1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 119 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.30mB.15mC.6mD.6m3.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1 C.A(A+B) 1 BD.(A+B) 1 4.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性
2、相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关5.设 A 是 54 矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4 C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似二、填空题(总题数
3、：10，分数：20.00)8.若 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(a，a，b) T ， 3 =(a，a，b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s )=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知三维向量空间的一组基是 1 =(1，0，1)， 2 =(1，1，0)， 3
4、=(2，1，1)，则向量=(3，2，1)在这组基下的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 为三阶非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19
5、.若行列式的某个元素 a ij 加 1，则行列式的值增加 A ij .（分数：2.00）_20.设 A 1 = （分数：2.00）_设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_21.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(E+A) 1 是正交矩阵（分数：2.00）_22.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 a i =(1，a i ，a i 2 ，a i n1 ) T (i=1，2，s)，求向量组
6、1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交（分数：2.00）_24.求齐次方程组 （分数：2.00）_25.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_26.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(1，2，3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_27.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2
7、2 +cx 3 2 2x 1 x 2 6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 119 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.30mB.15mC.6mD.6m 解析：解析：3.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1 C.A(A
8、+B) 1 B D.(A+B) 1 解析：解析：(A 1 +B 1 ) 1 =(EA 1 +B 1 ) 1 =(B 1 BA 1 +B 1 ) 1 =B 1 (BA 1 +AA 1 )1 =B 1 (B+A)A 1 1 =(A 1 ) 1 (B+A) 1 (B 1 ) 1 =A(A+B) 1 B 故应选(C)4.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关 解析：解析：若多数向量可用少数向量线
9、性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例说明(A)，(B)，(C)均不正确5.设 A 是 54 矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4 C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 解析：解析：由 A 1 =0，知 1 + 2 2 3 + 4 =0 由 A 2 =0，知 2 + 4 =0 因为 nr(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知， 2 ， 4 线性相关故应排除(B) 把代入
10、得 1 2 3 =0，即 1 ， 3 线性相关，排除(A) 如果 2 ， 3 线性相关，则r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r(2 3 ， 2 ， 3 ， 2 )=r( 2 ， 3 )=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选(C)6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)是实对称矩阵，(C)有 3 个不同的特征值，均可对角化 (B)和(D)特征值都是0，0，3 在(B)中，nr(0EA)=2，说明 =0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在(D)中，nr(0EA)=1，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选(
11、D)7.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似解析：解析：由|EA|= 3 3 2 ，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 A 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)8.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：按代数余子式定义9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
12、4 或5）解析：解析：A 不可逆 |A|=0而11.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(a，a，b) T ， 3 =(a，a，b) T 线性相关，则 a，b 满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=0 或 a=b）解析：解析：n 个 n 维向量线性相关 | 1 ， 2 ， n |=0而 | 1 ， 2 ， 3 | 12.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s )=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：r( 1
13、， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r 表明 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，于是 r( 1 ， 2 ， s ，)=r( 1 ， 2 ， s ，)，=r+113.已知三维向量空间的一组基是 1 =(1，0，1)， 2 =(1，1，0)， 3 =(2，1，1)，则向量=(3，2，1)在这组基下的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，2) T）解析：解析：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，由 14.设 A 为三阶非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：c 1 (1，4，3) T +c 2 (2，
14、3，1) T ，c 1 ，c 2 任意）解析：解析：由 AB=0 得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1，nr(A)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c 1 (1，4，3) T +c 2 (2，3，1) T ，c 1 ，c 2 任意15.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5，5，0）解析：解析：因为 A 是实对称矩阵，故 A 又 r(A)=2，所以 r( )=2设 A=
15、(0)，由 A 2 +5A=0 得 2 +5=0因此 A 的特征值为 0 或5 16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 A 的特征多项式 |EA| =(+1) 3 ， 知矩阵 A 的特征值是 =1(三重根)，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故 17.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：r(f)=2，即 r(A)=2因|A|中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 |A|=0由三
16、、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.若行列式的某个元素 a ij 加 1，则行列式的值增加 A ij .（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：修改后的行列式第 j 列为(a 1j ，a ij +1，a nj ) T =(a 1j ，a ij ，a nj ) T +(0，1，0) T ，对它分解(性质)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 A ij )解析：20.设 A 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(A * ) 1 =1|A|A， )解析：设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维
17、列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=|A|E 及 A * =|A|A 1 有 )解析：(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 )解析：21.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(E+A) 1 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(EA)(E+A) 1 (EA)(E+A) 1 T =(EA)(E+A) 1 (E+A) 1 T (EA) T =(EA)(E+A)
18、1 (E+A) T 1 (E+A) =(EA)(E+A) 1 (EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)(E+A) 1 (E+A) =(EA)(E+A)(EA) 1 (E+A) =(EA)(EA) 1 (E+A) 1 (E+A)=E 所以(EA)(E+A) 1 是正交矩阵)解析：22.已知 1 ， 2 ， s 是互不相同的数，n 维向量 a i =(1，a i ，a i 2 ，a i n1 ) T (i=1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 sn 时， 1 ， 2 ， s 必线性相关，但| 1 ， 2 ， n |是范德蒙行列式，故 1
19、， 2 ， n 线性无关因而 r( 1 ， 2 ， s )=n 当 s=n时， 1 ， 2 ， n 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， n )=n 当 sn 时，记 1 =(1，a 1 ，a 1 2 ，a 1 s1 ) T ， 2 =(1，a 2 ，a 2 2 ，a 2 s1 ) T ， s =(1，a s ，a s 2 ，a s s1 ) T ，则 1 ， 2 ， s 线性无关那么 1 ， 2 ， s 必线性无关故 r( 1 ， 2 ， s )=s)解析：23.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交（分数：2.00）_正确答案：(正
20、确答案：因为 A T =A，Ax=y，所以(x，y)=x T Ax=(A T x) T x=(Ax) T x=(y，x)，得(x，y)=0)解析：24.求齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵作初等行变换，有 )解析：25.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Ax=0 的基础解系是 1 ， 2 ， t 若 1 ， 2 ， s 线性无关， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， t 等价 由于 j (j=1，2，s)可以由 1 ， 2 ， t 线性表示，而 i (i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j (j=
21、1，2，s)是Ax=0 的解 因为 1 ， 2 ， t 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， t )=t，又 1 ， 2 ， t 与 1 ， 2 ， s 等价，所以 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， t )=t又因 1 ， 2 ， s 线性无关，故 s=t 因此 1 ， 2 ， t 是Ax=0 的基础解系)解析：26.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(1，2，3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(
22、A)=2 知|A|=0，所以 =0 是 A 的另一特征值 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(1，1，1) T 那么 A( 1 ， 2 ，)=(6 1 ，6 2 ，0)，用初等变换法解此矩阵方程得 )解析：27.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 由二次型的秩为
23、 2，即矩阵 A 的秩 r(A)=2，则有 |A|=24(c3)=0 c=3 用配方法求规范形和所作变换 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +3x 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 =3(x 3 +x 1 x 2 ) 2 3(x 1 x 2 ) 2 +5x 1 2 +5x 2 2 2x 1 x 2 =3(x 1 x 2 +x 3 ) 2 +2x 1 2 +2x 2 2 +4x 1 x 2 =3(x 1 x 2 +x 2 ) 2 +2(x 1 +x 2 ) 2 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=y 1 2 +y 2 2 ，为规范二次型 )解析：
