1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 118 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设向量组 1 1 ， 2 2 ， s s ， 1 2 s (s1)，则向量组的秩（分数：2.00）A.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )B.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )C.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s )D.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s
2、 )3.设 1 (1，2，3，2) T ， 2 (2，0，5，2) T 是齐次线性方程组 A0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 A0 的解向量的是（分数：2.00）A. 1 (1，3，3，3) T B. 2 (0，0，5，2) T C. 3 (1，6，1，10) T D. 4 (1，6，1，0) T 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 4 个解向量，且 1 2 (2，4，6，8) T ， 2 3 4 (3，5，7，9) T ， 1 2 2 3 (2，0，0，2) T ，若秩 r(A)2，则方程组 Ab 的通解是（分数：2.00）A.B.C.D.二
3、、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.已知 （分数：2.00）填空项 1:_6.已知矩阵 A 和 B （分数：2.00）填空项 1:_7.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * ，且矩阵 A，B 满足( （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 ABCD，其中 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知 (0，2，1，a) T 可以由 1 (1，2，3，4) T ， 2 (0，1，1，1) T ， 3 (1，3，a，1) T 线性表出，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且 A 2 ABE，则 r(ABBA2A) 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设
4、 A （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A 是 4 阶矩阵， 1 与 2 是线性方程组 Ab 的两个不同的解，则 r(A * ) * ) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知向量组 1 (1，1，1，3) T ， 2 (0，1，2，3) T ， 3 (1，2a1，3，7) T ， 4 (1，1，a1，1) T 的秩为 3，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A0 的基础解系，若存在 i 使
5、A i i ，i1，2，t，证明向量组 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_16.已知 n 维列向量 1 ， 2 ， s 非零且两两正交，证明 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_17.已知 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同的特征值， 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 分别是矩阵 A 属于特征值 1 和 2 的线性无关的特征向量证明： 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_18.设 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关，其中 1 ， 2 ， s 是齐次方程组 A0 的基础解系证明 A 1
6、 ，A 2 ，A t 线性无关（分数：2.00）_19.试讨论 n 维向量 1 ， 2 ， s 的线性相关性，其中 i (1，a i ，a i 2 ，a i n-1 ) T ，i1，2，s（分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 是两个线性无关的 n 维向量组，证明：向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性相关的充分必要条件是存在非 0 向量 ， 既可由 1 ， 2 ， s 线性表出，也可由卢 1 ， 2 ， t 线性表出（分数：2.00）_21.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 3 个不同的解，证明： () 1 ， 2 ， 3 中任
7、何两个解向量均线性无关； ()如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 1 2 ， 1 3 线性相关（分数：2.00）_22.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，已知 1 (k1) 1 2 3 ， 2 1 (k1) 2 3 ， 3 1 (1k) 2 (1k) 3 试求向量组 1 ， 2 ， 3 的秩 r( 1 ， 2 ， 3 )（分数：2.00）_23.已知向量组 1 ， 2 ， 3 与向量组 1 ， 2 ， 3 （分数：2.00）_24.齐次方程组 （分数：2.00）_25.设矩阵 A （分数：2.00）_26.已知 A 是 34 矩阵，秩 r(A)1，若 1 (1，2，0，2) T ，
8、2 (1，1，a，5) T ， 3 (2，a，3，5) T ， 4 (1，1，1，a) T 线性相关，且可以表示齐次方程组 A0 的任一解，求 A0 的基础解系（分数：2.00）_27.已知 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A0 的基础解系，试判断 1 2 ， 2 3 ， t-1 t ， t 1 是否为 A0 的基础解系，并说明理由（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 118 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设向量组 1 1 ，
9、2 2 ， s s ， 1 2 s (s1)，则向量组的秩（分数：2.00）A.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )B.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )C.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s )D.r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ) 解析：解析：显然，向量组 1 ， 2 ， S 可由 1 ， 2 ， S 线性表示由于 1 2 s s( 1 2 s )(s1)，从而解得 ( 1 2 s )于是有 3.设 1 (1，2，3，2) T ， 2 (2，0，5，2) T 是
10、齐次线性方程组 A0 的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组 A0 的解向量的是（分数：2.00）A. 1 (1，3，3，3) T B. 2 (0，0，5，2) T C. 3 (1，6，1，10) T D. 4 (1，6，1，0) T 解析：解析：A0 的基础解系为 1 ， 2 ，若 i 是 A0 的解向量 i 可由 1 ， 2 线性表出 非齐次线性方程组 1 1 2 2 i 有解逐个 i 判别较麻烦，合在一起作初等行变换判别方便 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 4 个解向量，且 1 2 (2，4，6，8) T ， 2 3 4 (3，5，7，9) T
11、 ， 1 2 2 3 (2，0，0，2) T ，若秩 r(A)2，则方程组 Ab 的通解是（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为方程组 A有解，且秩 r(A)2，那么 nr(A)422，故通解形式为 k 1 1 k 2 2 显然选项 D 不符合解的结构，应排除选项 C 中(3，5，7，9) T 不是 Ab 的解也应排除下面应当用解的性质分析出特解 及导出组的基础解系 由于 A( 1 2 )2b，有 A 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：化简矩阵方程 XAAXAABABA，得(EA)XAAB(
12、EA) 两边左，右两侧都乘 A -1 ，得 (A -1 E)XB(A -1 E)， X(A -1 E) -1 B(A -1 E) 那么 X 3 (A -1 E) -1 B 3 (A -1 E) 因为秩 r(B)1，有 B 2 2B从而得 B 3 2 3 B4B于是 6.已知矩阵 A 和 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 X(XY)E，知 XYX -1 ,于是 YX -1 X由 A(XY)BE 有，AX -1 BE千县XBA那么 7.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * ，且矩阵 A，B 满足( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
13、解析：解析：由A 3 A * 8，知A2 由于( A) -1 2A -1 ，(2A -1 ) * 2 3 (A -1 ) * 8 ，故矩阵方程为 4ABA -1 2AB12E 上式左乘 A * ，有 2BA -1 B3A * ，即 B(A * E)3A * 那么 B3A * (A * E) -1 8.已知 ABCD，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于矩阵 C 可逆右乘 C -1 有 因为A0，又因矩阵 B 的第 3 行元素是1，2，3，故可设 B ，则由 所以矩阵 9.已知 (0，2，1，a) T 可以由 1 (1，2，3，4) T ， 2 (0
14、，1，1，1) T ， 3 (1，3，a，1) T 线性表出，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：条件即 r( 1 ， 2 ， 3 ，)r( 1 ， 2 ， 3 )，对( 1 ， 2 ， 3 )作初等行变换，有 当 a2 时 r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 10.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且 A 2 ABE，则 r(ABBA2A) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由于 A(AB)E，且 A，AB 均为 n 阶矩阵，故知 A 可逆且其逆是 AB，那么 A(AB)(AB)AE 即有 A
15、 2 ABA 2 BA故 ABBA 从而 r(ABBA2A)r(2A)r(A)n11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 r(A * ) ， 故本题中 r(A * )1 r(A)3 因为 A 是实对称矩阵且矩阵 A 的特征值是 a3b，ab，ab，ab，因此 于是 r(A)3 a3b0，ab由 由AE8，即(14b) 3 8 得 b 由 a3b0 得 a 12.已知 A 是 4 阶矩阵， 1 与 2 是线性方程组 Ab 的两个不同的解，则 r(A * ) * ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 1
16、 2 是齐次方程组 A0 的非零解，故A0 由于 r(A * ) * ) 13.已知向量组 1 (1，1，1，3) T ， 2 (0，1，2，3) T ， 3 (1，2a1，3，7) T ， 4 (1，1，a1，1) T 的秩为 3，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，有 如果 a1，则矩阵 A 转化为 那么 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )3 3a 2 a20，a1 a 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析
17、：15.设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A0 的基础解系，若存在 i 使 A i i ，i1，2，t，证明向量组 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果 k 1 1 k 2 2 k t t l 1 1 l 2 2 l t t 0， 用 A 左乘上式，并把 A i 0，A i i ，i1，2，t 代入，得 l 1 1 l 2 2 l t t 0 因为 1 ， 2 ， t 是 A0 的基础解系，它们线性无关，故对必有 l 1 0，l 2 0，l t 0 代入式，有 k 1 1 k 2 2 k t t 0 所以必
18、有 k 1 0，k 2 0，k t 0 即向量组 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， t 线性无关)解析：16.已知 n 维列向量 1 ， 2 ， s 非零且两两正交，证明 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 k 1 1 k 2 2 k s s 0，用 1 T 左乘上式，得 k 1 1 T 1 k 2 1 T 2 k s 1 T s 0 由于 1 与 2 ， s 均正交，有 1 T i (i2，s) 从而 k 1 1 T 1 k 1 1 2 0又因 1 0 知 1 0，得到 k 1 0 同理可证 k 2 0，k S 0，因此，向量组 1 ， 2 ， s
19、 线性无关)解析：17.已知 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同的特征值， 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 分别是矩阵 A 属于特征值 1 和 2 的线性无关的特征向量证明： 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按特征值定义，有 A i 1 i (i1，2，s)，A j j (j1，2，t) 如果 k 1 2 k 2 2 k s s l 1 1 l 2 2 l t t 0， (1) 用 A 左乘(1)式两端，有 1 k 1 1 1 k 2 2 1 k s s 2 l 1 1 2 l 2 2 2 l t t 0 (2) 由(1)
20、 i (2)得 ( 1 2 )(l 1 1 l 2 2 l t t )0 因为 1 2 ，故 l 1 1 l 2 2 l t t 0 由于 1 ， 2 ， t 线性无关，故必有 l 1 0，l 2 0，l t 0 同理可证 k 1 0，k 2 0，k s 0 从而 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关)解析：18.设 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关，其中 1 ， 2 ， s 是齐次方程组 A0 的基础解系证明 A 1 ，A 2 ，A t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 c 1 A 1 c 2 A 2 c t A t 0，则 A(c 1
21、 1 c 2 2 c t t )0，即 c 1 1 c 2 2 c t t 是 AX0 的解，从而可以用 1 ， 2 ， s 线性表示，即有 c 1 1 c 2 2 c t t k 1 1 k 2 2 k s s ， 由于 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关，上式中的系数都为 0，从而 c 1 c 2 c t 0)解析：19.试讨论 n 维向量 1 ， 2 ， s 的线性相关性，其中 i (1，a i ，a i 2 ，a i n-1 ) T ，i1，2，s（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 a i a j ，则向量组中有相等的向量，必线性相关下设 1 ， 2 ， s
22、 互不相同，则 ()若 sn，则 1 ， 2 ， s 必线性相关 ()若 sn，则因 1 ， 2 ， n )解析：20.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 是两个线性无关的 n 维向量组，证明：向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性相关的充分必要条件是存在非 0 向量 ， 既可由 1 ， 2 ， s 线性表出，也可由卢 1 ， 2 ， t 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性因为 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性相关，故存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，l 1 ，l 2 ，l t 使得 k 1 1 k 2 2 k
23、 s s l 1 1 l 2 2 l t t 0，令 k 1 1 k 2 2 k s s l 1 1 l 2 2 l t t ， 则必有 0否则 k 1 1 k 2 2 k s s 0 且l 1 1 l 2 2 l t t 0 由于 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， t 均线性无关，故 k 1 k 2 k s 0，l 1 l 2 l t 0，这与 k 1 ，k 2 ，k s ，l 1 ，l 2 ，l t 不全为 0 相矛盾从而有非 0 的 ，它既可由 1 ， 2 ， s 线性表出，也可由 1 ， 2 ， t 线性表出 充分性由于有非 0 的 使 1 1 2 2 s s 且 y 1 1 y
24、 2 2 y t t ， 那么 1 ， 2 ， s 与 y 1 ，y 2 ，y t 必不全为 0从而 1 1 2 2 s s y 1 1 y 2 2 y t t 0， 即 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t ，线性相关)解析：21.已知 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 3 个不同的解，证明： () 1 ， 2 ， 3 中任何两个解向量均线性无关； ()如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，则 1 2 ， 1 3 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如果 1 ， 2 线性相关，不妨设 2 k 1 ，那么 A 2 A(k 1 )kA 1 kb 又 A 2 b，于是
25、k1，与 1 ， 2 不同相矛盾 ()如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，则有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k 3 使 k 1 1 k 2 2 k 3 3 0，那么 (k 1 k 2 k 3 ) 1 k 2 ( 1 2 )k 3 ( 1 3 ) 由于 1 是非齐次方程组 Ab 的解，而 1 2 ， 1 3 是齐次方程组 A0 的解， 1 不能由 1 2 ， 1 3 线性表出，故必有 k 1 k 2 k 3 0，那么 k 2 ( 1 2 )k 3 ( 1 3 )0 此时 k 2 ，k 3 不全为 0(否则亦有 k 1 0，与 k 1 ，k 2 ，k 3 不全为 0 相矛盾)， 故 1 2
26、， 1 3 线性相关)解析：22.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，已知 1 (k1) 1 2 3 ， 2 1 (k1) 2 3 ， 3 1 (1k) 2 (1k) 3 试求向量组 1 ， 2 ， 3 的秩 r( 1 ， 2 ， 3 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 1 ， 2 ， 3 ，使得 1 1 2 2 3 3 0，即 1 (k1) 1 2 3 2 1 (k1) 2 3 3 1 (1k) 2 (1k) 3 0， 经整理得 (k1) 1 2 3 1 1 (k1) 2 (1k) 3 2 1 2 (1k) 3 3 0 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，则有线性方程
27、组 其系数行列式 (2k)(k 2 2) 当 k2 且后 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关，r( 1 ， 2 ， 3 )3 当 k2 时，则有 容易判定，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关由此可知，r( 1 ， 2 ， 3 )2 当 k 时，则有 同样，可以判定向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 线性无关从而，r( 1 ， 2 ， 3 )2 同理可得，当 k 时，r( 1 ， 2 ， 3 )2 所以，当 k2 且k 时，r( 1 ， 2 ， 3 )3；当 k2 或 k )解析：23.已知向量组 1 ， 2 ， 3 与向量组 1 ， 2 ， 3 （分数
28、：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 线性无关，而 3 3 1 2 2 ，所以秩 r( 1 ， 2 ， 3 )2因此 r( 1 ， 2 ， 3 )2从而 3ba0 3b 又因 3 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出，那么 3 必可用极大线性无关组 1 ， 2 线性表出于是方程组 1 1 2 2 3 有解由 )解析：24.齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵高斯消元有 由于 r(A)3，基础解系由 nr(A)2 个解向量构成因为行列式 故可取 2 ， 5 作为自由变量移项得 令 2 1， 5 0，得 1 (1，1，0，0，0) T ； 令 2 0，
29、5 1 得 2 )解析：25.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，齐次线性方程组 A0 是一个 4 元线性方程组，由于基础解系中含有2 个线性无关的解向量，故 4r(A)2，即 r(A)2对系数矩阵 A 作初等行变换，得 要使 r(A)2，必有 t1此时，原方程组的同解方程组为 )解析：26.已知 A 是 34 矩阵，秩 r(A)1，若 1 (1，2，0，2) T ， 2 (1，1，a，5) T ， 3 (2，a，3，5) T ， 4 (1，1，1，a) T 线性相关，且可以表示齐次方程组 A0 的任一解，求 A0 的基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
30、：因为 A 是 34 矩阵，且秩 r(A)1，所以齐次方程组 A0 的基础解系有nr(A)3 个解向量 又因 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且可以表示 A0 的任一解，故向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩必为 3，且其极大线性无关组就是 A0 的基础解系由于 )解析：27.已知 1 ， 2 ， t 是齐次方程组 A0 的基础解系，试判断 1 2 ， 2 3 ， t-1 t ， t 1 是否为 A0 的基础解系，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作为齐次方程组 AX0 的基础解系 1 ， 2 ， t 的线性组合， 1 2 ， 2 3 ， t 1 是 AX0 的一组解，个数tnr(A) 1 2 ， 2 3 ， t 1 是不是 AX0 的基础解系只要判断它们是否线性无关 设 A( 1 ， 2 ， t )，B( 1 2 ， 2 3 ， t 1 )，则 BAC，其中 )解析：
