，又 1 ， 2 ， t 是 A0 的基础解系， 不是 A0 的解证明任一 n 维向量均可由 1 ， 2 ， t ， 线性表出（
6、分数：2.00）_25.设向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t ，如果()可由()线性表出，且秩 r()r()，证明()与()等价（分数：2.00）_26.已知 4 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，而 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关 ()证明 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出； ()证明 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； ()举例说明 2 能否由 1 ， 3 ， 4 ， 5 线性表出是不确定的（分数：2.00）_27.已知 n 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，且向量 可由 1 ， 2 ， 3 中的任何两个向量线性表出，证明
7、 0（分数：2.00）_28.已知向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，若 l 1 1 l 2 2 l s s ，其中l i 0，证明用 替换 i 后所得向量组 1 ， i-1 ， i+1 ， s 线性无关（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 115 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 A （分数：2.00）A.a1 时，必有 r(B)1B.a1 时，必有 r(B)2C.a1 时，必有 r(B)1 D.a1 时，必有 r(B)2解
8、析：解析：易见若 a1 有 r(A)1，而 a1 时，r(A)2，再由 AB0 得到 r(A)r(B)3 可见当 a1 时，秩 r(B)有可能为 1 也可能为 2，即(A)、(B)均不正确。 而当 a1 时，从 B0 知必有r(B)1，且 r(B)2 是不可能的所以应选 C3.设矩阵 B （分数：2.00）A.4B.5C.6 D.7解析：解析：由矩阵 B 的特征多项式 EB 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)4.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由于2A -1 EA -1 (2EA)A -1 2EA， 因为A24，故A -1 又 2EA
9、5.设 A 是 3 阶矩阵且A ，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：256）解析：解析：由(kA) -1 A -1 ，(kA) * k n-1 A * 及 A * AA -1 ，有 ( 6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维列向量，矩阵 A( 1 ， 2 ，2 3 4 2 )，B( 3 ， 2 ， 1 )，C( 1 2 2 ，2 2 3 4 ， 4 3 1 )，若B5，C40，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：根据行列式的性质，有 A 1 ， 2 ，2 3 4 2 1 ， 2 ，2 3 4 1 ， 2 ，2 3
10、 1 ， 2 ， 4 2 3 ， 2 ， 1 1 ， 2 ， 4 10 1 ， 2 ， 4 由于 C( 1 2 2 ，2 2 3 4 ， 4 3 1 )( 1 ， 2 ， 4 ) ， (*) 两边取行列式，有 C 1 ， 2 ， 4 . 7.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，2，又 BA 3 5A 2 ，则B4E 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：设矩阵 A 的特征值是 ，容易导出，矩阵 BA 3 5A 2 的特征值为 3 5 2 由于A 的特征值为 1，1，2，则矩阵 B 的特征值分别是 1 3 51 2 4， (1) 3 5(1) 2 6，2
11、 3 52 2 12 同样，设矩阵 B 的特征值为 ，则矩阵 B4E 的特征值为 4于是，矩阵 B4E 的特征值分别为 0，2，8因为矩阵 B4E 有 3 个相异的特征值，故存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (B4E)P 8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A 4 2A 3 A 2 2A0，若秩 r(A)r，则行列式A3E 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n-r）解析：解析：由 A 是实对称矩阵知 A 必可相似对角化，而当 A时，由 A 的 n 个特征值所构成只要能求出对角矩阵，根据A i 就可以求出行列式A3E的值 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征
12、值 的特征向量，即 A(0)，则 A 2 2 ，A 3 3 ，A 4 4 于是( 4 2 3 2 2)0，0 即有 4 2 3 2 2(2)( 2 1)0 因为实对称矩阵的特征值必是实数，故 A 的特征值取自2 与 0那么由 r(A)r，得到 9.若矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由 B0 知齐次方程组 A0 有非零解，从而 r(A)3(或者从 r(A)r(B)3，r(B)1，亦可知 r(A)3)那么对 A 作初等变换有10.已知 A 是 3 阶非零矩阵，若矩阵 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由 A
13、B0 知 r(A)r(B)3，又因 r(B)2，矩阵 A 非零，得到 r(A)1 由 AB0 我们还知矩阵 B 的列向量是 A0 的解，所以由 知 0 是矩阵 A 的特征值，(1，4，7) T ，(2，5，8) T 是 0 的 2 个线性无关的特征向量由 A3E 不可逆，知 3 是矩阵 A 的特征值那么矩阵 A 有3 个线性无关的特征向量 从而 A 进而 AE 11.已知矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，0，1) T k 2 (1，2，2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析：因为齐次方程组 A0 有非零解，故 A 12.设 A，
14、B 均为 n 阶可逆矩阵，且 ABB -1 A -1 ，则 r(EAB)r(EAB) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由于 ABB -1 A -1 ，有(AB) 2 E，即(EAB)(EAB)0，从而得 r(EAB)r(EAB)n 又因 r(AB)r(A)r(B)，知 r(EAB)r(EAB)r(EAB)(EAB)r(2E)n 联立，得：r(EAB)r(EAB)n13.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 BA0，有 r(A)r(B)3，又因 r(B)1，故 r(A)3r(B)1而由题设知 r(A)1，所以
15、 r(A)1于是 推知 a2，b3，c2三、解答题(总题数：15，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.()设 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A0，B 2 B0，证明 1 必是矩阵 A 与 B 的特征值；()若 ABBA0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值 1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为(EA)A0，A0，知齐次方程组(EA)0 有非零解，即行列式EA0，所以 1 必是矩阵 A 的特征值同理 1 也必是矩阵 B 的特征值 类似地，由AB0，B0，知行列式A
16、0，所以 0 必是矩阵 A 的特征值，同理 0 也必是矩阵 B 的特征值 ()对于 A，用矩阵 B 左乘等式的两端有 BAB，又因 BA0，故 B00 即 是矩阵 B 属于特征值 0 的特征向量 那么， 与 是矩阵 B 的不同特征值的特征向量因而， 线性无关)解析：16.A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 A 2 EB A 18 (A 2 ) 9 (EB) 9 C 0 i E 9-i B i E9B )解析：17.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，由 EB 2 10 1，1 对1，由(EB)0， ，得特征向量 1 (11) T ； 对 1，由(EB)0，
17、，得特征向量 2 (2，1) T 那么令 P( 1 2 )有 P -1 BP 从而 P -1 B n P n 由于 )解析：18.已知 AE T ，其中 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 B T ，则 AEB而 由于 r(B)1， T a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 3，故 AEB 3 (a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) 2 3 3 2 所以矩阵 B 的特征值是 3，0，0 那么，矩阵 A 的特征值是 2，1，1，故 A 可逆 因为 T T 3，有 B 2 ( T )( T )( T ) T 3B 于是(AE) 2 3(AE)，即 A 2 A2
18、E，亦即 A. (AE)E所以 )解析：19.设 A 是 n 阶反对称矩阵， ()证明对任何 n 维列向量 ，恒有 T A0； ()设 A 还是实矩阵，证明对任何非零实数 c，矩阵 AcE 恒可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 T A 是 11 矩阵，是一个数，故 T A( T A) T T A T ( T ) T T A 所以恒有 T A0 ()如果矩阵 AcE 不可逆，：则齐次方程组(AcE)0 有非零实解，设其为 ，则 Ac，0 左乘 T ，得 T Ac T 0 与()矛盾故矩阵 AcE 恒可逆)解析：20.设 是 n 维列向量，已知 T 阶矩阵 AE T ，其中 E
19、 为 n 阶单位矩阵，证明矩阵 A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AE T ， T 1，故有 A 2 (E T ) 2 (E T )(E T )E2 T ( T )( T ) E2 T ( T ) T E2 T E T A 设 n 维列向量 (a 1 ，a 2 ，a n ) T 由 T )解析：21.设 1 (0，1，0) T ， 2 (1，0，1) T ， 3 (0，1，1) T 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值依次为 2，2，1求 A 和 A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个线性无关的特征向量，可直接建立
20、矩阵方程计算A 两边转置： 用初等变换法求 A 1 ， 2 ， 3 也是 A n 的特征向量，特征值依次为 2 n ，2 n ，1用同法可求得 )解析：22.已知向量组() 1 (1，3，0，5) T ， 2 (1，2，1，4) T ， 3 (1，1，2，3) T 与向量组() 1 (1，3，6，1) T ， 2 (a，0，b，2) T 等价，求 a，b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 2 2 3 只需考察 1 ， 2 与 1 ， 2 的互相线性表出问题 方程组 1 1 2 2 2 有解 b3a0，22a0 a1，b3 即()可由()线性表出的充要条件是 a1，b3 反
21、之，当 a1，b3 时， )解析：23.设 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，而 1 ， 2 ， s ， 线性相关，证明 可以由 1 ， 2 ， s 线性表出且表示方法唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， s ， 线性相关，故存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，k 使得 k 1 1 k 2 2 k s s k0， 那么必有 k0(否则 k 1 ，k 2 ，k s 不全为 0，而 k 1 1 k 2 2 k s s 0，这与 1 ， 2 ， s 线性无关相矛盾)从而 )解析：24.已知 A 是 n 阶非零矩阵，且 A 中各行元素对应成比例，又
22、1 ， 2 ， t 是 A0 的基础解系， 不是 A0 的解证明任一 n 维向量均可由 1 ， 2 ， t ， 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A 中各行元素对应成比例，故 r(A)1，因此 tn1 若 k 1 1 k 2 2 k n-1 n-1 l0， 用 A 左乘上式，并把 A i 0(i1，2，n1)代入，得 lA0 由于 A0，故 l0于是式为 k 1 1 k 2 2 k n-1 n-1 0 因为 1 ， 2 ， n-1 是基础解系，知 1 ， 2 ， n-1 线性无关 从而由知 k 1 0，k 2 0，k n-1 0 因此 1 ， 2 ， n-1 ， 线性
23、无关 对任一 n 维向量 由于任意 n1 个 n 维向量 1 ， 2 ， n-1 ， 必线性相关，那么 必可由 1 ， n-1 ， 线性表出)解析：25.设向量组() 1 ， 2 ， s 和() 1 ， 2 ， t ，如果()可由()线性表出，且秩 r()r()，证明()与()等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设秩 r()r()r，()的极大线性无关组为： 因为()可由()线性表出，那么 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )r( 1 ， 2 ， t )r 所以 是向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的一个檄大线性尢天组 从而 1 ， 2 ， t 可由
24、 )解析：26.已知 4 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，而 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关 ()证明 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出； ()证明 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； ()举例说明 2 能否由 1 ， 3 ， 4 ， 5 线性表出是不确定的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关，可知 2 ， 3 ， 4 线性无关，又因 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 ， 4 线性表出 或者，由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关知有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，
25、k 3 ，k 4 ，使 k 1 1 k 2 2 k 3 3 k 4 4 0， 那么必有 k0(否则有 k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 而 k 2 2 k 3 3 k 4 4 0，于是 2 ， 3 ， 4 线性相关，这与 2 ， 3 ， 4 ， 5 线性无关相矛盾)从而 1 )解析：27.已知 n 维向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，且向量 可由 1 ， 2 ， 3 中的任何两个向量线性表出，证明 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 可由 1 ， 2 ， 3 中的任何两个向量线性表出，故可设 1 1 2 2 ， y 2 2 y 3 3 ， z 1 1 z 3 3 一： 1
26、 1 ( 2 y 2 ) 2 y 3 3 0， 一：( 1 z 1 ) 1 2 2 z 3 3 0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 0， 2 y 2 0，y 3 0， 1 z 1 0， 2 0，z 3 0 从而 1 2 y 2 y 3 z 1 z 3 0 故 0)解析：28.已知向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，若 l 1 1 l 2 2 l s s ，其中l i 0，证明用 替换 i 后所得向量组 1 ， i-1 ， i+1 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， i-1 ， i+1 ， s 可用 1 ， 2 ， s 线性表出，用矩阵表示有 ( 1 ， i-1 ， i+1 ， s )( 1 ， 2 ， s )C，其中 )解析：
