1、考研数学一（线性方程组）-试卷 2 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2 ，x 3 C.x 2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 4.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b 有无穷多解B.如 Ax=0 只有零
2、解，则 Ax=b 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解D.Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n5.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则正确命题是（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 +
3、 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 一 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组7.设 A 是 54 矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，一 2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4 C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_10
4、.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.四元方程组 Ax=b 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为三阶非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax=b 的解，则 c 1 +c 2 +c t = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.
5、已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 1 =(一 3，2，0) T ， 2 =(一 1，0，一 2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.证明方程组 有解的必要条件是行列式 （分数：2.00）_19.已知方程组 有解，证明方程组 （分数：2.00）_20.设 A=(a ij )是 mn 矩阵，=(b 1 ，b 2 ，b n )是 n 维行向量，如果方程组()Ax=0 的解全是方程()b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，
6、证明 可用 A 的行向量 1 ， 2 ， m 线性表出（分数：2.00）_21.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_22.求齐次方程组 （分数：2.00）_23.求线性方程组 的通解，并求满足条件 （分数：2.00）_24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_25.设线性方程组 （分数：2.00）_26.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）_28.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_考研数学一（线性方
7、程组）-试卷 2 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 Ax=0 已有 2 个线性无关的解，故 nr(A)2，即 r(A)1所以(B)、(D)的秩不符合题目要求 1 不是(C)中方程的解，因而 1 不是(C)的解用排除法应选(A)3.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2
8、，x 3 C.x 2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 解析：解析：因为 4.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b 有无穷多解B.如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解 D.Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n解析：解析：如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例 如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r =n，因此 Ax=b 可以无解例如前者只有零解，而后者无解故(B)不正确。 关于(D)，
9、Ax=b 有唯一解5.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则正确命题是（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解解析：解析：A 是 mn 矩阵，r(A)=m 说明 A 的行向量组线性无关，那么增广矩阵 的行向量组是 A的行向量组的延伸组，必线性无关故 r6.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 +
10、 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 一 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组解析：解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 + 2 与 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选(B)7.设 A 是 54 矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，一 2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A
11、 的列向量组的极大线性无关组是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4 C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 解析：解析：由 A 1 =0，知 1 + 2 2 3 + 4 =0 由 A 2 =0，知 2 + 4 =0 因为 nr(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知， 2 ， 4 线性相关故应排除(B) 把代入得 1 一 2 3 =0，即 1 ， 3 线性相关，排除(A) 如果 2 ， 3 线性相关，则r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r(一 2 3 ， 2 ， 3 ，一 2 )=r( 2 ， 3 )=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选(C)二、填空题(总
12、题数：9，分数：18.00)8.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：对增广矩阵作初等行变换，有 当 a=5 时，r(A)=r9.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 且 *）解析：解析：对任意 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解 A0而由 可知 1 且 10.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0，1，0) T ，(一 1，1，0，1) T）解析：解析：n 一 r(A)=42=2取 x 3 ，x 4 为自由变量： 令 x 3 =1，x 4 =0 得 x 2 =0，x 1
13、 =0；令 x 3 =0，x 4 =1 得 x 2 =1，x 1 =1， 所以基础解系是(0，0，1，0) T ，(一 1，1，0，1) T 11.四元方程组 Ax=b 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T）解析：解析：由( 2 + 3 )一 2 1 =( 2 一 1 )+( 3 一 1 )=(2，3，4，5) T 一2(1，1，1，1) T =(0，1，2，3)
14、 T ，知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解 又秩 r(A)=3，n 一 r(A)=1，所以 Ax=b 的通解是(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T 12.设 A 为三阶非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，3) T +k 2 (一 2，3，1) T）解析：解析：因为 AB=0，A0，所以 r(A)+r(B)3，r(A)1故 r(B)2又因 B 中有 2 阶子式不为0，所以秩 r(B)2从而 r(B)=2故 r(A)=1于是 n 一 r(A)=2 由 AB=0 又知 B 的列向量是齐次方程组的解，所以 Ax=0 的通解是
15、 k 1 (1，4，3) T +k 2 (一 2，3，1) T 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T）解析：解析：因为秩 r(A)=2，所以行列式A=0 那么 A * A=AE=0，所以 A 的列向量是 A * x=0的解 又因 r(A * )=1，故 A * x=0 的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 14.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax=b 的解，则 c 1 +c 2 +c t
16、= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i =b 若 c 1 1 +c 2 2 +c t t 是 Ax=b的解，则 A(c 1 1 +c 2 2 +c t t )=c 1 A 1 +c 2 A 2 +c t A t =(c 1 +c 2 +c t )b=b 故 c 1 +c 2 +c t =115.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因(1，2，一 1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出 b=1 因(一 1，2，一1，1) T 是 Ax=0 的
17、解，则将其代入第 1 个方程可求出 a=316.已知 1 =(一 3，2，0) T ， 2 =(一 1，0，一 2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 3，2，0) T +k(一 1，1，1) T）解析：解析：由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 一 2 是 Ax=0 的非零解，知r(A)3 故必有 r(A)=2于是 nr(A)=1 所以方程组通解是：(一 3，2，0) T +k(一 1，1，1) T 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：1
18、8.证明方程组 有解的必要条件是行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果方程组 Ax=b 有解，则 r(A)=r ；因为 A 是(n+1)n 阶矩阵，必有 r(A)n，所以 r n那么，必有 n+1 阶行列式 例如，方程组 虽然行列式 )解析：19.已知方程组 有解，证明方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 1 ， 分别表示方程组()与()的系数矩阵和增广矩阵，易见 A 2 = 因为方程组()有解，故 r(A 1 )=r 又由于(b 1 ，b 2 ，b m ，1)不能由(a 11 ，a 21 ，a m1 ，0)，(a 12 ，a 22 ，a m2 ，0)，(a
19、 1n ，a 2n ，a mn ，0)线性表出，所以 即 )解析：20.设 A=(a ij )是 mn 矩阵，=(b 1 ，b 2 ，b n )是 n 维行向量，如果方程组()Ax=0 的解全是方程()b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，证明 可用 A 的行向量 1 ， 2 ， m 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造一个联立方程组 )解析：21.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记方程组()的系数矩阵为 A，增广矩阵是 ，由于()有解，故 r(A)=r 那么 (b 1 ，b 2 ，b m ) T 可用 A
20、的列向量线性表出联立()、()，得方程组 显然，系数矩阵是 )解析：22.求齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵作初等变换，有 )解析：23.求线性方程组 的通解，并求满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 方程组的解：令 x 3 =0，x 4 =0 得 x 2 =1，x 1 =2即 =(2，1，0，0) T 导出组的解： 令 x 3 =1，x 4 =0 得 x 2 =3，x 1 =1即 1 =(1，3，1，0) T ； 令 x 3 =0，x 4 =1 得 x 2 =0，x 1 =1即 2 =(一 1，0，0，1) T 因此方
21、程组的通解是：(2，1，0，0) T +k 1 (1，3，1，0) T +k 2 (一 1，0，0，1) T 而其中满足 的解，即(2+k 1 k 2 ) 2 =(1+3k 1 ) 2 那么 2+k 1 一 k 2 =1+3k 1 或 2+k 1 一 k 2 =(1+3k 1 )， 即 k 2 =12k 1 或 k 2 =3+4k 1 所以(1，1，0，1) T +k(3，3，1，一 2) T 或(一 1，1，0，3) T +k(一3，3，1，4) T 为满足 )解析：24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 ()当 a0，且 b
22、3 时，方程组有唯一解( ，0) T ()当 a=0 时， b 方程组均无解 ()当 a0，b=3 时，方程组有无穷多解( )解析：25.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，一 1，1，一 1) T 代入方程组得 =对增广矩阵作初等行变换，有 ()当 = 因 r(A)=r =24，所以方程组有无穷多解 ( ，1，0，0)+k 1 (1，一3，1，0) T +k 2 (一 1，一 2，0，2) T ()当 因 r(A)=r )解析：26.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为系数行列式 )解析：27.设 A 是 n 阶矩
23、阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性对矩阵 A 按列分块 A=( 1 ， 2 ， n )，则 b，Ax=b 有解 1 ， 2 ， n 可表示任何 n 维向量 b 1 ， 2 ， n 可表示 e 1 =(1，0，0，0) T ，e 2 =(0，1，0，0) T ，e n =(0，0，0，1) T r( 1 ， 2 ， n )r(e 1 ，e 2 ，e n )=n r(A)=n 所以A0 充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 )解析：28.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00
24、）_正确答案：(正确答案：设 Ax=0 的基础解系是 1 ， 2 ， t 若 1 ， 2 ， s 线性无关， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， t 等价 由于 j (j=1，2，s)可以由 1 ， 2 ， t 线性表示，而 i (i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j (j=1，2，s)是Ax=0 的解 因为 1 ， 2 ， t 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， t )=t，又 1 ， 2 ， t 与 1 ， 2 ， s 等价，所以 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， t )=t又因 1 ， 2 ， s 线性无关，故 s=t 因此 1 ， 2 ， t 是Ax=0 的基础解系)解析：
