1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 122 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，若 C= （分数：2.00）A.3abB.3 m abC.(1) mn 3 m abD.(1) (m+1)n 3 m ab3.设 n 维行向量 =(12，0，0，12)，矩阵 A=E T ，B=E+2 T ，则 AB=（分数：2.00）A.0B.EC.ED.E+ T 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3
2、 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关5.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0)B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则
3、B=0D.行列式|A T A|=06.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b 有无穷多解B.如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解D.Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n7.设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 2 C. 1 + 3 D.2 3 8.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：12，
4、分数：24.00)9.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=4，|B|=|，2 1 ，3 2 ， 3 |=21，则|A+B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.任意 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_
5、15.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的特征值，则(A * ) 2 +E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，1，1) T 分别是=0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.已
6、知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C 1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_23.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(1，5，3，a+6) T ，=(1，0，2，b) T ，问 a，b 取何值时， () 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示? () 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一； ()
7、 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_24.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_25.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_26.已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 ，使 P 1 AP= （分数：2.00）_27.设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 122 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，
8、分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，若 C= （分数：2.00）A.3abB.3 m abC.(1) mn 3 m abD.(1) (m+1)n 3 m ab 解析：解析：用性质有 3.设 n 维行向量 =(12，0，0，12)，矩阵 A=E T ，B=E+2 T ，则 AB=（分数：2.00）A.0B.E C.ED.E+ T 解析：解析：AB=(E T )(E+2 T )=E+2 T T 2 T T =E+ T 2 T ( T ) 注意 T 4.设
9、1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关解析：解析：若 1 =(1，0)， 2 =(20)， 3 =(0，2)， 4 =(0，3)，则 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关
10、，但 1 + 3 =(1，2)， 2 + 4 =(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B)，取 4 = 1 ，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出现在 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关故应选(C)5.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0) B.C.如 m
11、阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.行列式|A T A|=0解析：解析：例如， 6.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b 有无穷多解 B.如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解D.Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n解析：解析：如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例 如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r(A|b)=n，因此 Ax=b 可以无解例如前者只有零解，而后者无解故(B)
12、不正确 关于(D)，Ax=b 有唯一解 r(A)=r(A|b)=n由于r(A)=n7.设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 2 C. 1 + 3 D.2 3 解析：解析：A 1 =0，A 2 =0，A 3 = 3 则 A( 1 +3 2 )=0，A( 1 2 )=0，A(2 3 )=2 3 因此(A)，(B)，(D)都正确 A( 1 + 3 )= 3 ，和 1 + 3 不相关，因此 1 + 3 不是特征向量，故应选(C)8.下列矩阵中，正定矩阵是 （
13、分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：正定的必要条件 a ii 0，可排除(A)、(D) (B)中 2 =0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设 ， 1 ， 2 ， 3 都是 4 维列向量，且|A|=|， 1 ， 2 ， 3 |=4，|B|=|，2 1 ，3 2 ， 3 |=21，则|A+B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：600）解析：解析：因 A+B=(+，3 1 ，4 2 ，2 3 )，故 |A+B|=|+，3 1 ，4 2 ，2 3 |=24|， 1 ， 2 ， 3 |+24|，
14、 1 ， 2 ， 3 | =24|A|+24|B|=60010.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：A 2 A 3 =A 2 A 11.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(A * ) 1 所以(A * ) 1 12.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XAX=A T 有 X(AE)=A T ，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆 故 X=A T (AE) 1 13.任意 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ，
15、2 =(1，2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：任何 3 维向量 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出 r( 1 ， 2 ， 3 )=3 因而 14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1.5）解析：解析：由 BA T =0 有 r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3 又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即|A|=0于是 15.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0，1，0) T ，(1，1，0，1) T）
16、解析：解析：nr(A)=42=2取 x 3 ，x 4 为自由变量： 令 x 3 =1，x 4 =0 得 x 2 =0，x 1 =0；令 x 3 =0，x 4 =1 得 x 2 =1，x 1 =1， 所以基础解系是(0，0，1，0) T ，(1，1，0，1) T 16.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因(1，2，1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出 b=1因(1，2，1，1) T 是 Ax=0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a=317.设 A 是 n 阶可逆矩阵， 是 A 的特征值，则(A * ) 2 +E
17、必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 的特征值为 A * 的特征值为|A| (A * ) 2 的特征值为丁|A| 2 2 = (A * ) 2 +E 的特征值为 18.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，1，1) T 分别是=0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(1，0，1) T ，t0）解析：解析：设 =2 的特征向量是 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有
18、19.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a 1 2 x 1 2 +a 2 2 x 2 2 +a 3 2 x 3 2 +2a 1 a 3 x 1 x 3 +2a 1 a 3 x 1 x 3 +2a 2 a 3 x 2 x 3 ， 二次型矩阵 20.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0）解析：解析：由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为 k+3，k，k又
19、 B 正定三、解答题(总题数：7，分数：14.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C 1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 C 可逆，知|ABA|0，故矩阵 A，B 均可逆 因 ABAC=层，即 A 1 =BAC又CABA=E，得 A 1 =CAB 从而 BAC=CAB)解析：23.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(1，5，3，a+6) T ，=(1，0，2，b)
20、T ，问 a，b 取何值时， () 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示? () 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一； () 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 3 4 =，对增广矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换，有 ()当 a=1，b2 或 a=10，b1 时，方程组均无解所以 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4
21、线性表示且表示法唯一 ()方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=1 时，方程组有无穷多解： (2)当 a=1，n=2 时，方程组有无穷多解：x 4 =13，x 2 =t，x 3 =12t，x 1 =5t 即 =(5t ) 1 +t 2 +(12t) 3 )解析：24.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵，A 按行分块，记 那么 A T =( 1 T ， 2 T ， m T ) 若 k 1 1 T +k 2 2 T +k m m T =0，即( 1 T ， 2 T
22、 ， m T ) )解析：25.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为系数行列式 )解析：26.已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 ，使 P 1 AP= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 |EA| =(1) 2 (+2)， 知矩阵 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =2 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而 )解析：27.设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，知 A T A 是实对称矩阵 又 r(A)=n， )解析：
