1、考研数学一（线性方程组）-试卷 3 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设有齐次线性方程组 A0 和 B0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 若 A0 的解均是 B0 的解，则 r(a)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 A0 的解均是 B0 的解； 若 A0与 B0 同解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 A0 与 B0 同解 以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 1 ， 2 为非齐次方
2、程组的 （分数：2.00）A. 1 2 2 1 为该非齐次方程组的解B. 1 1 2 为该非齐次方程组的解C. 1 2 为该非齐次方程组的解D. 1 2 1 为该非齐次方程组的解4.n 元线性方程组 AB 有两个解 a，c，则下列方程的解是 ac 的是( )（分数：2.00）A.2ABB.A0C.AAD.AC5.非齐次线性方程组 AB 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解C.方程组有唯一解D.方程组无解6.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.有两组解B.无解C.只有零解D.无穷多解7.齐次
3、线性方程组 （分数：2.00）A.2 且B0B.2 且B0C.1 且B0D.1 且B08.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.A 必有无穷多解B.A 必有唯一解C.仅有零解D.必有非零解9.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ab 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 ， 2 ， 3
4、是非齐次线性方程组 Ab 的三个不同的解，如果 1 2 2 3 (2，0，0，0) T ，3 1 2 (2，4，6，8) T ，则方程组 Ab 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A(a ij )是 3 阶正交矩阵，其中 a 33 1，b(0，0，5) T ，则线性方程组 Ab 必有一个解是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.非齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，1，0，1) T k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知
5、方程组() （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 n 元线性方程组 Ab，其中 （分数：2.00）_18.设矩阵 A(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 2a 2 a 3 ，向量ba 1 a 2 a 3 a 4 ，求方程 Ab 的通解（分数：2.00）_19.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ab 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 k 2 k s 1证明 k 1 1 k 2 2 k s s 也是方
6、程组的解（分数：2.00）_20.设 A （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.问 取何值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_23.写出一个以 （分数：2.00）_24. 取何值时，非齐次线性方程组 （分数：2.00）_25.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 （分数：2.00）_26.设有向量组 A： 及向量 b （分数：2.00）_27.设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1 (1，1，2，3) T ， 2 (1，1，4，1) T ， 3 (5，1，8，9) T 是齐次线性方程组 B0 的解向量，求 B0 的解
7、空间的一个标准正交基（分数：2.00）_考研数学一（线性方程组）-试卷 3 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设有齐次线性方程组 A0 和 B0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题： 若 A0 的解均是 B0 的解，则 r(a)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 A0 的解均是 B0 的解； 若 A0与 B0 同解，则 r(A)r(B)； 若 r(A)r(B)，则 A0 与 B0 同解 以上命题中正确的有( )（分数：2.00）A
8、.B. C.D.解析：解析：由于线性方程组 A0 和 B0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以，显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B 下面证明，正确： 对于，由 A0 的解均是 B0 的解可知，方程组 B0 含于 A0 之中，从而A0 的有效方程的个数(即为 r(A)必不少于 B0 的有效方程的个数(为 r(B)，故 r(A)r(B) 对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 A0 与 B0 同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即 nr(A)nr(B)， 从而 r(A)r(B)所以应选 B3.设 1 ， 2 为非齐次方程组
9、的 （分数：2.00）A. 1 2 2 1 为该非齐次方程组的解B. 1 1 2 为该非齐次方程组的解 C. 1 2 为该非齐次方程组的解D. 1 2 1 为该非齐次方程组的解解析：解析：本题考查线性方程组的解的性质，将四个选项分别代入非齐次方程组，4.n 元线性方程组 AB 有两个解 a，c，则下列方程的解是 ac 的是( )（分数：2.00）A.2ABB.A0 C.AAD.AC解析：解析：A(ac)AaAc0，所以 ac 是 A0 的解5.非齐次线性方程组 AB 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有
10、无穷多解 C.方程组有唯一解D.方程组无解解析：解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B6.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.有两组解B.无解C.只有零解 D.无穷多解解析：解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况对系数矩阵 A作初等列交换，得7.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.2 且B0B.2 且B0C.1 且B0 D.1 且B0解析：解析：将矩阵 B 按列分块，则由题设条件有 ABA 1 ， 2 ， 3 A 1 ，A 2 ，A 3 O 即 A
11、B i 0(i1，2，3)，这说明矩阵 B 的列向量都是齐次线性方程组 A0 的解又由BO，知齐次线性方程组 A0 存在非零解，从而 r(A)3，且 A 为 3 阶方阵，故有 8.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.A 必有无穷多解B.A 必有唯一解C.仅有零解D.必有非零解 解析：解析：由于选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除 A、B又齐次线性方程组 有 n1 个变量，而由题设条件知，秩9.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ab
12、的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A0 的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：解析：因为齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解向量的个数为 nr(A)而由 A * D 可知，A * 中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个(n1)阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r(A)n1又由 Ab 有互不相等的解知，其解存在且不唯一，故有 r(A)n，从而r(A)n1因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 A
13、是秩为 3 的 54 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ab 的三个不同的解，如果 1 2 2 3 (2，0，0，0) T ，3 1 2 (2，4，6，8) T ，则方程组 Ab 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：由于 r(A)3，所以齐次方程组 A0 的基础解系共有 4r(A)431 个向量，又因为 ( 1 2 2 3 )(3 1 2 )2( 3 1 )(0，4，6，8) T 是 A0 的解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4) T ，由 A( 1 2 2 3 )A 1 A 2 2A 3 4b， 可知 ( 1 2 2 3 )
14、是方程组 Ab 的一个解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( 11.线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵作初等变换12.设 A(a ij )是 3 阶正交矩阵，其中 a 33 1，b(0，0，5) T ，则线性方程组 Ab 必有一个解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0，5) T）解析：解析：由正交矩阵定义，首先 AA T A T AE，由此可知 A 的列向量和行向量都是单位向量，因此可设 A ，于是 13.非齐次方程
15、组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换14.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，1，0，1) T k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(13，3，1，5) T (k 为任意常数)）解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1)的通解为 15.已知方程组() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(5，3，1) T (k 为任意常数)）解析：解析：将方程组
16、()和方程()联立，得到方程组() ()的解就是两者的公共解对()的系数矩阵做初等行变换可得 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 n 元线性方程组 Ab，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a0 时，方程组系数行列式 D n 0，故方程组有唯一解根据克拉默法则，将 D n 的第一列换成 b，得行列式为 所以， 1 (2)当 a0 时，方程组为 )解析：18.设矩阵 A(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 )，其中 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，a 1 2a 2 a 3
17、 ，向量ba 1 a 2 a 3 a 4 ，求方程 Ab 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关，则 r(A)3又显然 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关，因此由 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关可知 r(A)3 终上所述，有 r(A)3，从而原方程的基础解系所含向量个数为 431， a 1 2a 2 a 3 a 1 2a 2 a 3 0 (a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) 0， 即 (1，2，1，0) T 满足方程 A0，所以 (1，2，1，0) T 是该方程组的基础解系 又 ba 1 a 2 a 3 a 4 (1，
18、1，1，1) T 是方程 Ab 的一个特解 于是由非齐次线性方程组解的结构可知，原方程的通解为 )解析：19.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ab 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 k 2 k s 1证明 k 1 1 k 2 2 k s s 也是方程组的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ab 的 s 个解，故有 A i b(i1，s)， 当 k 1 1 k 2 2 k s s ， 有 AA(k 1 1 k 2 2 k s s )k 1 A 1 k 2 A 2 k s A s b(k 1 k s )b， 即 Ab(k 1 1
19、 k 2 2 k s s )， 由此可 也是方程的解)解析：20.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)方程组的增广矩阵 可知要使原线性方程组有无穷多解，则有1a 4 0 及aa 2 0，可知 a1 此时，原线性方程组的增广矩阵为 ， 进一步化为行最简形得 ， 可知导出组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为 ， 故其通解为 )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C ，根据题意 则由 ACCAB 得 该方程组是 4 元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解，于是 因此，当 a1，b0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCAB
20、 又增广矩阵 所以通解 即 C )解析：22.问 取何值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组系数矩阵的行列式 D (1) 2 (3)284(3)(1)4(1) (1) 2 (3)(3) (3)(1)1(3)(2) 要使齐次线性方程组有非零解，则 D0，得 0，2 或 3将 的值分别代入原方程组得 0 时，方程组的解为 2 时，方程组的解为 3 时，方程组的解为 )解析：23.写出一个以 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把已知的通解改写为 设 c 1 3 ，c 2 4 ，则有 所求方程组有 2 个自由未知数 3 ， 4 ，且对应的同解方程组为 即 )解析
21、：24. 取何值时，非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的增广矩阵 B 进行初等行变换可得 )解析：25.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记该非齐次方程组为 Ab，因为 r(A)3，nr(A)431，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 1 ， 2 ， 3 均为方程组的解，因此齐次线性方程组A0 的解为 2 1 ( 2 3 )( 1 2 )( 1 3 ) 故此方程组的通解 )解析：26.设有向量组 A： 及向量 b （分数：2.00）_正确答案：(正确
22、答案：记矩阵 A(a 1 ，a 2 ，a 3 )，那么方程 Ab 有解的充要条件为易可由向量组 A 线性表示 (1)当方程 Ab 的系数行列式 即当 4 时，方程有唯一解，从而向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式唯一 (2)当 4 时，增广矩阵 于是当 4，0 时，方程 Ab 无解，从而向量 b 不能由向量 A 线性表示 (3)当 4，0 时， r(A)r(A，b)23，方程 Ab 有无穷多解，从而 4，0 时，向量 b 可由向量组 A 线性表示，且表示式不唯一 因为方程 Ab 的通解为 故 b 由向量组 A 线性表示的一般表达式为 bA(a 1 ，a 2 ，a 3 ) )解析：27.设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1 (1，1，2，3) T ， 2 (1，1，4，1) T ， 3 (5，1，8，9) T 是齐次线性方程组 B0 的解向量，求 B0 的解空间的一个标准正交基（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(B)2，因此解空间的维数是 4r(B)422 又因 1 ， 2 线性无关，因此 1 ， 2 是解空间的一组基，将其正交化，令 )解析：
